2024年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算（a2）3•a﹣3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a92．（2分）下列各数中，与的积为有理数的是（）A． B． C． D．3．（2分）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（）A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱4．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|5．（2分）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根6．（2分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°2+PD2＝8，则⊙O的半径为（）A． B．2 C．2 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是．9．（2分）计算（﹣）×的结果为．10．（2分）分解因式4a2b﹣8ab+4b的结果是．11．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝．12．（2分）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图的圆心角的度数为120°，则圆锥的底面圆的半径为．13．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，）．14．（2分）如图，在圆内接六边形ABCDEF中，∠A+∠E＝230°°．15．（2分）如图，点A、B在反比例函数的图象上，若B是AC的中点，△OAC的面积为3．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，M、N分别是BC、AB边上的动点，则线段MN的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：；（2）解方程：3x2﹣4x+1＝0．18．（7分）计算：．19．（7分）临近端午，某学校采购甲、乙两种粽子共260个，其中，乙种粽子花费400元，且甲种粽子的单价比乙种粽子高20%20．（8分）在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手进行评分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示（1）填空：歌手专业评分大众评分平均数/分中位数/分众数/分平均数/分方差/分2甲88.96.83.36乙7.987s乙2（2）计算乙的大众评分的方差s乙2；（3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高？21．（7分）游乐场有3个游玩项目A、B、C，甲、乙各自在这3个项目中随机选取2个项目游玩．（1）求甲选择到项目A的概率；（2）甲、乙都选择到项目A的概率为．22．（7分）如图，在▱ABCD中，AG⊥BC，垂足分别为G、H，E、F分别是AB、CD的中点（1）求证：△AEH≌△CFG；（2）连接AC，若AB＝6，AC＝BC＝5．23．（7分）如图，C处的一艘货轮位于A处的一艘护卫舰的北偏东22.6°方向，此时两船之间的距离AC为26海里．两船同时沿着正北方向航行，此时货轮到达D处，测得货轮位于护卫舰的北偏东53°方向．求货轮航行的路程．（参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）24．（8分）某平台提供同城配送服务，每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元：路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，若超过3千米，则超过部分每千米2元（元）与物品重量x（kg）之间的函数关系如图中折线所示．（1）当物品重量为3kg，配送路程为16km时，则配送的费用为元；（2）当5≤x≤15时，求y与x的函数表达式；（3）某客户需将重量为22kg的物品送到相距10km处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过20kg，现需要分两单配送（物品可任意拆分）元．25．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2（m为常数）．（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，求m的值．26．（9分）如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，⊙O经过点A、B、E，点F恰好在⊙O上．（1）求证：AF＝DF；（2）求证：AD是⊙O的切线；（3）若，AF＝4，则BE的长为．27．（11分）重心的思考在△ABC中，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线（1）求证：点O在BC边的中线上．如图①，连接AO并延长，与BC交于点F，与AF交于点M．证明途径可以用下面的框图表示，请补充完整；（2）当BD⊥CE时，①如图②，连接AO，求证：AO＝BC；②若BC＝4，则△ABC面积的最大值为．（3）如图③，已知线段a、b，求作△ABC，AC＝b，且BD⊥CE．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）

2024年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算（a2）3•a﹣3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a9【解答】解：（a2）3•a﹣8＝a6•a﹣3＝a7﹣3＝a3．故选：B．2．（2分）下列各数中，与的积为有理数的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴与的积为有理数的是，故选：C．3．（2分）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（）A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱【解答】解：由几何体的表面展开图由五个三角形和一个五边形组成，可知该几何体是五棱锥．故选：A．4．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|【解答】解：∵点A、B表示的数分别是5，∴它们之间的距离＝|﹣3﹣7|＝8，故选：D．5．（2分）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x6+kx﹣2＝0，∵Δ＝k7﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵两根之积为﹣7，∴方程有一个正根，一个负根．故选：C．6．（2分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°2+PD2＝8，则⊙O的半径为（）A． B．2 C．2 D．4【解答】解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM3，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN4，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM6+PN2+DN2+PM3＝PC2+PD2＝5∴OC2＝4，∴OC＝5，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤5．【解答】解：由题意得5﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤5．8．（2分）我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是6.8×10﹣4．【解答】解：0.00068＝6.7×10﹣4，故答案为：6.2×10﹣4．9．（2分）计算（﹣）×的结果为3．【解答】解：（﹣）×＝×﹣×＝4﹣＝3．故答案为：5．10．（2分）分解因式4a2b﹣8ab+4b的结果是4b（a﹣1）2．【解答】解：原式＝4b（a2﹣5a+1）＝4b（a﹣3）2，故答案为：4b（a﹣5）2．11．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝﹣2．【解答】解：根据题意知x1+x2＝5x2＝3，则x6＝1，将其代入关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0，得16﹣3×1﹣k＝4．解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．12．（2分）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图的圆心角的度数为120°，则圆锥的底面圆的半径为2．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝，解得：r＝7，即圆锥的底面圆的半径为2，故答案为：2．13．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″1，﹣2）．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），得到点A'，∴A′（7，2），∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，∴点A″的坐标是：（2，﹣2）．故答案为：1，﹣4．14．（2分）如图，在圆内接六边形ABCDEF中，∠A+∠E＝230°130°．【解答】解：连接BF，BD，∵∠A+∠E＝230°，∴的度数+，∴的度数＝460°﹣360°＝100°，∴∠BFD＝50°，∴∠C＝180°﹣∠BFD＝130°．故答案为：130．15．（2分）如图，点A、B在反比例函数的图象上，若B是AC的中点，△OAC的面积为32．【解答】解：如图，作AE⊥x轴，设A（a，），∵B是AC的中点，∴B（2a，），C（2a，∵S△AOC＝＝5，，解得k＝2．故答案为：7．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，M、N分别是BC、AB边上的动点，则线段MN的最小值为．【解答】解：过点N作ND⊥BC于点D，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴BC＝1，设CM＝BN＝x，∴BD＝，ND＝，∴MD＝8﹣x﹣＝4﹣，∵MN2＝ND2+MD2，∴＝＝3x2﹣5x+1＝，∴当x＝时，MN2取得最小值，∴MN的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：；（2）解方程：3x2﹣4x+1＝0．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣+3﹣1＝8﹣；（2）∵3x7﹣4x+1＝5，∴（3x﹣1）（x﹣7）＝0，则3x﹣8＝0或x﹣1＝2，解得x1＝，x2＝1．18．（7分）计算：．【解答】解：＝÷＝•＝．19．（7分）临近端午，某学校采购甲、乙两种粽子共260个，其中，乙种粽子花费400元，且甲种粽子的单价比乙种粽子高20%【解答】解：设乙种粽子的单价为x元/个，则甲种粽子的单价为（1+20%）x＝1.4x（元/个），根据题意得：+＝260，解得x＝8.5，经检验，x＝2.6是原方程的解，∴x＝2.5，答：乙种粽子的单价为7.5元/个．20．（8分）在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手进行评分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示（1）填空：歌手专业评分大众评分平均数/分中位数/分众数/分平均数/分方差/分2甲888.96.83.36乙7.9887s乙2（2）计算乙的大众评分的方差s乙2；（3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高？【解答】解：（1）把歌手甲的专业评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、8＝4；歌手乙的专业评分中8出现的次数最多，故众数为8．故答案为：3，8；（2）乙的大众评分的方差s乙2＝[4×（8﹣8）2+3×（7﹣7）2+6×（6﹣7）5+（5﹣7）7]＝1；（3）歌手甲的最终得分为：＝5.64（分），歌手乙的最终得分为：＝7.63（分），∵5.64＞7.63，∴甲的得分更高．21．（7分）游乐场有3个游玩项目A、B、C，甲、乙各自在这3个项目中随机选取2个项目游玩．（1）求甲选择到项目A的概率；（2）甲、乙都选择到项目A的概率为．【解答】解：（1）列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有6种等可能的结果，其中甲选择到项目A的结果有：（A，（A，（B，（C，共4种，∴甲选择到项目A的概率为＝．（2）列表如下：ABACBCAB（AB，AB）（AB，AC）（AB，BC）AC（AC，AB）（AC，AC）（AC，BC）BC（BC，AB）（BC，AC）（BC，BC）共有9种等可能的结果，其中甲，AB），AC），AB），AC），∴甲、乙都选择到项目A的概率为．故答案为：．22．（7分）如图，在▱ABCD中，AG⊥BC，垂足分别为G、H，E、F分别是AB、CD的中点（1）求证：△AEH≌△CFG；（2）连接AC，若AB＝6，AC＝BC＝512．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∠B＝∠D，∠EAH＝∠FCG，∵AG⊥BC，CH⊥AD，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴△ABG≌△CDH（AAS），∴BG＝DH，∵BC＝AD，∴AH＝CG，∵AB＝CD，E、F分别是AB，∴AE＝，CF＝，∴AE＝CF，在△AEH与△CFG中，，∴△AEH≌△CFG；（2）解：由（1）知，△AEH≌△CFG，∴EH＝FG，∵E、F分别是AB，∴EG＝，HF＝，∴EG＝FH，∴四边形EGFH是平行四边形，连接EF，AC，∵AH＝CG，AH∥CG，∴四边形AGCH是矩形，∴AC＝GH，∵BE＝＝CF＝，∵BE∥CF，∴四边形BCFG是平行四边形，∴EF＝BC，∵AC＝BC，∴EF＝HG，∴四边形EGFH是矩形，∵AB＝6，AC＝BC＝5，∴EG＝，EF＝AC＝5，∴FG＝＝＝4，∴四边形EGFH的面积为2×4＝12，故答案为：12．23．（7分）如图，C处的一艘货轮位于A处的一艘护卫舰的北偏东22.6°方向，此时两船之间的距离AC为26海里．两船同时沿着正北方向航行，此时货轮到达D处，测得货轮位于护卫舰的北偏东53°方向．求货轮航行的路程．（参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，交AB的延长线于点F，由题意得：CE＝DF，EF＝CD，在Rt△ACE中，AC＝26海里，∴CE＝AC•sin22.6°≈26×＝10（海里），AE＝AC•cos22.7°≈26×＝24（海里），∴CE＝DF＝10海里，在Rt△BFD中，∠DBF＝53°，∴BF＝≈＝7.5（海里），∵AB＝40海里，∴CD＝EF＝AB+BF﹣AE＝40+7.7﹣24＝23.5（海里），∴货轮航行的路程约为23.5海里．24．（8分）某平台提供同城配送服务，每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元：路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，若超过3千米，则超过部分每千米2元（元）与物品重量x（kg）之间的函数关系如图中折线所示．（1）当物品重量为3kg，配送路程为16km时，则配送的费用为37元；（2）当5≤x≤15时，求y与x的函数表达式；（3）某客户需将重量为22kg的物品送到相距10km处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过20kg，现需要分两单配送（物品可任意拆分）62元．【解答】解：（1）当物品重量为3kg时，基础配送费为8元，重量附加费为4元，根据“每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费”，得8+29+0＝37（元），∴配送的费用为37元．故答案为：37．（2）当8≤x≤15时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k，且k≠0）．将坐标（5，2）和（15，得，解得，∴当5≤x≤15时，y与x的函数表达式为y＝x﹣4（5≤x≤15）．（3）当x＞15时，设y与x的函数表达式为y＝k1x+b2（k1、b1为常数，且k2≠0）．将坐标（15，10）和（201x+b8，得，解得，∴y＝2x﹣20，∴y与x的函数表达式为y＝．根据题意，得每单的基础配送费为6元．设第一单配送物品的重量为mkg，则第二单配送物品的重量为（22﹣m）kg．①当0＜m＜5时，17＜（22﹣m）＜22，∴第一单的重量附加费为6元，第二单的重量附加费为2（22﹣m）﹣20＝24﹣2m（元），根据“每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费”，得W＝6×2+17×2+5+24﹣2m＝﹣2m+74，∵﹣5＜0，∴W随m的增大而减小，∵0＜m＜6，∴当m＝5时，W值最小，W最小＝﹣2×4+74＝64．②当5≤m＜7时，15≤（22﹣m）≤17，∴第一单的重量附加费为（m﹣4）元，第二单的重量附加费为2（22﹣m）﹣20＝24﹣2m（元），根据“每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费”，得W＝7×2+17×2+m﹣4+24﹣2m＝﹣m+69，∵﹣1＜7，∴W随m的增大而减小，∵5≤m＜7，∴当m＝3时，W值最小，W最小＝﹣7+69＝62．③当7≤m≤15时，8≤（22﹣m）≤15，∴第一单的重量附加费为（m﹣5）元，第二单的重量附加费为（22﹣m）﹣5＝17﹣m（元），根据“每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费”，得W＝4×2+17×2+m﹣2+17﹣m＝62．④当15＜m≤17时，5≤（22﹣m）＜7，∴第一单的重量附加费为（8m﹣20）元，第二单的重量附加费为（22﹣m）﹣5＝17﹣m（元），根据“每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费”，得W＝8×7+17×2+2m﹣20+17﹣m＝m+47，∵6＞0，∴W随m的减小而减小，∵15＜m≤17，∴当m＝15时，W值最小，W最小＝15+47＝62．⑤17＜m＜22时，0＜（22﹣m）＜8，∴第一单的重量附加费为（2m﹣20）元，第二单的重量附加费为0元，根据“每单费用＝基础配送费+路程附加费+重量附加费”，得W＝3×2+17×2+4m﹣20+0＝2m+30，∵3＞0，∴W随m的减小而减小，∵17＜m＜22，∴当m＝17时，W值最小．综上，62＜64，∴两单费用之和的最小值为62元．故答案为：62．25．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2（m为常数）．（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，求m的值．【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2+8（4﹣m2）＝5m2+16﹣4m6＝16，∴二次函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）y＝﹣x2+2mx+2﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4∴C（m，4），4﹣m5），∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，∴4﹣m2＝﹣6，∴m＝．26．（9分）如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，⊙O经过点A、B、E，点F恰好在⊙O上．（1）求证：AF＝DF；（2）求证：AD是⊙O的切线；（3）若，AF＝4，则BE的长为．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CEF，∵∠CEF＝∠BAC，∴∠FAD＝∠FDA，∴AF＝DF；（2）证明：如图，连接AO并延长交BE于H，OE，AE，∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，∴△AFB≌△AFD（SAS