圆锥曲线的发展历史教材

圆锥曲线新泰一中

2013.12.216/20/2024圆锥曲线的形成用一个平面截圆锥面所得的曲线形成圆锥曲线26/20/202422012/12/10梅内克缪斯（Menaechmus）约公元前380-前320，古希腊时代圆锥曲线的第一个人2012/12/10他是古希腊数学家，为欧多克索斯（Eudoxus）的学生，又是柏拉图学园中的成员。曾为Cyzicus的学校校长，担任几何学教师，著名于一时。他是系统地研究圆锥曲线的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类来研究它，所以后来的学者称为梅内克缪斯（Menaechmus）三曲线。2012/12/10梅内克缪斯从西波克拉解决倍立方问题的研究中受到启发。他取三种圆锥（即直角、锐角和钝角的圆锥），用垂直于锥面一母线的平面截每种锥面，分别得到了拋物线、椭圆和双曲线的一支。2012/12/10梅内克缪斯曾当过当时亚历山大大帝的老师，亚历山大问梅内克缪斯，是否可以专门为他把几何搞得简单一些。梅内克谬斯则回答说："在大王的国家里有老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在几何里却只有一条道路。"这个广为流传的故事出自古希腊晚期作家斯托比亚斯的著作之中。2012/12/10解析几何的先驱2012/12/10

笛卡儿(René·Descartes)(1596-1650)

法国科学家、哲学家,

数学家，1596年3月13日，生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城，3天后，母亲去世，从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病。1649年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学，很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650年2月11日，这位科学巨人与世长辞了。

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笛卡儿他是以下列身份的结合来研究数学的，作为哲学家、作为自然界的探索者、作为一个关心科学用途的人．他的基本思想是要建立起一种普通的数学，使算术，代数和几何统一起来．他曾说：“我决心放弃那些仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思维的问题．我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何．

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著作：《几何学》．笛卡《几何学》所阐述的思想，被弥尔称作“精密科学进步中最伟大的一步”2012/12/10

笛卡儿的理论以两个观念为基础：坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线．2012/12/10

第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则．指出了多项式方程：f(x)=0的正根的最多数目等于系数变化的次数，而负根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数．在他的《几何学》中第一次出现变量与函数的思想．笛卡儿所谓的变量，是指具有变化长度而不变方向的线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量，正是变量的这两种形式使笛卡儿试图创造一种几何与代数互相渗透的科学．笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形”与“数”统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革2012/12/10

笛卡儿对韦达所采用的符号作了改进，他用字母表中开头几个字母a;b;c

等表示己知数，而用末尾几个字母x;y;z等表示未知数，这种表示法一直沿用至今．他还考虑过高次抛物线(yn

=px;n>2)，并且给出了作摆线切线的相当精巧的方法．笛卡儿认为科学的本质是数学．2012/12/10费马是法国数学家，1601年8月出生于生活在富裕舒适的环境中．费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响．直到14岁时，费马才入博蒙¢德¢洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律在数学上，《数学论集》是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的．我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在17世纪，这个问题也是突出的．费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐2012/12/10

费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发现，如果通过坐标系把代数用于几何，轨迹的研究就易于进行，他定义了以下曲线：直线方程为：b=d=(a¡x)=y；椭圆方程为：a2¡x2=ky2；双曲线方程为：xy

=k2;a2+x2=ky2；抛物线方程为：x2=ay;y2=ax．后来又写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》(1679年表)，提出了一个很重要的命题：两个未知量决定一个方程式，对应着一条轨迹可以描绘一条直线或曲线．1643年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想．2012/12/101629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（与欧几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果）失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论（苏注：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。对于圆锥曲线，后文需用它说明一个问题，到那时，我再对它作出较详细的解释）进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》（苏注：即研究“点”在平面和立体空间中运动划出的“轨迹”，主要指直线和各种曲线。费尔马又是用代数方法研究的，所以与笛卡尔的类似。笛卡尔坐标中实际也是将直线和曲线看成点的运动轨迹的，所以又叫“变数”。——“点的坐标”有规律地变化，就“跑”出了一条抛物线或双曲线……）。

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费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人．此外，费马对物理学也有重要贡献．一代数学大才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．2012/12/10把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.

2012/12/10数形结合思想：数（式）形“几何意义”观察形的变化得出结论2012/12/10A从点P(m,3)向圆引切线，则切线长最小值为--------。(x+2)2(y+2)2+=126YXO3-2-2PPP2012/12/10直线l

过点M(-1,2)且与以P(-2,-3)、Q(4,0)为端点的线段相交，则l斜率的取值范围是------------。2YXO4-2-3-1MPQππ2YXO[5,+∞)∪(-∞,]522012/12/10已知双曲线的右焦点为F，

点A(9,2)不在双曲线上，在这个曲线上求一点M，使最小，并求出这个最小值。9x2y216=1MA35MF+2YXO9-235-3-5A(9,2)FMdM2012/12/10YXO5-5-44已知x，y满足条件，求y-3x的最值。x216+y225=1y-3x最大值为：13y-3x最小值为：-132012/12/10圆锥曲线的历史两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius)(约公元前262-前190）采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有《圆锥曲线》一书，全书共八卷，含487个命题，古希腊几何的登峰造极之作.用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。256/20/202425圆锥曲线的历史在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。266/20/202426圆锥曲线与天文学天文从圆开始地心说的起源很早，最初由古希腊学者欧多克斯提出，经亚里士多德完善以地球为中心，以太阳、月亮及其他星球的圆形轨迹为边际的球体式宇宙体系这种模型经常出现与实际观察数据不符中国古代的盖天说与浑天说都是地心说。276/20/202427圆锥曲线与天文学公元150年左右，天文学家托勒密（ClaudiusPtolemy）对这体系进行了修改，引进更多的圆，当一个圆在旋转的同时，圆心也在绕另外一个圆周运动，这个数学模型延续了1000多年286/20/202428圆锥曲线与天文学16世纪，天文学家哥白尼提出了新的天体模型：日心说.以太阳为中心，通过这一改变，可以把复杂的圆周的总数从77个减少到31个，当仍然用圆作为天体运行的轨迹模型，其计算结果并不完全符合观测到的事实.296/20/2024291600年，天才观察家第谷邀请开普勒（Kepler）称为他的助手两人经常争吵，同时多次和解，共事18个月，第谷去世，开普勒接受了第谷一生所有的观测数据开普勒凭借其过人的数学才能与坚忍不拔的毅力，经过多年的艰苦探索后，提出了影响巨大的三个定律306/20/202430圆锥曲线与天文学开普勒三定律行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上.太阳与行星的连线在相等时间内扫过相等的面积.行星在轨道上运行一周所需时间的平方与轨道主轴的立方成正比

316/20/202431圆锥曲线与天文学开普勒被誉为“天空的立法者”。通过对数据的整理而获得的，是否有更一般的定理？1684年8月，哈雷访问牛顿，哈雷问：如果太阳的引力与行星离太阳距离的平方成反比，行星运行的曲线会是什么样的呢？牛顿马上回答：会是一个椭圆两年后，《自然哲学的数学原理》，其核心是牛顿三大运动定律及万有引力定律326/20/2024圆锥曲线与天文学怎样由万有引力定律推到出开普勒第三定律？向心力，其中m是物体质量，v是速度，r是圆周长

假设

336/20/2024圆锥曲线与天文学数学之用有时需要等待漫长的时间，圆锥曲线的历史为此提供了一个极为典型的例证.346/20/20241579年蒙蒂（GuidobaldodelMonte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。356/20/2024椭圆的光学性质

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。366/20/2024双曲线的光学性质

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上376/20/2024抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。386/20/2024格雷戈里反射望远镜格雷戈里(Gregory)（1638~1675），苏格兰数学家，1663年，在论文《光学的进展》中，提出了他设计的反射望远镜的方案两个反射镜和一个透镜主镜是一个中间带小孔的抛物面镜，附属的第二个反射镜是凹形椭圆面镜396/20/2024牛顿反射望远镜1668年，牛顿发明了一个与格雷戈里不同的反射望远镜把第二个反射镜换成了平面镜，这面镜的反光面正好和望远镜的主轴成45°制造工艺简单，可达到很高精度现在仍在天文爱好者中流行406/20/2024卡塞格林反射望远镜1672年，卡塞格林发明了另一种天文望远镜，他的设计方案极为巧妙主镜仍是抛物面，但第二个反射镜换成了一个双曲面的凸面镜，这两个反射镜的焦点重合，这样光线经抛物面反射后汇聚到双曲面的一个焦点，在汇聚前右由双曲面反射到双曲面的另一个焦点，在哪里聚焦成像。在成像处附近正是镜筒底部的小窗口，在那里安置目镜。416/20/2024天文望远镜解析几何的诞生推动了天文望远镜设计的发展有了解析几何，人们就不必再猜测某种曲面反射镜的光学性质，而是在这种反射镜实际制造出来之前就可以用代数方法计算出其光学性质。椭圆抛物面反射镜、双曲抛物面反射镜与抛物面反射镜结合426/20/2024杰尼西亚的耳朵西西里岛上舒古拉帝国暴君杰尼西亚往往把囚徒关在一个山洞里，囚徒们多次密谋逃跑，但秘密的计划总是被杰尼西亚所发现。起初，囚徒们以为狱友中有内奸，他们互相指责、怀疑，但始终没有发现任何一个囚徒在告密。

后来