三年级奥数计算综合等差数列的计算（ABC级）

等差数列的基本概念及公式

一知识框架

一、等差数列的定义

（1）先介绍一下一些定义和表示方法

定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等

差数列.

譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3,递增数列

100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列

（2）首项：一个数列的第一项，通常用《表示

末项：一个数列的最后一项，通常用。“表示，它也可表示数列的第〃项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用〃来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；

和：一个数列的前〃项的和，常用S,来表示.

二、等差数列的相关公式

（3）三个重要的公式

①通项公式：递增数列：末项=首项+（项数—l）x公差，an=a,+（n-l）xd

递减数列：末项=首项-（项数—l）x公差，a„=a,-（n-l）xd

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末

项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这

样一个有用的公式：an-am=Cn-m）xd,（n>ni）

②项数公式：项数=（末项-首项）+公差+1

由通项公式可以得到：n=<ian-al）^d+1（若a.〉4）；〃=-%）+4+1（若q>%）•

找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的.

譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46,

分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、、（46、47、48）,注意等差是3,

那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有

48-4+1=45项，每组3个数，所以共45+3=15组，原数列有15组.当然还可以有其他的配组方法.

③求和公式：和=(首项+末项)x项数+2

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

(思路1)1+2+3++98+99+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)++(50+51)=101x50=5050

共50个101

(思路2)这道题目，还可以这样理解：

和=1+2+3+4++98+99+100

+和=100+99+98+97++3+2+1即，和

-2倍和=101+101+101+101++101+101+101

=(100+1)x1002=101x50=5050

(4)中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项

与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

譬如：①4+8+12+...+32+36=(4+36)x9+2=20x9=180,

题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20x9；

②65+63+61++5+3+1=0+65)x33+2=33x33=1089,

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33x33.

-n加盛

(1)找出题目中首项、末项、公差、项数。

(2)必要时调整数列顺序。

二例题精讲

一、等差数列的基本认识

［例1］下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6,10,14,18,22,98；

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64；

④9,8,7,6,5,4,3,2；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3；

⑥1,0,1,0,1,0,1,0；

【考点】等差数列的基本认识【难度】☆☆【题型】解答

【解析】①是，公差d=4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，因为4-2,2-1,

④是，公差d=l.

⑤是，公差d=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【答案】①是，公差d=4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，因为4-2先-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差d=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【巩固】3+12、6+10、12+8、24+6、48+4、……是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的

计算结果是。

【考点】等差数列的基本认识【难度】☆【题型】填空

【解析】规律是，第一个加数是公比为2的等比数列，第二个加数是差为2的等差数列，所以第六个式子

是96+2=98

【答案】98

【例2】小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗?

(3)3、4、5、6、...、76、77、78

(4)2、4、6、8、...、96、98、100

(5)1、3、5、7、....、87、89、91

(6)4、7、10、13、...、40、43、46

【考点】等差数列的基本认识【难度】☆☆【题型】计算

【解析】一、⑴连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、

5、6、7、8、.....，发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项，那么这个数列就有76项.对

于连续的自然数列，它们的项数是：末项一首项+1.

（2）如果添上此数列所缺的一些奇数，就变成了1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、

98、99、100,可知这个数列是100项.让它们两两结合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、

8）、....、（95、96）、（97、98）、（99、100）,奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且

每组里偶数比奇数大，同学们一看就知道，共有100+2=50组，每组把偶数找出来，那么原

数列就有50项了.这样的方法我们称为“添数配组法

（3）利用“添数配组法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）.............（87、88）、（89、90）、（91、

92）,1〜92有92项，每组2项，那么可以得到92+2=46组，所以原数列有46项.

（4）利用“添数配组法”得:（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、...、（46、

47、48）,注意每两项的差是3,那么每组有3个数，数列中的数都在每组的第1位，所以

46应在最后一组第1位，4至U48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45+3=15组，原

数列有15项.当然，我们还可以有其他的配组方法.

二、这道题目也可用于学生对等差数列求项数公式的学习。

【答案】⑴76（2）50⑶46（4）15

【巩固】1,3,5,7,……是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是»

【考点】等差数列的基本认识【难度】☆☆【题型】填空

【解析】2x2005-1=4009

【答案】4009

［例3］已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多

少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】一、把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161467,173,179,185,191

二、直接求出公差：由%-/=,（〃>得出d=（a“-%”）+（n-m）。137-131=6,再求首

项：131-（9-1）x6=83,最后求出19项。

【答案】83,191

【巩固】在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这

12个数的和为o

□□口□□画□□画□□口

【考点】等差数列的基本认识【难度】☆☆【题型】计算

【解析】一、由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2,那么第

一个方格填26,最后一个方格是4,由等差数列求和公式知和为：（4+26）x12+2=180。

【答案】180

二、等差数列公式的简单运用

［例4］2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的

一个.

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数

的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320+5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶

数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

方法二：5个连续偶数求和，我们不妨可以把这5个数用字母表示记作：x-4、x—2、x、x+2、

x+4.那么这5个数的和是5x=320,x=64,进而可得这五个偶数依次是60、62、64、

66、68,其中最小的是60.请教师引导学生体会把中间数表示为x的便利，如果我们把最

大或最小的数看成x,那么会怎样呢？

【答案】60

【巩固】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256,那么这8个奇数中最大

的数是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为y,那么这8个数为：y-6,y-4,y-2,y,y+2,y+4,

y+6,y+8,根据题意可得：8y+8=256,所以y=31,最大的奇数是y+8=39.

【答案】39

［例5］在等差数列6,13,20,27,…中，从左向右数，第个数是1994.

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】☆☆☆【题型】填空

【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项=4+(〃-l)d的公式得”=(a,-q)+d+l,列式得：

(1994-6)^7=284

284+1=285

即第285个数是1994.

【答案】285

【巩固】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第〃项=首项+公差义(〃-1),所以，第201项

=5+3x(201-1)=605,对于数列5,8,11,,65,一共有：«=(65-5)^3+1=21,即65是

第21项.

【答案】无限多项；第201项是605;65是第21项

【例6］已知数列0、4、8、12、16、20..............它的第43项是多少？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】第43项0+4x(43-1)=168.

【答案】168

【巩固】聪明的小朋友们，PK一下吧.

(1)3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？

(2)已知等差数列2、5、8、11、14……，问47是其中第几项？

(3)已知等差数列9、13、17、21、25、……，问93是其中第几项？

【考点】等差数列公式的简单运用【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】⑴它是一个无限数列，所以项数有无限多项.

第"项=首项+公差x(w-D,所以，第102项=3+2x(102-1)=205;

(2)首项=2,公差=3,我们可以这样看：2、5、8、11、14...,47,那么这个数列有：

"=47-2)+3+1=16,(熟练后，此步可省略)，即47是第16项.其实求项数公式，也就是求第

几项的公式.

(3)“=03-9)+4+1=22.

【答案】⑴无限多项；205(2)16(3)22

三、等差数列的求和

【例7】15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？

【考点】等差数列的求和【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：1995+15=133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是:

133+2x(15-8)=147

【答案】147

【巩固】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,那么，第

1个数与第6个数分别是多少？

【考点】等差数列的求和【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210+7=30,所以，这7个

数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.

【答案】40

［例8］小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的

一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎求和时漏掉的

数是。

【考点】等差数列的求和【难度】☆☆☆【题型】计算

【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，1试

【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1,才能使结果正确，共要补上2006,因此这个漏掉的数是2006。

【答案】2006

四、等差数列的计算

【例91用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？

(D3+4+5+6++76+77+78=

(2)1+3+5+7++87+99=

(3)4+7+10+13++40+43+46=

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】算式中的等差数列一共有76项，所以：

3+4+5+6++76+77+78=<3+78)x76+2=3078

⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：1+3+5+7++87+99=(1+99)x50-2=2500

⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：4+7+10+13++40+43+46=(4+46)x15+2=375

【答案】⑴3078(2)2500(3)375

【巩固】1+2+.......+8+9+10+9+8+.......+2+1=o

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】l+2+3+...+n+…+3+2+l=nxn,所以原式=10x10=100

【答案】100

【例10］巧算下题：

(1)5000-2-4-6-98-100

(2)1+3+5+7++1995+1997+1999

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】⑴原式=5000-(2+4+6++98+100)=5000-(2+100)x50-2=5000-2550=2450

⑵这一串加数可以组成首项为1、末项为1999,公差为2的等差数列，

项数=(1999-1)+2+1=1000,原式=(1+1999)xl000-2=2000x1000+2=1000000

【答案】⑴2450⑵1000000

【巩固】(1+2+3+...+2007+2008+2007+...+3+2+1)4-2008=

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】观察原式可知，1、2、3...2007分别可与2007、2006、2005...1组成2008,于是括号中有2008个

2008,故原式结果为2008。

【答案】2008

【例11】计算：

(1)(1+3+5++1997+1999)-(2+4+6++1996+1998)

(2)4000-5-10-15--95-100

⑶99+198+297+396+495+594+693+792+891+990

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】⑴(方法一)第一个数列的项数1000,第二个数列的项数为999,利用求和公式得：

(1+1999)x1000+2-(2+1998)x999+2=1000.

(方法二)第一个括号内共有1000个数，第二个括号内有999个数.把1除外，第一个括号内的各数依

次比第二个括号里相应的数大1,因此可简捷求和.

原式=1+(3-2)+(5-4)++(1999-1998)=/+1+1++1(共1000个1)=1000

⑵通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个

和.

4000-5-10-15--95-100=4000-(5+10+15++95+100)=4000-(5+100)x(204-2)

=4000-1050=2950.当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再

从被减数中减去这个和.

⑶99+198+297+396+495+594+693+792+891+990

=100-1+20©230-0+3+1(

=100+200+300++1000-(1+2+3++10)

=(100+1000)x10-2-(1+10)x10-2

=5500-55

=5445

【答案】⑴1000⑵2950⑶5445

【巩固】计算(2+4+6++1984+1986+1988)—(1+3+5++1983+1985+1987)

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有994项

原式=<2-D+(4-3)++(2-1)+(4-3)++(1988+1987)1+1+1++1=994

994个1

【答案】994

【例12］计算：1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19.

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆☆【题型】计算

【关键词】第十三届，迎春杯，试题

【解析】原式=5

=(5.5+15.15)x5

=20.56x5=103.25

【答案】103.25

【例13】计算—L+二-+二-+1990

1990199019901990

【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算

［解析】原式J+2+3++1990

1990

(1+1990)x1990+2

—1990

=995-

2

【答案】995-

2

【巩固】⑴计算4+6+8+10++34+36

6「7「8八9-1011

⑶计算:1——+o3——+5——+7——+9——+11——+1O3—

13131313131313

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】⑴这是一个等差数列，根据等差数列求和公式计算得：(4+36)x17+2=340

(2)带分数加法，我们先计算整数部分，再计算分数部分，认真观察我们发现整数部分和分数部分

都可以利用等差数列求和公式进行计算.

1——213口

13131313131313

「。uC一…/567891011

=(1+3+5+7+9+11+13)+(---1----1---1---1---1----1----)

13131313131313

(5+ll)x7+2

=(l+13)x7+2+

13

4

=49+4—

13

=53—

13

4

【答案】(1)340⑵533

13

［例1411只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿;

2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿;

只青蛙张嘴，32只眼睛条腿。

【考点】找规律计算【难度】2星【题型】填空

【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，1试

【解析】32+(2+1)=16;32+(2+1)=16;32x(4-2)=64.

【答案】16:16;64

【巩固】如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去,

当N=5时，共需要火柴棍根。

图2

【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空

【解析】找规律3,3+6,3+6+9…,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

【答案】45

【例15】观察下面的序号和等式，填括号.

序号等式

11+2+3=6

33+5+7=15

55+8+11=24

77+11+15=33

()()+()+7983=()

【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯

【解析】可以这样想：

⑴表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)

⑵表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？

应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置,

即各自的项数.

第一个括号：(7983-3)-4+1=1996,1+(1996-1)x2=3991;

第二个括号：1+(1996-1)x2=3991;

第三个括号：根据等差数列通项公式：2+(1996-1)x3=5987或3991+1996=5987;

第四个括号：根据等差数列通项公式：6+(1996-1)x9=17961或5987x3=17961

【答案】3991;3991;5987；17961

【巩固】有许多等式

2+4+6=1+3+5+3

8+10+12+14=7+9+11+13+4

16+18+20+22+24=15+17+19+21+23+5；

那么第10个等式的和是

【考点】找规律计算【难度】4星【题型】填空

【解析】前九个等式左边的数共有3+4++11=(3+11)x94-2=63(个)数，那么第十个等式左边第一个

数是(63+1)x2=128,所以第十个等式的和是128+130++150=(128+150)x124-2=1668.

【答案】1668

J课堂检测

【随练1】计算下面结果.

(1)4+8+12+16++32+36

(2)65+63+61++5+3+1

(3)3+4+5++99+100

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数=(末项-首项)+公差+1

等差数列的和=(首项+末项)x项数+2

(1)项数：(36-4)+4+1=9;#口：(4+36)x9+2=180

(2)项数：(65-1)4-2+1=33;4口：(1+65)x33+2=33x33=1089

⑶项数：(100-3)-1+1=98;和：(3+100)x984-2=5047

【答案】(1)180(2)1089(3)5047

[随练2](2005+2006+2007+2008+2009+2010+201D+2008=

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】根据中项定理知：2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008x7,所以原式=2008x7-2008=7

【答案】7

【随练3】计算：2007-2006+2005-2004+2003-2002++5-4+3-2+1

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】找规律并分组计算如下：

2007-2006+2005-2004+2003-2002++5-4+3-2+1

二(2007-2006)+(2005-2004)+(2003-2002)++(5-4)+(3-2)+1

=1+1++1+1

2003个1

二2004

【答案】2004

家庭作业

【作业1】1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?

【考点】等差数列计算题【难度】☆【题型】计算

【关键词】第一届，华杯赛，初赛

【解析】1986是这五个数的平均数，所以和=1986x5=9930。

【答案】9930

【作业2】计算：110+111+112+...+126=

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】原式=(110+126)x17+2=2006

【答案】2006

【作业3】计算下列一组数的和：105,110,115,120,195,200

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是105,末项是200,但项数不知

道.若利用%=%+(〃-l)xd,可有〃=(4“-q)+d+l

据此可先求出项数，再求数列的和.

解：数列的项数

〃=(见一%)+d+l

=(200—105)+5+1

=95+5+1

=20.

故数列的和是：

S=(%+a〃)x〃+2

=(10孕209)2

=305x24

=3050

【答案】3050

【作业4】聪明的小朋友们，PK一下吧.

(1)4+8+12+16++32+36

(2)65+63+61++5+3+1

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆【题型】计算

【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数=(末项-首项)+公差+1

等差数列的和=(首项+末项)x项数:2

⑴项数：(36-4)+4+1=9;和：(4+36)x9+2=180;

(2)项数：(65-1)-2+1=33;4口：(1+65)x33+2=33x33=1089.

【答案】⑴180⑵1089

【作业5】计算：(1)Q+4+6++96+98+100)-1+3+5++95+97+99)

(2)1+3+4+6+7+9+10+12+13++66+67+69+70；

(3)1000+999-998+997+996-995++106+105-104+103+102-101.

⑷61+692+6993+69994+699995+6999996

【考点】等差数列计算题【难度】☆☆☆【题型】计算

【解析】⑴和式2+4++98+100,1+3+5++97+99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再

做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加

减运算性质先做减法：2—1,4-3,6-5,,100-99,它们的差都等于1,然后，计算等于1的差数

有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以

大减小)，共得50个差数1,从而，

原式=C2—D+4—3)++08-97)+(100-99)=50.

(2)以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13++67+70和3+6+9+12++66+69,对

它们分别求和：原式=Q+70)x24+2+G+69)x23+2=1680；

⑶