南京市鼓楼区苏科版九年级上期末数学试卷含答案解析

20152016学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）

1.从单词"happy"中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）

2.一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3.若X1，X2是一元二次方程2x2-7x+5=0的两根，则X]+X2的值是（）

57

A.-7B.-C.-D.7

22

4.下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点()

A.y=!7(x+50)2+2016B.y=17(x-50)2+2016

C.y=-17(x+50)2+2016D.y=-17(x-50)2-2016

5.如图，。。的内接四边形ABCD中，ZA=115°,则NBOD等于（）

6.已知二次函数y=x?-x+a（a>0）,当自变量*取111时，其相应的函数值小于0,那么

下列结论中正确的是（）

A.m-1>0B.m-KO

C.m-1=0D.m-1与0的大小关系不确定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上）

7.已知。。的半径为5cm,圆心O到直线1的距离为4cm,那么直线1与。O的位置关系

是.

8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEIIBC,若AD：AB=4：9,

则SAADE：SAABC=-

9.若线段AB=6cm,点C是线段AB的一个黄金分割点（AC>BC）,则AC的长为

cm（结果保留根号）.

10.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的高为一

cm.

11.已知正六边形的边长为4cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如

图），则所得到的三条弧的长度之和为cm.（结果保留n）

12.如图，电线杆上的路灯距离地面8m,身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部

（点。）20m的A处，则小明的影子AM长为m.

13.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m,他在不弯

腰的情况下，在棚内的横向活动范围是m.

14.AB为半圆0的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边

过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为.

15.若二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，则不等式a(x-2)2+b(x-2)+c<0的解

集为.

16.如图，在。。中，AD是直径，BC是弦，D为前的中点，直径AD交BC于点E,AE=5,

ED=1,则BC的长是m.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（1）解方程:2x2-4x-6=0.

（2）①直接写出函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点坐标；

②求函数y=2x2-4x-6的图象的顶点坐标.

18.九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单

位：分）：

甲789710109101010

乙10879810109109

（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；

（2）计算乙队成绩的平均数和方差；

2,则成绩较为整齐的是队.

19.如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A,

GD=10.

（1）求FG的长；

（2）直接写出图中与ABHG相似的所有三角形.

E

20.一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同.

(1)从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.摸出的两个球中，1

个为红球，1个为白球的概率为；

(2)从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，再摸出1个球.求摸出的两个球中，1个

为红球，1个为白球的概率.

21.在淘宝一年一度的"双H^一”活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使2016

年"双4^一”的销售额达到3600万元，平均每年"双H-•一"销售额增长的百分率是多少？

22.在作二次函数yi=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象时，先列出下表:

X...-1012345

yi••.0-3-4-30512

Y2...024681012

请你根据表格信息回答下列问题，

(1)二次函数yi=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为

(2)当yi>y2时，自变量x的取值范围是；

(3)请写出二次函数yi=ax?+bx+c的三条不同的性质.

23.请探究两个等腰三角形相似的条件，用文字语言直接写出探究的结果即可.

24.（1）如图（1）,已知射线0P与线段0H,在射线0P上取点D、E、F,且OD=DE=EF,

用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）请用尺规在图（2）中NBAC的内部作出一点O,使点。到AB的距离等于点O到

AC的距离的2倍.（不写作法，保留作图痕迹）

25.如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的。。与CD交于

点M,且NBAC=NDAM.

（1）求证：AM与。0相切；

（2）若AM=3DM,BC=2,求。。的半径.

26.某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区

域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm,矩形区

域ABCD的面积为ym2.

（D求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

27.如图（1）,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,连接BD.现将一个足够大的直角三角

板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C,另一条直角边与AB所在的直

线交于点G.

（1）是否存在这样的点P,使点P、C、G为顶点的三角形与AGCB全等？若存在，画出

图形，并直接在图形下方写出BG的长.（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示,

每种情况用一个图形单独表示，如果图形不够用，请自己画图）

（2）如图（2）,当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、

BC延长线于点E、F,连EF,分别过点G、C作GMLEF,CN±EF,M、N为垂足.试探

究PM与FN的关系.

20152016学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）

1.从单词"happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）

A.-11B.-2C.-D.-1

5452

【考点】概率公式.

【分析】由单词"happy"中有两个P，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解:.单词"happy"中有两个p,

抽中p的概率为：

5

故选C.

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

2.一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【考点】根的判别式.

【专题】压轴题.

【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况.

【解答】解：A=b2-4ac=l2-4xlx（-2）=9,

9>0,

原方程有两个不相等的实数根.

故选A.

【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式4的值.△>0,

有两个不相等的实数根；△=（）,有两个相等的实数根；△<（），没有实数根.

3.若X1，X2是一元二次方程2x2-7x+5=0的两根，则X1+X2的值是（）

57

A.-7B.-C.-D.7

22

【考点】根与系数的关系.

【专题】计算题.

【分析】直接根据根与系数的关系求解.

【解答】解：根据题意得，xx=--

1+222

故选C.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的两根

时，Xl+x=,X1X=—.

2a2a

4.下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点()

A.y=17(x+50)2+2016B.y=17(x-50)2+2016

C.y=-17(x+50)2+2016D.y=-17(x-50)2-2016

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】对于方程17(x+50)2+2016=0,17(x-50)2+2016=0,-17(x+50)2+2016=0,

-17(x-50)2-2016=0,先判断它们的根的情况,然后根据△=b2-4ac决定抛物线与x

轴的交点个数确定正确选项.

【解答】解:A、方程17(x+50)2+2016=0没有实数解，则抛物线y=17(x+50)2+2016与

x轴没有公共点，所以A选项错误；

B、方程17(x-50)2+2016=0没有实数解，则抛物线y=17(x-50)2+2016与x轴没有公

共点，所以B选项错误；

C方程-17(x+50)2+2016=0有两个不相等的实数解,则抛物线y=-17(x+50)2+2016

与x轴有2个公共点，所以C选项正确；

D、方程-17(x-50)2-2016=0没有实数解，则抛物线y=-17(x-50)2-2016与x轴

没有公共点，所以D选项错误.

故选C.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，axO)

与X轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.对于二次函数y=ax?+bx+c(a,b,

c是常数，afO),A=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac>0时，抛物线与

x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b：2-4ac<。时，抛物线

与x轴没有交点.

5.如图，OO的内接四边形ABCD中，ZA=115°,则NBOD等于（)

B.65°C.115°D.130°

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理.

【分析】根据圆内接四边形的性质得到NC=65。，根据圆周角定理得到答案.

【解答】解：1,四边形ABCD是。。的内接四边形，

ZA+ZC=180°,又NA=115°,

ZC=65°,

则NBOD=130°,

故选：D.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题

的关键.

6.已知二次函数y=x?-x+a（a>0）,当自变量*取111时，其相应的函数值小于0,那么

下列结论中正确的是（）

A.m-1>0B.m-KO

C.m-1=0D.m-1与。的大小关系不确定

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据二次函数的性质，由于二次项系数为1,故函数开口方向向上，根据函数解析

式的特点，当x=l时，y=a,x=0时，y=a,又a>0,据此即可画出函数草图，利用数形结

合的思想即可解答.

【解答】解：根据题意画出图形：

y

♦.・当自变量X取m时，其相应的函数值y<0,

「•可知m-1表示的点在A、B之间，

m-1>0,

.•.当自变量X取m-l时，函数值y<0.

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题

的关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上）

7.已知。。的半径为5cm,圆心O到直线1的距离为4cm,那么直线1与。O的位置关系

是相交.

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】由题意得出d<r,根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可.

【解答】解：二的半径为5cm,如果圆心。到直线1的距离为4cm,

4<5,

即d<r,

•直线1与。。的位置关系是相交.

故答案为：相交.

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知。O的半径为r,如果圆心O

到直线1的距离是d,当d>i•时，直线和圆相离，当d=i'时，直线和圆相切，当d<r时，

直线和圆相交.

8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEIIBC,若AD：AB=4：9,

则SAADE：SAABC=16:81.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】由DEIIBC,证出△ADE-SAABC,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：・「DEIIBC,

△ADE-△ABC,

.cc_fADx2_16

AB81

故答案为：16：81.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方

解决问题.

9.若线段AB=6cm,点C是线段AB的一个黄金分割点（AOBC）,则AC的长为3（渥

-1）cm（结果保留根号）.

【考点】黄金分割.

【专题】计算题.

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样

的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（近二）叫做黄金比.

2

【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC>BC,得：AC=Y^【AB=3（依-1）.

故本题答案为：3~1）-

【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值.

10.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的高为.

cm.

【考点】圆锥的计算.

【分析】易得扇形的弧长，除以2n即为圆锥的底面半径，加上母线长6,利用勾股定理即

可求得圆锥的高.

【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：$=4n,

180

圆锥的底面半径为4n+2r[=2,

该圆锥的高为：762-22=4&.

【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的高，母线

长，底面半径组成直角三角形.

11.已知正六边形的边长为4cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如

图），则所得到的三条弧的长度之和为^cm.（结果保留rt）

【考点】弧长的计算；正多边形和圆.

【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式.

【解答】解：方法一:

（6一2）义说。“。。,

先求出正六边形的每一个内角二

6

所得到的三条弧的长度之和=3x120工；4甘兀（cm）；

方法二：先求出正六边形的每一个外角为60。，

得正六边形的每一个内角120。，

每条弧的度数为120°,

三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为871cm.

故答案为：8n.

【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆.与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合.

12.如图，电线杆上的路灯距离地面8m,身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部

（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为5m.

A

OAV

【考点】相似三角形的应用.

【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，兽7=怨，

AM+0A8

gp=—,

AM+208

解得：AM=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的

关键.

13.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m,他在不弯

腰的情况下，在棚内的横向活动范围是3m.

【考点】二次函数的应用.

【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b,由图得知点（0,2.4）,（3,0）在抛物线上，

列方程组得到抛物线的解析式为：y=-4x2+24,根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出

答案；

【解答】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b,

由图得知：点（0,2.4）,（3,0）在抛物线上,

乎曜,

2.4=b

,解得：

0=9a+b

b=2.4

抛物线的解析式为：y=-A2+2-4-

15

:菜农的身高为L8m,即y=1.8,

则1.8=--X2+2.4,

15

解得：X=1（负值舍去）

故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米,

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了二次函数应用以及一元二次方程的解法，正确理解方程与函数关系

是解题关键.

14.AB为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边

过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为后

【考点】圆周角定理.

【分析】连接AQ,BQ,根据圆周角定理可得出NQAB=NP=45。，NAQB=90。，故△ABQ

是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论.

【解答】解：连接AQ,BQ,

ZP=45°,

ZQAB=ZP=45°,ZAQB=90°,

△ABQ是等腰直角三角形.

AB=2,

2BQ2=4,

BQ=V2.

故答案为：V2.

o

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的

关键.

15.若二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，则不等式a(x-2)2+b(x-2)+c<0的解

【考点】二次函数与不等式(组).

【分析】直接利用函数图象即可得出结论.

【解答】解：,由函数图象可知，当x<l或x>3时，函数图象在x轴的下方,

函数y=a(x-2)2+b(x-2)+c的图象与x轴的交点为3,5,

等式a(x-2)2+b(x-2)+c<0<0的解集为x<3或x>5.

故答案为：x<3或x>5.

【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是

解答此题的关键.

16.如图，在OO中，AD是直径，BC是弦，D为前的中点，直径AD交BC于点E,AE=5,

ED=1,则BC的长是2遍m.

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接OB,根据题意求出圆的半径，根据勾股定理求出BE,根据垂径定理的推论

计算即可.

【解答】解：连接OB,

AE=5,ED=1,

AD=6,

OB=OD=3,0E=2,

rAD是直径，D为它的中点，

OE±BC,BE=EC,

在RtAOBE中，BE=^gg2~OE2=V5,

BC=2BE=2、jE，

故答案为：2巡.

【点评】本题考查的是垂径定理及其推论和勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论：平分弦

(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧、弦的垂直平分线经过圆心，并且

平分弦所对的两条弧、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

是解题的关键.

三、解答题(本大题共U小题，共88分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)解方程：2x2-4x-6=0.

(2)①直接写出函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点坐标；

②求函数y=2x2-4x-6的图象的顶点坐标.

【考点】抛物线与x轴的交点；解一元二次方程因式分解法；二次函数的性质.

【专题】计算题.

【分析】（1）先把方程整理为X2-2X-3=0,然后利用因式分解法解方程；

（2）①利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程2x2-4x-6=0可得到函数y=2x2-4x

-6的图象与x轴交点坐标，于是利用（1）中的解可直接得到交点坐标；

②把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解.

【解答】解：（1）解方程2x2-4x-6=0,

整理得x2-2x-3=0,

（x-3）（x+1）=0,

x-3=0或x+l=0,

所以xi=3,x2=-1；

（2）①函数y=2x?-4x-6的图象与x轴交点坐标（3,0）,（-1,0）；

②y=2（x2-2x）-6

=2（x2-2x+l-1）-6

=2（x-1）2-8,

所以抛物线的顶点（1,-8）.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a#0）

与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了解一元二次方程和二次函

数的性质.

18.九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单

位：分）：

甲789710109101010

乙10879810109109

（1）甲队成绩的中位数是9.5分,乙队成绩的众数是10分;

（2）计算乙队成绩的平均数和方差；

2,则成绩较为整齐的是乙队.

【考点】方差；加权平均数.

【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次

数最多的数即可；

（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；

（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案.

【解答】解：(1)把甲队的成绩从小到大排列为：7,7,8,9,9,10,10,10,10,10,

最中间两个数的平均数是(9+10)+2=9.5(分),

则中位数是9.5分；

乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，

则乙队成绩的众数是10分；

故答案为：9.5,10；

(2)乙队的平均成绩是：得(10x4+8x2+7+9x3)=9,

则方差是：*[4x(10-9)2+2X(8-9)2+(7-9)2+3x(9-9)2]=1；

(3)•.•甲队成绩的方差是1.4,乙队成绩的方差是1,

成绩较为整齐的是乙队；

故答案为：乙.

【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新

排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，一般地设n个数据，xi，x2,...xn

22

的平均数为彳，则方差S2=°[(xi--)+(x2-X)+-+(xn-x)T它反映了一组数据

n

的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

19.如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A,

GD=10.

(1)求FG的长；

(2)直接写出图中与ABHG相似的所有三角形.

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质.

【分析】（1）根据竦=黑，可以求出FG,由ED=FG,只要求出堞=黑即可，根据相似三

CDGDCDGD

角形的性质即可求解；

（2）根据正方形的角都是直角，其余两个角加起来为90。，根据对顶角、余角等关系，可

以看出AAFH,ADCG,ADEA,AGBH均是相似三角形.

【解答】解：（1）在正方形ABCD和矩形DEFG中，,E=NC=90。，

ZEDA与NCDG均为NADG的余角，

ZEDA=ZCDG,

ADEA-△DCG,

,EE_AD

"CD-GD

ED=FG,

,FG_AD

"CD-GD，

GD=10,AD=CD=8,

,FG_8

.----------,

810

FG=6.4；

（2）AAFH,ADCG,ADEA,AGBH均是相似三角形.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在做题过程中，要找全相似三角形要，综合

考虑，解题的关键是掌握相似三角形判定和性质.

20.一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同.

（1）从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.摸出的两个球中，1

个为红球，1个为白球的概率为■!；

O

（2）从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，再摸出1个球.求摸出的两个球中，1个

为红球，1个为白球的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两

个球中，1个为红球，1个为白球的情况，再利用概率公式即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中，1

个为红球，1个为白球的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）画树状图得:

红红红白

红红红白红红红白红红红白红红红白

.•,共有16种等可能的结果，摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的有6种情况,

・•・摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为：£=盘

168

故答案为：5；

O

（2）编画树状图得:

红红红白

/1\/T\/NZK

红红白红红白灯红白红红红

,■,共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，摸出"1个是红球，1个白球"（记为

事件B）的结果有6种，

...摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为：盍=1•

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

21.在淘宝一年一度的“双4^一"活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使2016

年"双H^一"的销售额达到3600万元，平均每年"双H--"销售额增长的百分率是多少？

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】增长率问题.

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X（1+增长率），参照本题，如果设

平均增长率为x,根据“在2014年销售额为2500万元，要使2016年“双十一”的销售额达到

3600万元”，即可得出方程.

【解答】解：设平均每年"双十一”销售额增长的百分率是x,根据题意得

2500（1+x）2=3600,

（,1,+,x）>.乙?二一36,

25

l+x=±-,

5

xi=-^=20%,X2=-¥（不合题意，舍去），

55

答：平均每年“双十一”销售额增长的百分率是20%.

【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化

率为x,则经过两次变化后的数量关系为a（l±x）2=b.

22.在作二次函数yi=ax?+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象时，先列出下表：

X...-1012345

yi­•.0-3-4-30512

Y2...024681012

请你根据表格信息回答下列问题，

（1）二次函数yi=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为（0,-3）；

（2）当力>丫2时，自变量x的取值范围是*<-1或*>5；

（3）请写出二次函数yi=ax2+bx+c的三条不同的性质.

【考点】二次函数的性质.

【分析】（1）令x=0,求得y的数值，确定与y轴交点坐标即可；

（2）先利用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式，求出两函数图象的交点，进而

可得出结论；

（3）利用二次函数的性质：开口方向，对称轴，增减性直接得出答案即可.

【解答】解：（1）二次函数yi=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为（0,-3）；

（2）由题意得,

a-b+c=O

<c=-3,

a+b+c=-4

"a=l

解得，b二-2.

c二一3

・•・二次函数的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4.

••・一次函数丫2=kx+m的图象过点(-1,0),(0,2),

(-k+irFO

"(ITF2'

解得『=2.

1in=2

,一次函数的解析式为y=2x+2,

如图所示，

当x<-1或x>5时，二次函数的值大于一次函数的值.

(3)该函数的图象开口向上；当x=l时，函数有最大值；当x<l时，y随x的增大而减小,

当壮1时，y随x的增大而增大；顶点坐标为(1,-4)；对称轴为直线x=l.

【点评】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，结合图象，利用二次函数的

性质解决问题.

23.请探究两个等腰三角形相似的条件，用文字语言直接写出探究的结果即可.

【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质.

【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角.

【解答】解：①顶角相等的两个等腰三角形相似；

②底角相等的两个等腰三角形相似；

③腰和底成比例的两个等腰三角形相似.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定.相似三角形的判定定理：（1）

平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似;

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

24.（1）如图（1）,已知射线0P与线段0H,在射线0P上取点D、E、F,且OD=DE=EF,

用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）请用尺规在图（2）中NBAC的内部作出一点O,使点。到AB的距离等于点。到

AC的距离的2倍.（不写作法，保留作图痕迹）

【考点】作图一复杂作图；平行线分线段成比例.

【专题】计算题.

【分析】（1）连结FH,分别过点E、F作FH的平行线交0H于N、M,根据平行线分线

段成比例定理可得到0M=MN=NH；

（2）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC与M,交AB与N,然后利用（1）的作法作

MN的三等份点即可得到0点.

【解答】解：（1）如图1,点M、N为所作；

(2)

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性

质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

25.如图，在矩形ABCD中，点。是对角线AC上一点，以0C为半径的。。与CD交于

点M,且NBAC=NDAM.

(1)求证：AM与。O相切；

(2)若AM=3DM,BC=2,求。。的半径.

【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质.

【分析】（1）首先连接0E,由四边形ABCD是矩形，ZBAC=ZDAM,可证得

ZOMC+ZDMA=90°,即可得NAMO=90°,则可证得AM与。O相切；

（2）易证得△BAO△DAM,由相似三角形的性质得到铐=当，得至1］勇=典，根据

DMAMACAM

AM=3DM,BC=2求得AC=6,在ADAM中，根据勾股定理得DM2+AD2=AM2,即可求得

DM和AM,在^AMO中，根据AM2+MO2=AO2求得OM的长，即可得OO的半径.

【解答】（1）证明：连接OM.

在矩形ABCD中，ABHDC,ZD=90"

/.ZBAC=ZDCA,

OM=OC,

/.ZOMC=ZOCM.

ZBAC=NDAM,

/.ZDAM二NOMC.

/.ZOMC+ZDMA=NDAM+ZDMA.

在△DAM中,ZD=90°,

/.ZDAM+ZDMA=180°-90°=90°.

/.ZOMC+ZDMA=90°.

/.ZAMO=90°,

/.AM±MO.

点M在。O上，OM是。。的半径，

/.AM与。O相切.

（2）在ABAC与△DAM中，

,/ZBAC=ZDAM,ZB=ND,

/.△BAO△DAM,

Bc

--AC

DMAM

BcDM

-AN

A£--

「AM=3DM,

/.AC=3BC.BC=2,

/.AC=6,

在ADAM中，DM2+AD2=AM2

即DM?+22=(3DM)2

解得DM=4AM=-^.

22

在小AMO中，AM2+MO2=AO2

即(邑名2+MO2=(6-MO)2.

2

【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理.此

题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

26.某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区

域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm,矩形区

域ABCD的面积为ym2.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

【分析】（1）根据矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，得到矩形

AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，求得AD=3DE,于是得到y=x（55-3）=--^x2+55x,

88

自变量X的取值范围为：24sx<40；

（2）把y=-^x2+55x化为顶点式：y=-¥（x-20）2+550,根据二次函数的性质即可

OO

得到结论.

【解答】解：（1）••・矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半,

矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，

AD=3DE,

AD=x,

••CJITI——~X,

4

围栏总长为110m,

3

/.2x+-x+2CD=110,

4

CD=55--x,

8

y=x（55--x）=--X2+55X,

88

二自变量X的取值范围为：24<x<40；

11,1111,

（2）y=--X2+55X=-—（x02-40x）=-1（x-20）2+550,

888

••,自变量X的取值范围为：24<x<40,且二次项系数为-今<0,

O

当x=24时，y有最大值，最大值为528平方米.

【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的

关键.

27.如图（1）,在矩形