华师大新版八年级下学期《19.1.1矩形的性质》同步练习卷

华师大新版八年级下学期《19.1.1矩形的性质》

同步练习卷

一.选择题（共26小题）

1.如图所示，矩形ABCD中，AE平分NBAD交BC于E,ZCAE=15",则下面的

结论：

①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③NAOE=135°；④SMOE=SMOE，

其中正确结论有（）

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将4ABE沿AE折

叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为（）

3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B，处，若AE=2,DE=6,

4.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分4AFC

的面积为（)

5.如图，在矩形ABCD中，。为AC中点，EF过。点且EF_LAC分别交DC于F,

交AB于E,点G是AE中点且NAOG=30。，则下列结论正确的个数为（）

（1）DC=30G；（2）0G=1BC；（3）ZSOGE是等边三角形；（4）SAAOE=1S矩般ABCD•

26

6.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3,4）,D

是0A的中点，点E在AB上，当4CDE的周长最小时，点E的坐标为（）

33

7.如图，矩形ABCD中，BC=2AB,对角线相交于0,过C点作CE_LBD交BD于

E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5

个结论：①EH=AB；②NABG=/HEC；③△ABGgZ\HEC；®SAGAD=S四娜GHCE;

⑤CF=BD.正确的有（）个.

8.如图，在矩形ABCD中，AD=&AB,ZBAD的平分线交BC于点E,DH1AE

于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点0,下列结论：

①NAED=NCED；②0E=0D；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF,

9.如图，矩形ABCD中，。为AC中点，过点。的直线分别与AB、CD交于点E、

F,连结BF交AC于点M,连结DE、B0.若NCOB=60。，F0=FC,则下列结论：

①FB垂直平分0C；②aEOB之△CMB；③DE=EF；@SAAOE：SABCM=2：3.其中

10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,以下说法错误的是（）

A.ZABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD

11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AE±BD,垂足为E,

AE=3,ED=3BE,则AB的值为（）

12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等

C.对角线相等D.对角线互相平分

13.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点U处，点

B落在点B，处，其中AB=9,BC=6,则FC的长为（）

3

14.如图，在矩形ABCD中（AD>AB）,点E是BC上一点，且DE=DA,AF1DE,

A.AAFD^ADCEB.AF」ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE,过

点B作BF±AE交AE于点F,则BF的长为（）

B3^c.隼

2,5。・喑

16.如图，点。是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM〃AB交AD于点M,若

0M=3,BC=10,则OB的长为()

A.5B.4c.年D.V34

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AB上，PE_LAC于E,PF±BD

于F,则PE+PF等于（）

BcD

5-T-T-¥

18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,

BF,EF与对角线AC交于点0,且BE=BF,NBEF=2NBAC,FC=2,则AB的长

8C.4MD.6

19.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长

分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（)

20.如图，在矩形ABCD中，AD=6,AE1BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别

在BD,AD上，则AP+PQ的最小值为（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.矩形的对角线互相垂直

C.一组对边平行的四边形是平行四边形

D.四边相等的四边形是菱形

22.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE〃BD,DE〃AC,AD=2«,

DE=2,则四边形OCED的面积为（）

23.如图，E,F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且^ARG,4DCH的面积

分别为15和20,则图中阴影部分的面积为（）

A.15B.20C.35D.40

24.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上，连接

BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC,则边BC的长为（）

A.2A/3B.3MC.6MD.

25.矩形ABCD中，AB=2,AD=1,点M在边CD上，若AM平分NDMB,则DM

26.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且2〃1>,Zl=60°,则

Z2的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

二.填空题（共15小题）

27.如图，E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，连接AC、AF、EF,若

AF1EF,AC=V6»则AB的长为.

28.矩形ABCD对角线AC、BD相交所成钝角为120。，AE±BD于E,BE=3,则

DE的长为.

29.如图，长方形ABCD中，ZA=ZABC=ZBCD=ZD=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,

点E为射线AD上的一个动点，若aABE与△ABE关于直线BE对称，当aABC

为直角三角形时，AE的长为

30.如图，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、

AD上，且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、

PF、PG、PH,则APEF和APGH的面积和等于.

31.如图，矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上，点P

在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形

AEPH的面积为5cm2,则四边形PFCG的面积为cm2.

32.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10,0),C

(0,4),D为OA的中点，P为BC边上一点.若APOD为等腰三角形，则所

有满足条件的点P的坐标为

33.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将4ADE沿AE折叠后得到△

AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若竺=工，则辿

GBkAB

=用含k的代数式表示）.

34.如图，在矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD相交于点0,AE垂直平分

0B于点E,则AD的长为.

35.如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于

点F,ZAED=2ZCED,点G是DF的中点，若BE=1,AG=4,则AB的长为.

36.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,点E是BC上一点，且AB=BE,

Zl=15°,则N2=.

37.在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上，且四边形BCFE为菱

形.若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为.

38.如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH

为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形

EFGH的面积之比为

HD

E

R

39.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,则图中五个小矩形的周长之和为.

40.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果NADB=30。,

则NE=度.

E

41.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点A作AE^BD,

垂足为点E,若NEAC=2NCAD,则NBAE=度.

三.解答题（共9小题）

42.已知：矩形ABCD中，E,F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G,

H两点.求证：EG=FH.

43.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,点P是AB边上一点（不与A,B重

合)，连接CP,过点P作PQ_LCP交AD边于点Q,连接CQ.

(1)当△CDQ之△CPQ时，求AQ的长；

(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,MD±MP,求AQ的长.

44.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点。，BE1AC,CF1BD,垂足分别为E,

F.

45.已知：如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.点P为矩形外一点且满足AP=PC,

AP1PC.PC交AD于点N,连接DP,过点P作PM_LPD交AD于M.

(1)若AP=娓，AB=1BC,求矩形ABCD的面积；

3

(2)若CD=PM,求证：AC=AP+PN.

46.如图，E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点，若EF=EC,且EF，EC.

(1)求证:AE=DC；

(2)已知DC=圾，求BE的长.

B

47.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的

点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.

48.如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点,

连接BP并延长交边AD于点F,点M为边CD上一点，连接FM,且N1=N2.

(1)若AD=2,DE=1,求AP的长；

(2)求证：PB=PF+FM.

49.如图，矩形ABCD中，延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、

AD分别相交于P、Q两点.

(1)求证：CP=AQ；

(2)若BP=1,PQ=2«,ZAEF=45°,求矩形ABCD的面积.

50.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.

(1)若DE=BF,求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.

华师大新版八年级下学期《19.1.1矩形的性质》

同步练习卷

参考答案与试题解析

—.选择题（共26小题）

1.如图所示，矩形ABCD中，AE平分NBAD交BC于E,ZCAE=15°,则下面的

结论：

①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③NAOE=135°；④S,\AOE=SMOE，

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出NDOC=60。即可得出三角形DOC

是等边三角形，求出AC=2AB,即可判断②，求出NBOE=75。，ZAOB=60°,相

加即可求出NAOE,根据等底等高的三角形面积相等得出SAAOE=SCOE.

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形，

ZBAD=90°,OA=OC,OD=OB,AC=BD,

,.OA=OD=OC=OB,

.,AE平分NBAD,

,.ZDAE=45O,

.,ZCAE=15°,

,.ZDAC=30°,

/OA=OD,

\ZODA=ZDAC=30°,

\ZDOC=60°,

/OD=OC,

•.△ODC是等边三角形，...①正确;

•.•四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZABC=90°

，NDAC=NACB=30°,

，AC=2AB,

VAOBC,

，2AB>BC,.,.②错误；

VADZ/BC,

AZDBC=ZADB=30°,

「AE平分NDAB,ZDAB=90°,

，NDAE=NBAE=45",

•.•AD〃BC,

/.ZDAE=ZAEB,

，ZAEB=ZBAE,

，AB=BE,

•四边形ABCD是矩形，

/.ZDOC=60°,DC=AB,

VADOC是等边三角形，

/.DC=OD,

，BE=BO,

，NBOE=NBEO=L(180°-ZOBE)=75°,

2

ZAOB=ZDOC=60°,

/.ZAOE=60°+75°=135°,.•.③正确；

V0A=0C,

...根据等底等高的三角形面积相等得出SMOE=SCOE，.••④正确;

故选：C.

BEC

【点评】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质

和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将4ABE沿AE折

叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为（）

【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的

判定得到NBFC=90。，根据勾股定理求出答案.

【解答】解：连接BF,

VBC=6,点E为BC的中点,

；.BE=3,

XVAB=4,

/"AE=VAB2+BE2=5,

由折叠知，BF±AE（对应点的连线必垂直于对称轴）

•u_ABXBE_12

••DDrl----------------------------，

AE5

则BF="

5

VFE=BE=EC,

.,.ZBFC=90°,

••3商一告评.

【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换,

它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

角相等是解题的关键.

3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE=2,DE=6,

ZEFB=60°,则矩形ABCD的面积是（）

【分析】在矩形ABCD中根据AD〃BC得出NDEF=NEFB=60。，由折叠的性质可得

NA=NA'=90°,A'E=AE=2,AB=A'B',NA'EF=NAEF=180°-60°=120°,/.Z

A，EB，=60。.根据直角三角形的性质得出AB=AB=2«,然后根据矩形的面积公

式列式计算即可得解.

【解答】解：在矩形ABCD中，

VAD/7BC,

.•.NB'EF=NEFB=60°,

由折叠的性质得NA=NA'=90°,A'E=AE=2,AB=A'B',ZA,EF=ZAEF=180°-60°=120°,

:.NA'EB'=NA'EF-ZB,EF=120°-60°=60°.

在RtZWEB'中，

VZA,B,E=90°-60°=30°,

，B'E=2A'E,而A'E=2,

B'E=4,

，AB=2心即AB=2b，

VAE=2,DE=6,

，AD=AE+DE=2+6=8,

，矩形ABCD的面积=AB・AD=2«X8=16«.

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，

两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形

并熟记性质是解题的关键.

4.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分AAFC

A.12B.10C.8D.6

【分析】•.'△AD'C之△ABC,...△AD'F丝Z\CBF,得aAD'E与aCBF面积相等，设

BF=x,列出关于x的关系式，解得x的值即可解题.

【解答】解：•.•△AD'CgZ^ABC,

/.△ADT^ACBF,

...△AD午与4CBF面积相等，

设BF=x,则(8-x)2=X2+42,

64-16X+X2=X2+16,

16x=48,

解得x=3,

.,.△AFC的面积=LX4X8-1X3X4=10.

22

故选:B.

【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，矩形各

内角为直角的性质，本题中正确计算BF的值是解题的关键.

5.如图，在矩形ABCD中，。为AC中点，EF过。点且EFLAC分别交DC于F,

交AB于E,点G是AE中点且NAOG=30。，则下列结论正确的个数为（）

(1)DC=3OG；(2)OG=1BC；(3)aOGE是等边三角形；(4)SAAOE」S矩般ABCD.

26

AGEB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=1AE,

2

再根据等边对等角可得NOAG=30。，根据直角三角形两锐角互余求出N

GOE=60°,从而判断出AOGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE=2a,

根据等边三角形的性质表示出0E,利用勾股定理列式求出A0,从而得到AC,

再求出BC,然后利用勾股定理列式求出AB=3a,从而判断出（1）正确，（2）

错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确.

【解答】解：；EF_LAC,点G是AE中点，

/.OG=AG=GE=1AE,

2

ZAOG=30°,

/.ZOAG=ZAOG=30o,

ZGOE=90°-ZAOG=90°-30°=60°,

...△OGE是等边三角形，故（3）正确；

设AE=2a,贝UOE=OG=a,

AO=22=22=AaJ

由勾股定理得，7AE-0E7（2a）-a/3

•.•0为AC中点,

.,.AC=2AO=2«a,

BC=A-AC=A-X2心=心，

在Rt^ABC中，由勾股定理得，AB=J（26a）2-G/^a）2=3a，

•.•四边形ABCD是矩形,

CD=AB=3a,

/.DC=3OG,故（1）正确;

VOG=a,lBC=^-a,

22

.-.BC^IBC,故（2）错误;

2

SABCD=3a*-/3a=3\/3a2,

SAAOE=—SABCD?故(4)正确；

6

综上所述，结论正确是(1)(3)(4)共3个.

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性

质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，

设出AE、0G,然后用a表示出相关的边更容易理解.

6.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3,4),D

是0A的中点，点E在AB上，当4CDE的周长最小时，点E的坐标为()

A.(3,1)B.(3,C.(3,回)D.(3,2)

33

【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此

时4CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点

即可解决问题.

【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,

此时4CDE的周长最小.

VD(W,0),A(3,0),

2

AH(20),

2

，直线CH解析式为y=--1x+4,

x=3时，y=—,

3

.•.点E坐标(3,A)

3

故选：B.

【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函

数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决

交点问题，属于中考常考题型.

7.如图，矩形ABCD中，BC=2AB,对角线相交于0,过C点作CEJ_BD交BD于

E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5

个结论：①EH=AB；②NABG=NHEC；③4ABG乌△H（：；@SAGAD=S四边形GHCE;

C.4D.5

【分析】根据BC=2AB,H为BC中点，可得4ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC,

可得ACEH为等腰三角形，又NBCD=90。，CE±BD,利用互余关系得出角的相

等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断.

【解答】解：①在aBCE中，：CE，BD,H为BC中点，/.BC=2EH,又BC=2AB,

，EH=AB,正确；

②由①可知，BH=HE.\ZEBH=ZBEH,又NABG+NEBH=/BEH+NHEC=90。，AZ

ABG=NHEC,正确；

③由AB=BH,NABH=90°,得NBAG=45°,同理：ZDHC=45°,/.ZEHC>ZDHC=45",

.•.△ABG之△HEC,错误;

④作AM_LBD,则AM=CE,AAMD^ACEB,

VAD/7BC,

/.△ADG^AHGB,

•AG

••~z.，

GH

即AABG的面积等于4BGH的面积的2倍，

根据已知不能推出^AMG的面积等于4ABG的面积的一半，

即SAGAD#S四边形GHCE，④错误

@ZECH=ZCHF+ZF=45°+ZF,又NECH=NCDE=/BAO,ZBAO=ZBAH+ZHAC,

.,.ZF=ZHAC,，CF=BD,正确.

正确的有三个.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三

角形的判定与性质、相似三角形的判定.解答该题的关键是证明等腰三角形，

全等三角形.本题综合性较强，难度比较大.

8.如图，在矩形ABCD中，AD=«AB,ZBAD的平分线交BC于点E,DH1AE

于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点0,下列结论：

①NAED=NCED；②0E=0D；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF,

其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】①根据角平分线的定义可得NBAE=NDAE=45。，然后利用求出^ABE是

等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=V2AB,从而得到AE=AD,

然后利用"角角边"证明aABE和4AHD全等,根据全等三角形对应边相等可得

BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求出NADE=/AED=67.5。，根据平角等

于180。求出NCED=67.5。，从而判断出①正确；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5。，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,

判断出②正确；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用"角边角"证明△BEH

和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-

CF=BC-(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出AABH不是等边三角形，从而得到ABWBH,即ABWHF,得到⑤错误.

【解答】解：:在矩形ABCD中,AE平分NBAD,

.,.ZBAE=ZDAE=45°,

•••△ABE是等腰直角三角形，

Z.AE=V2AB,

VAD=A/2AB,

；.AE=AD,

在4ABE和aAHD中，

'NBAE=/DAE

<ZABE=ZAHD=90°，

AE=AD

.'.△ABE^AAHD(AAS),

，BE=DH,

，AB=BE=AH=HD,

，NADE=NAED=L(180°-45°)=67.5°,

2

，ZCED=180--45°-67.5°=67.5°,

/.ZAED=ZCED,故①正确；

VAB=AH,

VZAHB=1.(180°-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB(对顶角相等),

2

.,.ZOHE=67.5°=ZAED,

.,.OE=OH,

VZDHO=90°-67.5°=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,

/.ZDHO=ZODH,

，OH=OD,

/.OE=OD=OH,故②正确;

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,

NEBH=NOHD,

在△BEH和△HDF中，

'NEBH=/0HD=22.5°

<BE=DH，

NAEB=NHDF=45°

.,.△BEH之△HDF(ASA),

；.BH=HF,HE=DF,故③正确；

VHE=AE-AH=BC-CD,

ABC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故

④正确；

VAB=AH,ZBAE=45°,

.••△ABH不是等边三角形，

.♦.ABWBH,

...即ABWHF,故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个.

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，

等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度

数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的

关键，也是本题的难点.

9.如图，矩形ABCD中，。为AC中点，过点。的直线分别与AB、CD交于点E、

F,连结BF交AC于点M,连结DE、B0.若NCOB=60。，FO=FC,则下列结论：

①FB垂直平分0C；②△EOB^^CMB；③DE=EF；(4)SAAOE：SABCM=2：3.其中

正确结论的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；

②在△EOB和ACMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；

③可证明NCDE=NDFE；

④可通过面积转化进行解答.

【解答】解：①•••矩形ABCD中，。为AC中点，

，OB=OC,

VZCOB=60°,

.•.△OBC是等边三角形，

；.OB=BC,

VFO=FC,

...FB垂直平分0C,

故①正确；

②•..△BOC为等边三角形，FO=FC,

ABO±EF,BF1OC,

.,.ZCMB=ZEOB=90°,

，BOWBM,

/.△EOB与ACMB不全等；

故②错误；

③易知4ADE之Z\CBF,Zl=Z2=Z3=30°,

.,.ZADE=ZCBF=30°,ZBEO=60°,

AZCDE=60°,ZDFE=ZBEO=60°,

.\ZCDE=ZDFE,

.\DE=EF,

故③正确；

④易知AAOE四△COF,

•SAAOE=SACOF，

•*SACOF=2SACMF>

•"•SAAOE：SABCM=2SACMF：S〃BCM二个?

VZFCO=30°,

；.FM=器,BM=«CM,

•.•F-M--_--1--,

BM3

•••SAAOE：SABCM=2：3,

故④正确；

所以其中正确结论的个数为3个；

故选:B.

【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查

了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复

杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型.

10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,以下说法错误的是（）

一

A.ZABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD

【分析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质

容易得出结论.

【解答】解：..•四边形ABCD是矩形，

/.ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,AC=BD,OA」AC,OB,BD,

22

AOA=OB,

，A、B、C正确，D错误，

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.

11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，AE1BD,垂足为E,

AE=3,ED=3BE,则AB的值为（）

A.6B.5C.273D.373

【分析】由在矩形ABCD中，AELBD于E,BE：ED=1：3,易证得^OAB是等边

三角形，继而求得NBAE的度数，由4OAB是等边三角形，求出NADE的度数，

又由AE=3,即可求得AB的长.

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形，

，OB=OD,OA=OC,AC=BD,

OA=OB,

VBE：ED=1：3,

ABE：OB=1：2,

VAE1BD,

AB=OA,

/.OA=AB=OB,

即AOAB是等边三角形，

...ZABD=60°,

VAE±BD,AE=3,

.•.AB=2=2M,

cos30

【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30。角的直角

三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三

角形是解题关键.

12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等

C.对角线相等D.对角线互相平分

【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一

定相等.

【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等.

故选：C.

【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，

要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如，矩形的对角线相

等.

13.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点U处，点

B落在点B，处，其中AB=9,BC=6,则FU的长为（）

A.—B.4C.4.5D.5

3

【分析】设FC=x,则FD=9-x,根据矩形的性质结合BC=6、点U为AD的中点，

即可得出UD的长度，在Rt^FUD中，利用勾股定理即可找出关于x的一元

一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设FC，=x,贝FD=9-x,

VBC=6,四边形ABCD为矩形，点C为AD的中点，

，AD=BC=6,CD=3.

在RtAFC'D中，ZD=90°,FC=x,FD=9-x,C'D=3,

AFC,2=FD2+CD2,即X2=(9-x)2+32,

解得：x=5.

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在RtAFCD中，利用勾股定理

找出关于FU的长度的一元一次方程是解题的关键.

14.如图，在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点，且DE=DA,AF±DE,

垂足为点F,在下列结论中，不一定正确的是()

A.AAFD^ADCEB.AF」ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

【分析】先根据已知条件判定^AFD丝ADCE(AAS),再根据矩形的对边相等,

以及全等三角形的对应边相等进行判断即可.

【解答】解：(A)由矩形ABCD,AF_LDE可得NC=NAFD=90°,AD〃BC,

ZADF=ZDEC.

XVDE=AD,

/.△AFD^ADCE(AAS),故(A)正确；

(B)；NADF不一定等于30。,

•••直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故(B)错误；

(C)由4AFD之△DCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

，AB=AF,故(C)正确；

(D)由△AFDgZ\DCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

又,.•BE=BC-EC,

/.BE=AD-DF,故（D）正确;

【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质:

矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等.解题时注意：在直角三角形中，

若有一个锐角等于30°,则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE,过

点B作BFJ_AE交AE于点F,则BF的长为（）

C.隼。・喑

【分析】根据SAABE=LS睡ABCD=3=L・AE・BF,先求出AE,再求出BF即可.

22

【解答】解：如图，连接BE.

,四边形ABCD是矩形，

，AB=CD=2,BC=AD=3,ND=90°,

在RtZ\ADE中，AEFAD2+DE2=V?7『=标'

,SAABE=±S矩心ABCD=3='，AE・BF，

22

5

故选:B.

【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中

考常考题型.

16.如图，点0是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM〃AB交AD于点M,若

0M=3,BC=10,则OB的长为()

A.5B.4C.D.V34

【分析】已知OM是^ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以

利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则B0的长即

可求出.

【解答】解：二•四边形ABCD是矩形，

/.ZD=90°,

10是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM〃AB,

A0M是4ADC的中位线，

V0M=3,

「・DC=6,

VAD=BC=10,

八0八4口2+，口2=2悯'

/.BO=-i-AC=V34，

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性

质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AB上，PELAC于E,PF1BD

于F,则PE+PF等于()

AD

R----------------C

A.IB.IlC.AlD.11

5555

【分析】根据已知条件，可得出△AEPsaADC；ABFP^ADAB,从而可得出PE,

PF的关系式，然后整理即可解答本题.也可以利用面积法证明PE+PF=BM即

可.

【解答】解：方法一:设AP=x,PB=3-x.

VZEAP=ZEAP,ZAEP=ZABC；

/.△AEP^AABC,故三①；

54

同理可得△BFPs^DAB,故老主=空②.

54

①+②得3=PE+PF,

54

；.PE+PF=丝.

5

方法二：（面积法）

如图，作BM±AC于M,则BM=丝区■=丝，

AC5

**SAAOB=SAAOP+SAPOB，

...L・AO・BM=L・AO・PE+L・OB・PF,

222

VOA=OB,

.*.PE+PF=BM=—.

5

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质，比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性

质解答即可，学会利用面积法证明线段之间的关系.

18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,

BF,EF与对角线AC交于点0,且BE=BF,NBEF=2/BAC,FC=2,则AB的长

为（）

A.8-RB.8C.4A/3D.6

【分析】连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO_LEF,再根据矩形的

性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得NBAC=NABO,再根据三角形

的内角和定理列式求出NABO=30。，即NBAC=30。，根据直角三角形30。角所对

的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.

【解答】解：如图，连接B。，

•.•四边形ABCD是矩形，

.,.DC/7AB,ZDCB=90°

/.ZFCO=ZEAO,

itAAOE和△COF中,

ZAOE=ZFOC

ZFCO=ZEAO

AE=CF

.△AOE^ACOF,

.OE=OF,OA=OC,

•BF=BE,

.BO±EF,ZBOF=90°,

*ZFEB=2ZCAB=ZCAB+ZAOE,

.ZEAO=ZEOA,

，EA=E0=0F=FC=2,

在RTABFO和RTABFC中,

BF=BF

FO=FC

/.RTABFO^RTABFC,

...BO=BC,

在RT^ABC中，VAO=OC,

BO=AO=OC=BC,

.".△BOC是等边三角形，

.,.ZBCO=60°,ZBAC=30°,

/.ZFEB=2ZCAB=60°,VBE=BF,

.•.△BEF是等边三角形，

，EB=EF=4,

；.AB=AE+EB=2+4=6.

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合

一的性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度

不大，（2）作辅助线并求出NBAC=30。是解题的关键.

19.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长

分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）

A.4.8B.5C.6D.7.2

【分析】首先连接0P,由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,可求得OA=OD=5,

△AOD的面积，然后由SAAOD=SAAOP+SADOP=-OA«PE+OD«PF求得答案.

2

【解答】解：连接0P,

•.•矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,

•'•S矩形ABCD=AB・BC=48，OA=OC,OB=OD,AC=BD=10,

A0A=0D=5,

••SAACD=—S矩形ABCD=24，

2

••SAAOD=__,SAACD=12,

2

SAAOD=SAAOP+SADOP=—OA*PE+^OD*PF=1X5XPE+^X5XPF=-^-(PE+PF)=12,

22222

解得：PE+PF=4.8.

【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题.此题难度适中，注意掌握

辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键.

20.如图，在矩形ABCD中，AD=6,AE1BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别

【分析】在RtAABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD

的对称点A,连接AD,可证明aADA为等边三角形，当PCUAD时，则PQ

最小，所以当AQ_LAD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE

的长，可得出答案..

【解答】解:

设BE=x,则DE=3x,

•四边形ABCD为矩形，且AEJ_BD,

.'.△ABE^ADAE,

/.AE2=BE*DE,即AE2=3X2,

••AE=^3x,

在RtAADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2,即62=(«x)