人教版高中数学必修一《 用二分法求方程的近似解》教学设计（含答案）

3.1.2用二分法求方程的近似解

教学设计（一）

学习准备

教师需要明了：

1.新教材为什么增加求方程的近似解？

2.为什么用“二分法”求方程的近似解？

3.本节内容在教材中的地位和作用.

4.明确学生现有的水平和可能的发展水平.

学生需要复习：方程的根与函数的零点的相关知识.

在此基础上，根据学生“最近发展区”确定本课时教学和学习目标.

教学目标

1.了解二分法是求方程近似解的一种方法.

2.会用二分法求给定精确度的方程的近似解.

3.在具体问题情境中感受逐步逼近的过程.

4.培养学生观察、分析数据的能力.

5.培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神.

教学重点与难点

重点：二分.法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.

难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解.

教学方法与教学手段

教学方法：“问题驱动”，启发、探究

学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解

教辅工具：计算机、投影仪、计算器

教学过程

1.设置情境，提出问题

问题1：你会求哪些类型方程的解？

写一写你不会求解的方程.

设计意图

让学生感受有大量的方程不，能求解，引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲.

问题2：能不能求方程的近似解?

2.自主探究，获得新知

以求方程/+3%—1=0的近似解(精确度0.1)为例进行探究.

探究1：怎样确定解所在的区间？

(1)图象法(数形结合)：

(2)试值法：

设犬x)=V+3x—l,/0)=-1<0,y(l)=3>0.

复习：(1)方程的根与函数零点的关系；

(2)根的存在性定理.

探究2：怎样缩小解所在的区间？

幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：

(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？

设计意图

在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离，不仅激发学.生

学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想.

问题3：为什么要取中点，好处是什么？

设计意图

体会二分法优于其他如“三分法”，“四分法”，华罗庚的“优选法”等.

探究3：区间缩小到什么程度满足要求？

设计意图

利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然,

突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性.

问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？

通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了.

二分法的定义：

对于在区间［a,加上连续不断且满足/(a)7(b)＜0的函数y=/(x),通过不断地把函数/(x)

的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法

叫做二分法.

用二分法求零点近似值的步骤：

给定精确度£,用二分法求函数段)的零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间［a,b］,验证。a)7(b)＜：0,给定精确度£;

(2)求区间(a,6)的中点c；

(3)计算的＞；

①若7(c)=0,则c,就是函数的零点；

②若1a)7(c)vo,则令6=c(此时零点xoW(a,c))；

③若＜’)次力＜0,则令a=c(此时零点x()G(c,b)).

(4)判断是否达到精确度e：

即若|a—臼〈心则得到零点近似值。(或勿：否则重复步骤(2)〜(4).

3.例题剖析，巩固新知

【例】借助计算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近.似解(精确度0.01).

两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师

点评.同时演示用Excel程序求方程的近似解.

设计意图

(1)演示Excel程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与教学课程有机整

合.进一步明确为什么用“二分法”求方程的近似解.(2)算法流程比较简洁，便.于编写计

算机程序，利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了.

4.知识迁移，生活应用

(1)猜商品价格；

(2)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，

为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为.

5.检验成果，巩固提升

(1)下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是()

ABCD

思维升华：在零点的附近连续且式。)皿与＜0.

(2)方程4，+2x—11=0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似

解吗？

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

说明：二分法不仅能求方程的近似解，有时也能求方程的精确解.

6.回顾反思

本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？

(1)预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学生

思考).

如图所示，区间m，加上有多个零点，还能否用二分法求方程的近似解？如果能，该怎

样做？

(2)学生课堂生成新问题(不同的班级可能会有不同的问题，具体问题具体解决).

课外作业

1.书面作业

⑴习题3.1A组3,4,5；

⑵求2、+3x=7的近似解(精确度0.1).

2.知识链接阅读与思考“中外历史上的方程求解”.

板书设计

课题：(投影显示)

1.提出问题：

2.自主探究：

3.抽象概括：

4.巩固练习：

5.归纳总结：

教学反思

1.注重学生参与知识的形成过程；

2”注重培养学生的应用意识；

3.恰当地利用现代信息技术.

教学设计（二）

作者：冯红果，泉州市第七中学教师.本教学设计获福,建省教学设计大赛一等奖.

整体设计

教学内容分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书・数学1》人教A版第三章第一节第二课，主

要是分析函数与方程的关系.教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方

程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联

系.然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，

通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用

过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数

与方程的联系.

本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解.它以上节课的“连续函数

的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与

函数的关系”：而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学

习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术

应用”的理念.求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目

标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据.

学生学习情况分析

同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由

生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注

数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法.其中运用“二分法”进行区间缩小的依

据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要

学生“跳跳”才能摘到的“桃子”.

设计理念

本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的

过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注

重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象

与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程.

教学目标

1.理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助

教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；

2.体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学

生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；

3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通

过迂回的方法使问题得到解决的快乐.

教学重点与难点

教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的

思想.

教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小.

教学过程

教学基本流程图

教学情境设计

教学设计学情预设设计意图知识链接

创71.教师从学生熟悉的电视1.利用视屏与游戏

看商品W

设猜价格节目，引导学生体会、分析、归的形式，学生会踊跃参

点击将有

情纳迅速猜价的方法.与：商品价格竞猜也是学

学生能够主动参与游戏，生熟悉的，竞猜的方法会

境配舍:/#2.

并且参与游戏的同学可以比较很多样，可以进行竞赛.

和体:li钝

引并总结经验.学生会有很多种方2.通过问题2,启发

出1.大家都看过《幸运52》吧,案.学生寻找确定区间的依

课今天咱也试一回（出示游戏）.3.对于“问题2”学生能够据，为后面探索“用二分

题2.竞猜中，“高了”、“低顺利地得出“主持人的“高了，法求方程近似解”的时

了”的含义是什么？如何确定价低了”的回答是判断价格所在候埋下伏笔.

格的最可能的范围？区间的依据”这个结论.3.通过游戏，让学

3.如何才能更快地猜中商品4.此时教师通过“问题3”生经历游戏过程，感受数

的预定价格？引导学生进行比较哪种方法更学来自生活，激发学生的

4.“二分”的思路是什么快？更好.从中学生可以得到用二学习兴趣；引导学生善于

分法解决问题的思路——二分发现身边的数学，培养学

指的是将解所在区间平均地分生的归纳演绎的能力；学

为两个区间.会将实际情境转化为数

学模型.

4.通过比较不同的

方法得出最快的竞猜的

方法一二分法.

1.教师通过“问题1”对上［设计意图］

节课的内容进行复习引入，点出1.开门见山，延续

今天的课题.并且有刖面游戏作上一节课的内容继续深

为伏笔，学生能够得出“连续函入地研究，使得知识有一

数零点存在定理”是判断方程个链接，让学生能够很容

1.上节课我们学了什么定

的根所在区间的依据.易地将新知识建构到旧

理，它的作用是什么？还有什么

2.通过“问题2”应用具体的知识体系中.

问题没有解决？

的题目引导学生进行思考.学生2.运用问题1,将学

2.已知函数火x)=1nx+2x—

通过引导将方程的解与商品的生的思路与前面已解决

6在区间(2,3)内存在一个零点；如

价格联系到一起，运用刚才的游的问题联系起来，引导学

何求出方程Inx+2x-6=0在区

戏的经验，得到缩小区间的想生层层深入，抽丝拨茧，

间(2,3)的近似解(精确度为

师法.学习如何分析问题、如何

0.01)?与刚才的游戏是否有类似

生3.学生对精确度的概念可利用新的知识解决问题；

之处？

探能有所遗忘.教师可以借助数轴培养学生分析问题、解决

3.精确度的含义是什么？怎

究解释说明精确度的含义，引导学问题的能力，以及运用知

样的区间才算满足设定的精确

生思考什么时候停止操作.识、驾驭知识的能力.

度？

构4.教师通过''问题4〜6”3.师生的互动有利

4.区间(2,3)的精确度为多

建引导学生将“二分法”与“零于一边引导一边总结.将

少？

新点存在定理”相结合得到正确二分法应用于解决实际

5.如何将零点所在的范围缩

知的新的零点所在的区间.并确定问题，即将新的知识应用

小(即

结束的时间.于解决新的问题.培养学

如何将精确度缩小)？缩小的

5.学生按照游戏的方法也生实际应用的

依据是什么？

就是按照“二分法”的思路，不能力，加强解决问题

6.如何利用今天“猜价

断缩小零点存在的区间，进行具的严谨性，总结知识的逻

格”--“二分法”的逼近思想

体操作，填出(附录1)中的表辑性.使得最后方法的总

来缩小区间？

格.表格刚开始的前几行学生可结能够顺利进行.

7.近似解是多少？

能会比较慢，也有可能会出错；4.有了前面的商品

通过多次的重复以及经验的总竞猜过程的经历，学生比

结，后面的表格可以正确地、快较容易入手，分析比较容

速地回答出来；使得最后的“应易到位，从而降低思维的

用二分法求函数的零点”的方难度.

法的总结更加顺利.［知识链接］

6.对于“问题7"学生不太1.函数零点存在定

容易得到比较简洁的结论.教师理：如果函数在区

可以进行解释说明：“由于整个间［a,句上的图象是连续

区间内的数均满足精确度的条不断的一条曲线，并且有

件，因此区间内的所有数均可以那么，函数

作为近似解，但区间端点a,by=/(x)在区间(“，/内有

是已知的值，所以可以取a或b零点，即存在cW(a,b),

作为近似解.”，最后得到方程使得xc)=0,这个c•也就

的近似解(附录1的表格后面的是方程式x)=0的根.

内容).2.精确度是对同一

个量的不同近似数的精

确程度的度量.一般是：

一个近似数，四舍五入到

哪一位,就说这个近似数

精确到哪一位.

形学生经过老师“问题1〜［设计意图］

1.我们刚才的求解过程中有

成2”的提示与引导，可以得到1.不断的引导,将

哪些过程是一直重复出现的？

概“取区间的中点，计算函数值，刚才的解题过程经过

2.我们取其一段，大家看如

念比较符号，确定新的区间”这样“自然语言——数学语

何用数学语言来描述？的相同的过程.言——去其糟粕取其精

深3.点明求方程的近似解的学生根据“二分法”的定华一具体步骤”的过

化“二分法”：对于在区间3,力义进行归纳总结：运用二分法求程，帮助学生学会归纳总

提上连续不断、且式（份＜0的函方程的近似解的步骤（附录2）.其结的方法.

高数y=Ax）,通过不断地把方程的中步骤①“画图或利用函数值2.课间的及时总结

解所在的区间一分为二，使区间的正负，确定初始区间3，b）,有利于学生对当前所学

的两个端点逐步逼近近似解，进验证犬4求份〈0"；学生很有可的内容进行升华，了解自

而得到近似解的方法叫二分法.能会有遗漏.此时可以提出“问己掌握了什么知识，在后

题5”引导学生回忆、思考，从面的做题中可以有法可

而得至IIi云ffl一分件的前樨依，可以提高解题的正确

即步骤①.率，增强自信.

对于“问题6”，较好的学3.问题6的设计是

生才能回答出来.将学生的思维进一步升

华，不再停留在技能这一

个层次，而是上升为数学

思想方法的层次.

4.进一步提出问题：运用二

［知识链接］

分法求方程的近似解的步骤是什

1.运用二分法的前

么？

提是要先判断根在某个

5.运用二分法的前提是什么

所在的区间.

（游戏开始时要先做什么工作）？

2.二分法实际上是

引例条件的内涵是什么？

通过缩小区间长度寻找

6.二分法的实质是什么？它

解的一种方法.

有什么作用？

课1.练习：（1）（2）题为例题仿照练习1.（1）（2）题经过同桌两［设计意图］

内题，由同桌协助完成.（3）（4）题考位同学合作可以顺利完成.（3）（4）1.不同层次的题目，

练查二分法的含义，由同学独立完题独立完成如果有困难的同学层层递进，不断提高学生

习成，可以寻求帮助.（附录4）在同伴或老师的帮助下可以完的能力.不仅巩固新学的

2.思考：两道题均为实际应成.知识，而且让不同层次的

课用题，为学有余力的同学提高能练习2实际应用：学有余力学生得到不同的收获；

后力.（附录4）的同学与同伴合作探讨，也可以2.培养合作、互助

作3.课后作业：习题3.1A组解决.精神；

业3,4；B组1,2.3.培养学生应用与

创新的能力，利用二分法

的逼近思想解决实际问

题.

［设计意图］

教师通过点名提问，学生借

学生的归纳总结的

助教师的帮助对整节课进行最

本能力不强，需要不断的培

请同学们回顾一下本节课的后的归纳总结，得到以下两点：

课养；课后的总结有利于学

教学过程，你觉彳导你已经掌握了（1）二分法是一种求一元方程近

小生对整节课的内容进行

哪些知识？似解的通法.（2）利用二分法来解

结升华，了解自己掌握了什

一元方程近似解的操作步骤（附

么知识，养成良好的学习

录3）.

习惯，建立自信心.

教学反思

1.本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游

戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游

戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零

点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际（特殊）——二

分法的理论（一般）——二分法的应用（特殊）”.让学生经历知识的形成与应用过程，培养发

现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体

会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美.

2.引入课题的方式，（1）从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；（2）开门见

山一“继续前面的研究”引入.

（附录1）解：设/）=lnx+2x—6,xd（2,3）,先取区间的中点，再计算中点的函数值,

接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：

区间中点的值中点函数近似值精确度

(2,3)2.5-0.0837092681

(2.5,3)2.750.5116009120.5

(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25

(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125

(2.5,2.5625)2.53125-0.0087867480.0625

(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125

(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625

(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813

(2.53125,2.53515625)2.533203125-0.0041091910.003906

(2.533203125,2.53515625)2.534179688-0.0017706340.001953

(2.534179688,2.53515625)2.534667969-0.0006014120.000977

(2.534667969,2.53515625)2.534912109-1.68166X10-0.000488

所以,当精确度为0.01时,由于12.5390625-2.531251=0.0078125V0.01,因此我们

可以将x=2.53125作为函数外）=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程Inx+2x-6=0根

的近似值.

（附录2）二分法求解方程Hx）=0（或g（x）=〃（x））近似解的基本步骤：

①画图或利用函数值的正负，确定初始区间①，h）,验证人a）•火力V0；

②求区间3，份的中点xg=W"））；

③计算应⑴：若兀q）=0,则xi就是函数兀0的零点，为就是大x）=0的根，计算终止；

若加）穴内）＜0,则选择区间（a,X1）；

若加次V1）＞O,则选择区间（XI，b）；

④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度£（若是要求精确到£,

两端点精确到同一个近似值时才终止计算）.

（附录3）

1.练习：（1）应用计算器，求方程V+3x—1=0的一个正的近似解.

（2）应用计算器，求方程2、+x=4的近似解.

（3）用二分法判断方程2'=/的根的个数（）

A.1B.2C.3D.4

（4）方程lg（x+4）=10,的根的情况是（）

A.仅有一根B.有一正根一负根

C.有两负根D.无实根

2.思考：（1）从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需

及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？

（2）一天，泉州七中校区与现代中学（分校）校区的电缆线路出了故障（相距大约10km）,

电工是怎样检测的呢？

答案：略

教学设计（三）

作者：罗志强，长汀县第一中学教师.本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖.

整体设计

三维目标

1.知识与技能：

①通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；

②借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法.

2.过程与方法：

①了解数学上的逼近思想、极限思想；

②体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备.

3.情感、态度与价值观：

①通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；

②体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一：

③通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程.

教学重点与难点

教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；

教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的

方程的近似解.

教材分析

本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的

关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似

解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备.教科书不仅希望学生在数学

思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解

的史料来渗透数学文化，提高数学素养.

学情分析

学生基础较好，学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方

法，体验二分法中的逼近思想、算法思想.但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因

此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决

这一问题的能力.

信息技术分析

多媒体教室及几何画板、VisualBasic应用程序.

教学方法

动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践.

教学过程

教学设计流程图

创设情境导入|——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课,提出二

分法的思想

例题回顾|—回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何

画板》演示

合作探究——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解

师生小结——总结出用二分法求方程近似解的步骤

学以致用——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解

数学文化——介绍数学家求方程的近似解的历史

知识迁移|——利用VisualBasic编写程序，渗透算法思想

教学设计理念

1.倡导积极主动、勇于探索的学习方式.

2.鼓励学生自主探究、合作交流.

3.注重信息技术与数学课程的整合.

4.体现数学的文化价值.

教学情境设计

一、创设情境，导入新课

问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间

内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标.某次猜

一种品牌的手机，价格在500〜1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；

紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851

元，恭喜你，你猜中了.

设计意图

1.创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发.学生的学习兴趣，并在教师的指导下设

计猜价方案.

2.在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入''二分法"，水到渠

成.

师生活动：

师:表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”

的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你

的猜价方案猜手机价格？

生：猜价方案

区间中点（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875问J

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851ok

师：用儿何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想（附图一）.

生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间.

师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题.

二、例题回顾

人教A版3.1.1节例1

求函数/（x）=lnx+2x-6的零点的个数？方程lnx+2x—6=0的实数解的个数？

问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？

问题2：共助=111；＜:+2%—6在区间（2,3）内有零点，如何找出？

设计意图

通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会

数学模型之间的转换.

师生活动：

师：借助几何画板直观演示（附图二）函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让

学生思考问题2,提示学生回顾猜价方案的思想.

生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路.

师：提问学生.

生：1.取(2,3)的中点2.5,发现佳2.5)次3)V0,所以零点在(2.5,3)内.

2.以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小.

三、合作探究

问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？

问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？

问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？

设计意图

1.让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想.

2.引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学

生充分体会二分法思想.

3.引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用.

师生活动：

1.师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论.

生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解.

2.师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.

生：分组交流.

生：经合作整理，规律如下：

每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间.

师：实质是根据什么定理？

生：零点存在性定理.

3.师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度e,只要将上述步骤进行有限次重

复后即区间两端点差的绝对值小于£,则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.

几何画板直观演示(附图四).

四、师生小结

你能说出二分法的意义及用二分法求函数y=/(x)零点近似值的步骤吗？

1.二分法的意义

对于在区间［“，回上连续不断且满足(份＜0的函数通过不断地把函数人幻

的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法

叫做二分法.

2.给定精确度€,用二分法求函数式X)零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附

图五).

设计意图

引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的

思想，体险解决问题的成就感.

师生活动：

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似

零点的具体步骤.

师：分析关键词：

犬〃)7(/?)<0、=精确度£、|。一句<£的意义.

生：结合求函数;(x)=ln(x)+2x-6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计

算原理.

五、学以致用

问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例.

问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2*+3x=7的近似解.(精确度0.1)

设计意图

1.培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系.

2.培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使

学生的认识不断加深.

师生活动：

1.师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子.

生：电力工人检测电线，找故障.

2.(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导.

(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六).

六、数学文化

阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”.

设计意图

让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养.

七、知识迁移

问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进

行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？

设计意图

初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔.

师生活动：

师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得

到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法.它的优点

是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现.例如我们可以编写用二分法求方程的

近似解的程序，快速地求出一个函数的零点.

程序框图及程序（附图七）

八、课堂小结

问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？

设计意图

学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构

更趋合理.注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验■化为能力.

师生活动：

师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：

1.要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法

求方程的近似解；

2.二分法的意义；

3.二分法求方程的近似解的步骤；

4.逼近、极限、二分法.

教学设计附图：

区间中点（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875高了

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851课题

附图•

附图二

/(x)=(lnx+2,x)-6

n\\ba±b!/(粤)

T!：a-bi㈣：的）

0；2.00000；3.00000；2.50000；-0.084\1.00000；-1.307；1.099

1；2.50000；3.00000|2.75000;0.512；0.50000|-0.084；1.099

2]2.50000!2.7500012.62500!0.215J0.250001-0.084J0.512

3；2.50000；2.62500；2.56250；0.066；0.12500；-0.084；0.215

4]2.50000[2.56250]2.53125|-0.009；0.06250•-0.084[0.066

5：2.5312512.56250：2.54688!0.029!0.03125；-0.009!0.066

6[2.53125；2.54688；2.53906；0.010；0.01563|-0.009；0.029

!2.53125I2.53906I；；；

7।।।2.5351610.00110.007811-0.00910.010

附图三

1-

0.8'/(x)=(lnx+2•x)-6«=7.00(

Tl。I6II/除ITbIA>)।Ab)

一T—一—一f'___1__——4_—__L——__|_一

0.60^2flOOOO'WOOOT2.5OOOO'-OOM•1,000003071l.(W

jJ运恒(®®(超2副私21工运3工近应匚国■匚口,丽

2|2j0000|2.75000|2.62S00|0215|Q23000|-0.084|0.512

0.4

0.22:53906_OO1O匚12fxi_|_?噌

isisTiT~ooi-o.oo7«FjVob9"jb.oio'

0.511.522.53

-0.2-

-0.4-/

-。6

-0.8■

-1.2-1

附图四

二分法求解方程近似解的基本步骤：（精确度£）

1.利用计算或作图的方法，确定初始区间I”,b]-,

2.验证人07（力＜0；

3.求区间（“，6）的中点c=W"；

4.计算7（c）：（1）若y（c）=O，则C就是函数的零点；（2）若丸。）哄。）＜0,则令6=c（此时

零点XoG（a,c））；（3）若〃）小初＜0,则令a=c（此时零点X（）e（c,勿）；

5.判断是否达到精确度打即若|4一目＜£,则得到零点的近似值。（或加；否则重复3〜

4.

附图五

附图六

附visualbasic程序

PrivateSubCommandl_Click（）

DimaAsSingle

DimbAsSingle

DimdAsSingle

a=InputBox（"a”，”区间左端点”）

b=InputBox（"b”,“区间右端点”）

d=InputBox（“d”,“精