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培优课18圆锥曲线中的定点、定值问题培优点一定点问题典例1[2023·全国乙卷节选]已知椭圆C：y29+x24=1，点A−2,0在C上，过点−解题观摩[解析]由题意可知直线PQ的斜率存在，如图，设PQPx1,联立y=kx+2则Δ=64k2可得x1+x因为A−2,令x=0，解得y=2y1同理可得N0则2y1x====108所以线段MN的中点是定点0,求解圆锥曲线中定点问题的两种方法1.特殊推理法：先从特殊情况入手,求出定点,再证明定点与变量无关.2.直接推理法：（1）选择一个参数建立方程,一般将题目中给出的曲线方程（包含直线方程）中的常数k当成变量,将变量x,y当成常数,将原方程转化为kfx（2）根据曲线（包含直线）过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立）,得到方程组f（3）以（2）中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点,若定点具备一定的限制条件,可以特殊解决.从证明线段中点为定点变为证明直线过定点[2022·全国乙卷]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,−2（1）求E的方程.[解析]设椭圆E的方程为mx2+ny2=1，过A0所以椭圆E的方程为y2（2）设过点P1,−2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT[解析]A0,−2,B32①若过点P1,−2的直线斜率不存在，则直线为x可得M1,263，N1,−263，把y=263代入AB方程②若过点P1设直线MN:kx−y−联立kx−y−可得x且x1y联立y=y1,y可求得此时HN的方程为y−将0,−2代入整理得将∗代入，得24k+综上，直线HN过定点0,−培优点二定值问题典例2已知椭圆x25+y2=1，O为坐标原点，A，设OD=OA+OB解题观摩[解析]设Ax1,由OA+OB=∴直线AB的斜率kAB=y1−由x125即y1+y∴kAB⋅kOD=−1圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.2.两大解法（1）从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;（2）引进变量法：其解题流程为从证明直线的斜率之积为定值变为证明斜率之和为定值[2024·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：x2a2+y2b2=（1）求椭圆C的标准方程.[解析]因为2a=8，所以a=4，又PM=2MF，所以a2c（2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k①求证：k1②求△ABF[解析]①当直线AB的斜率为0时，显然k1=k当直线AB的斜率不为0时，设AB：由x=my−

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