小学奥数基本公式

小学奥数基本公式

一、数学公式

1、【等差数列的基本公式】

项数（n）=（末项-首项）♦公差+1

首项（为）二末项一公差X（项数一1）

末项（a?）:首项+公差X（项数一1）

和（s）=（首项+末项）X项数・2

奇数项等差数列的和=中间项X项数

2、【数线段条数的公式】

⑴、若线段AB上有m个基本线段（首尾相连的线段），贝UAB上

共有线段的条数

S=m+（m—1）+（m—2）+...+3+2+1

（2）、若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），贝寸AB线

段上共有的线段条数S,计算的公式是：

S=（n+1）+n+（n_1）+…+3+2+1

_（n+l）（n+2）

2

例如，求下图（图1.22）中所有线段的条数。

A,F1♦♦♦白，R

图1.22

解在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得

S=（5+1）+5+4+3+2+1

（5+l）X（5+2）

=21（答略）

2

注意：这一公式，还可以用来数形如图1.23的三角形个数。

A

在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段

条数的计算公式，得三角形的个数为

S=(4+%(4+%5(个)。(答略)

3、【数长方形个数的公式】

若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形

中长方形的总个数S为

S=(m+m-1+m—2+...+3+2+1)X(n+n—1+n-2+....+3+2+1)

_m(m+1)xn3+D

=~"2-2~~

例如，请数出下图1.24中共有多少个不同的长方形。

解长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。根

据数长方形总数的公式，可得

6X(6+1)4X(4+1)

S=----2----X----1----

=21X10=210（个）。（答略）

注意：这一公式，还可以用来数形如图1.25中的梯形的个

数。

图1.25

显然，这个图形中除了4ADE以外，其余均为大大小小的梯

形。

最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数

长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为

5X(5+1)4X(4+1)

3=------------------X--------------------

22

=15X10=150(个)o(答略)

4、【数正方形个数的公式】

若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n(n<m)等份

(长和宽上的每一份长度是相等的)，那么这个长方形中的正方

形总数S为：

S=mXnX(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+...+(m—n+1)X1

•特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形

中正方形的总个数S为：

S=I?+(n-川+(n-2尸+…+2?+12

=n(n+l)(2n+l)

6

例1求下图中正方形的总个数（如图1.26）o

图1.26

解图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在

长方形中数正方形个数的公式，可得：

S=7X3+6X2+5X1

=21+12+5

=38（个）。（答略）

例2求下图（图1.27）中的正方形有多少个。

图1.27

解图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计

算公式，得

S=42+32+22+12

4X（4+l）X（2X4+1）

6

=30（个）

（答略）

二、数学问题

1、【和差问题的公式】

已知两数的和与差，要求这两数（或其中一个数）是多少的应用

题。是和差问题。

较大数=（和+差）+2

较小数=（和一差）+2

2、【和倍问题的公式】

已知两个数的和及较大数为较小数的多少倍（或较小数是较大数

的几分之几），求这两个数各是多少（或其中一个数是多少）的

应用题，是“和倍问题”。

小数=和小（倍数-1）

大数=小数X倍数

（大数=和一小数）

31差倍问题的公式】

已知两个数的差及较大数是叫小数的几倍（或或较小数是较大数

的几分之几），求这两个数各是多少（或其中一个数是多少）的

应用题，是“差倍问题”。

小数=差小（倍数一1）

大数=小数X倍数

（大数=小数+差）

4、【盈亏问题公式】

（1）、一次有余（盈），一次不够（亏），可用的公式

分配对象=（盈+亏）・分配差

⑵、两次都盈（都有余数），可用公式

（大盈一小盈）4"分配差=分配对象

⑶、两次都亏（都不够），可用公式

（大亏一小亏）4"分配差=分配对象

⑷、一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式

亏4"分配差=分配对象

⑸一次余（盈），另一次刚好分完，可用公式

盈4"分配差=分配对象

5、【鸡兔的问题公式】

①已知总头数和总脚数，求鸡兔各多少只

兔数=（总脚数一每只鸡的脚数X总头数）。（每只兔的脚数一

每只鸡的脚数）

鸡数=总头数一兔数

鸡数=（每只兔的脚数X总头数一总脚数）4-（每只兔的脚数一

每只鸡的脚数）

兔数=总头数一鸡数

②、得失问题的解法

不合格品数=（每只合格品的分数X产品总数一实得的总分数）

4-（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

③不合格品数=总产品数一（每只合格品扣分数X总产品总数+

实得的总分数）-T（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

6、【植树问题的公式】

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：

①如果在非封闭线路的两端都要植树,那么：

棵数=段数+1

棵距=全长小段数

总长=棵距X段数

株距=全长子（株数一1）

⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树,那么：

棵数=段数=全长+棵距

总长=棵距X棵树

棵距=总长+棵树

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么：

棵数=段数一1

总长=棵距X段数

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

棵数=段数=总长+棵距距

总长=棵距X棵数

棵距=总长子棵数

7、【行程问题】

路程=速度X时间

速度=路程:时间

时间=路程4■速度

8、【相遇问题（同时异地相向运动）公式】

总路程=速度和X相遇时间

相遇时间=总路程:速度和

速度和=总路程4-相遇时间

9、【追及问题（同时同向运动）公式】

路程差=速度差X追及时间

速度差=路程差♦追及时间

追及时间=路程差。速度差

10、三人行问题：分三步完成（画线段图时注意中间的一段距离

既是相遇路程，又是追及距离）

1、和较慢的相遇求路程

2、同向追及求时间

3、和较快的相遇求路程

11、两次相遇问题（两人两次相遇和走3个全程）

（1）两次相遇在两边

第一次相遇X3—第二次相遇

（2）两次相遇在同一边

（第一次相遇X3+第二次相遇）4-2

12、【流水行船问题】

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度一水流速度

静水速度=（顺水速度+逆水速度）

水流速度=（顺流速度一逆流速度）:2

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速一水速

13、【环形行程】

既可以是相遇问题，也可以是追击问题，抓住环形跑道的周长为

不变量。

14、【车过桥的问题】

车过桥的时间=（车长+桥长）：车速

桥长=车速X车过桥的时间一车长

车长=车速X车过桥的时间一桥长

15、【牛吃草的问题】

原有草量=牛头数X吃的天数一草速X天数

草的生长速度=（牛头数X吃的较多天数一牛头数X吃的较少天

数）4-（较多天数一较少天数）

牛头数=原有草量:吃的天数+草速

吃的天数=原有草量+（牛头数一草速）

二、简便运算：课本P4页中间公式(较难打，所以只写出页数)

三、辗转相除法。(自己看书复习)

四、最大公因数与最小公倍数：

(ab)X[ab]=ab

两个数的最大公因数X这两个数的最小公倍数二这两个数的乘积

五、包含于排除：

容斥原理1、N=N(A)+N(B)-N(AB)

N(A)=N+N(AB)-N(B)

N(AB)=N-N(A)-N(B)

容斥原理2、N=N(A)+N(B)+N(0)-N(AB)

容斥原理3、N=N(A)+N(B)+N(C)—N(AB)-N(AC)-N(BC)+

N(ABC)

六、长方体或正方体涂色部分个数：

一个面涂色有(面上)：表面积计算公式：

【(长一2)X(宽一2)+(长一2)X(高一2)+(宽一2)X

(高一2)12

2个面涂色：在域上(棱长计算公式)

【(长一2)+(宽一2)+(鬲-2)】X4

三个面涂色部分有：(在顶点上)8个

不涂色部分：在里面(体积计算公式)

(长一2)X(宽一2)X(鬲-2)

七、分数应用题：

1、解题关键：找到和数字对应的分数

2、求一个数比另一个数多或少几分之几？

（大数一小数）：单位“1”的数

八、面积计算因注意：

利用三角形中等地等高的关系

几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、

分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规

律

常用方法：

i.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

立体图形

名称图形特征表面积体积

长

8个顶点；6个面；相对的面相等；V二abh

方S=2(ab+ah+bh)

12条棱；相对的棱相等；二Sh

体

正

8个顶点；6个面；所有面相等；12

方S=6a2V=a3

条棱；所有棱相等；

体

圆

上下两底是平行且相等的圆；侧面展S-S侧+2S底

柱V=Sh

开后是长方形；Sfthj-Ch

体

圆

下底是圆；只有一个顶点；1:母线，S-S侧+S底

锥

顶点到底圆