人教A版选择性必修第一册数学第1章空间向量与立体几何综合测试题（原卷版+解析版）

第一章空间向量与立体几何

综合测试题（原卷版）

考试时间120分钟，满分150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知a=（―3,2,5）,b—（1,5,—1）,则4・（a+36）=（）

A.（0,34,10）B.（-3,19,7）

C.44D.23

2.（2023•龙岩高二检测）已知向量&=（-1,勿,2）,向量力=（3,1,n）,满

足a"b,则加+〃=（）

3.在棱长为2的正方体ABCD—ABCD中,）是正方体/四一48K〃外接球

的直径点，尸是正方体48口―456〃表面上的一点，则龙•苏的取值范围是（）

A.[-2,0]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[0,2]

4.如图，"是四面体力a1的棱8。的中点，点N在线段QV上，点尸在线段

13

/川上，豆MN=：ON,AP=~AN,用向量而，OB,应表示威则涛三（）

乙X

A.颉+显+凝

B.:而+金龙

444

C.扬+抽+/

71OO

D.幼+；龙虎

J44

5.已知平面a内两向量a=(1,1,1),6=(0,2,—1)且c=/»a+〃，+(4,

-4,1).若c为平面。的法向量，则加，〃的值分别为()

A.—1,2B.1,—2

C.1,2D,-1,-2

6.已知△48。的三个顶点为2(3,3,2),3(4,-3,7),C(0,5,1),则8c边上

的中线长为()

A.2B.3

C.4D.5

7.如图，在棱长为a的正方体力腼-45G〃中，尸为4〃的中点，Q为AB

上任意一点，E,6为切上两个动点，且)的长为定值，则点0到平面际的距

离()

A.等于WaB.和炉的长度有关

5

C.等于弓-aD.和点0的位置有关

O

8.如图所示，在棱长为2的正方体力腼-43G〃中，£为回的中点，点〃

在底面力戈力上(包括边界)移动，且满足则线段8/的长度的最大值为

()

a

A

B

A,警B.2乖

C.2^2D.3

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的

得2分，有选错的得0分)

9.已知空间三点4(1,0,3),6(—1,1,4),。(2,-1,3).若加电且|葡

=-\/14»则点尸的坐标为()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,—2)D.(2,—2,4)

10.已知正方体/腼一//G〃的中心为。，则下列结论中正确的有()

A.汤+应)与龙+优是一对相反向量

B.落龙与前一碗是一对相反向量

C.游+宓+沆'+近与碗+龙+死+滋是一对相反向量

D.汤।一汤与亦一曲是一对相反向量

11.已知直线/过点尸(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面。过直

线/与点欣1,2,3),则平面a的法向量可能是()

A%

-2)

D\

(O,7

12.如图1是一副直角三角板的示意图.现将两三角板拼成直二面角，得到

四面体48⑦，如图2所示，则下列结论中正确的是()

A.加太=0

B.平面版的法向量与平面的法向量垂直

C.异面直线宽与所成的角为60°

D.直线国与平面46。所成的角为30°

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知点〃在平面/a'内，。为平面力比'外一点，且应Hx涝+y应+z亦（x

14

+y>0,z>0）,则丁+一的最小值是

x+yz-------

14.已知。是平面/被上一点，ABLAD,CB=CD=\.

①若花=3衣，则宓•CD=—；②若亦=协+森，则|苏1的最大值为—.（本

题第一空3分，第二空2分）

15.（2023•宿迁高二检测）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶

胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a,b,c及棱间交

角a,£,尸（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中a=2,

b=c=l,a=60°,£=90°,r=120°,则该晶胞的对角线/G的长为.

16.（2023•扬州高二检测）在正三棱锥力一颂中，侧棱长为3,底面边长为

2,则点/到平面四的距离为；4?与面/缪所成角的余弦值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知a=（x,4,1）,b=（—2,y,-1）,c=（3,—2,

z）,a//b,6J_c,求：

(1)a,b,c；

(2)a+c与8+c夹角的余弦直

18.（本小题满分12分）在四棱锥9一力融力中，四边形/时为平行四边形，

AC与BD交于0,G为BD上一点,BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,试用基底｛a,

b,c｝表示向量无

19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱力比’-48G中，/ABC.,〃是

棱〃'的中点，且AB=BC=B&=2.

⑴求证：仍〃平面

（2）求异面直线AA与8G所成的角.

20.（本小题满分12分）（2022•全国甲卷）在四棱锥P-ABCD中，&?_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y[3.

p

(1)证明：BDVPA-,

⑵求如与平面为6所成的角的正弦值.

21.(本小题满分12分)(2021•新高考I卷)如图，在三棱锥斤aZ?中，平面

平面比〃AB=AD,0为物的中点.

(1)证明：OALCD.

⑵若△皈是边长为1的等边三角形，点£在棱4〃上，DE=2EA,且二面角

斤叱〃的大小为45°,求三棱锥止四的体积.

22.(本小题满分12分)条件①：图⑴中tan26=一£条件②：图⑴中而

219

=可宓花条件③：图(2)中三棱锥/一6缪的体积为余从以上三个条件中任选一

OOO

个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答.

如图⑴所示，在△/勿中，ZACB=45°,BC=3,过点力作比；垂足〃

在线段a'上，沿/〃将△/加折起，使N故。=90°(如图⑵)，点反〃分别为棱

BC,4?的中点.

(1)求证：CDLME.

(2)已知,试在棱切上确定一点N,使得ENLBM,并求二面角M-

夕¥一。的余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

第一章空间向量与立体几何

综合测试题(解析版)

考试时间120分钟，满分150分

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知a=(—3,2,5),b=(1,5,—1),则a•(a+36)=(C)

A.(0,34,10)B.(-3,19,7)

C.44D.23

[解析]a+3Z>=(-3,2,5)+3(1,5,-1)=(0,17,2),则a・(a+3魂=(一

3,2,5)•(0,17,2)=0+34+10=44.

2.(2023•龙岩高二检测)已知向量a=(—l,加,2),向量力=(3,1,n),满

足a//b,则m+n=(D)

［解析］向量a=(—1,m,2),向量加=以1,n),娄b,设,a=kb,

f-l=3A,

则有｛m=k,…11

则在=一鼻，m=—~,〃=­6,

〔2=4〃，

119

则nlm+n=---6=——

O0

3.在棱长为2的正方体ABCD-ABC。中,跖是正方体/叫外接球

的直径点，P是正方体4跄—484〃表面上的一点，则诙•序的取值范围是(A)

A.[—2,0]B.[—1,0]

C.[0,1]D.[0,2]

[解析]设正方体ABCD-A\BCD\的外接球的球心为0,设球。的半径为R,

则2心=2*，可得斤=击，所以OE=OF=木,

PE'PF=(PO+O^•(PO+OP)

=(pb+o^•(pb-d^)

=\Pb\2-\OE\2=\PO\2-3,

当如与正方体ABCD—AEGD、的侧面或底面垂直时，。的长取得最小值即|0P

Im.in=]x，

当点P与正方体ABCD-A\BCD\的顶点重合时，0P的长取最大值即[0P\^=

事,

.♦.1WI落W馅，所以庵•/=|南|2—3£[-2,0].

4.如图，"是四面体力8。的棱8。的中点，点N在线段QV上，点尸在线段

13

ANh,豆MN=：ON,AP=~AN,用向量汤，0B,应表示裾则排三(B)

乙X

A.颉+加+凝

B.^OA+\dB+\oC

444

C.扬+抽+；亦

AO0

D.^OA+^OB+^OC

344

13

［解析］因为拗'=5〃乂AP=­AN,

33

所以0P=0A+AP=OA+^N=应+j（康J而）

-3f3f1一,3,「—「，」」

=OA+-ON--OA=-OA+-^OB+-OC）^-OA+~OB+~OC.

444433444

5.已知平面a内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,—1)且c=/〃a+〃6+(4,

-4,1).若c为平面a的法向量，则如〃的值分别为(A)

A.11,2B.1,—2

C.1,2D.-1,-2

[解析]c=/〃a+〃b+(4,—4,1)=(加，m,m)+(0,2n,—n)+(4,—4,1)

=(R+4,/n+2n-4,7一〃+l)，

c,a=0,

由c为平面a的法向量，得《,八

[c-b=0,

'3R+A+1=0,fzz?=—1,

即〈解得〈

zzz+5/2—9=0,[〃=2.

6.已知△/6C的三个顶点为4(3,3,2),6(4,—3,7),C(0,5,1),则6。边上

的中线长为(B)

A.2B.3

C.4D.5

［解析］设回边的中点为。，走=(1,-6,5),应'=(一3,2,-1),

则松;(丽花=(一1,-2,2),

所以|池I=^/1+4+4=3.

7.如图，在棱长为a的正方体/四一484〃中，尸为4〃的中点，Q为

上任意一点，E,尸为切上两个动点，且跖的长为定值，则点0到平面的'的距

离(A)

A.等于看aB.和炉的长度有关

5

C.等于/-aD.和点。的位置有关

O

［解析］取AG的中点G,连接做CG,分，则尸G〃6Z4所以点。到平面的

的距离即点0到平面尸G切的距离，与4的长度无关，B错.又/由〃平面PG切，

所以点4到平面0％9的距离即点0到平面小切的距离，即点0到平面阳'的距

离，与点0的位置无关，D错.

如图，以点〃为原点，建立空间直角坐标系，则C(0,a,0),〃(0,0,0),4(a,0,

a),70,0,aj,'.DC=(0,a,0),DAX=(a,0,a),0，,，

设n=(x,y,z)是平面产仇刀的法向量，

a

n,^=0,~x+az=0,

则由得

n,能=0ay=0,

令z=l,则x=-2,y=0,所以A=(—2,0,1)是平面AGW的一个法向量.

设点0到平面阳'的距离为d,则占A对,C

一5

错.故选A.

8.如图所示，在棱长为2的正方体/以力一4月G〃中，6为a'的中点，点尸

在底面48切上(包括边界)移动，且满足5aL〃色则线段5尸的长度的最大值为

(D)

6乖

A.B.2,

5

C.2啦D.3

［解析］以〃为原点，物所在直线为x轴，〃。所在直线为y轴，2所在直

线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则〃(0,0,2),6(1,2,0),A(2,2,2),

设P(a,8,0),则办=(a—2,b-2,-2),应'=(1,2,-2),

•:B\P1"E,...办•赤=且一2+2(8—2)+4=0,

，a+26—2=0,0W6W1,

二点户的轨迹是一条线段.

\KP\2=(a-2T+(6—2尸+4=(-2b)2+(6—2产+4=5力-46+8,

由二次函数的性质可知当6=1时，5斤一46+8可取到最大值9,

二线段A尸的长度的最大值为3.故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的

得2分，有选错的得0分)

9.已知空间三点力(1,0,3),8(—1,1,4),C(2,-1,3).若箫力比，且|明

=714-则点尸的坐标为(AB)

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,-2)D.(2,-2,4)

[解析]设/々(34，—2A,一儿).

又I9I=VTZ,

：.7彳—2彳—^=yf]A,解得[•=±1,

：.AP=(3,-2,-1)或落(一3,2,1).

设点尸的坐标为(x,y,z),则9=(x—1,y,z—3),

(x_]=3,(x一]=一3,

/Jy=-2,或｛y=2,

lz—3=—11z—3=1,

［x=\,|x=~2,

解得卜=—2,或，尸2,

［z=21z=4.

故点尸的坐标为（4,-2,2）或（一2,2,4）.

10.已知正方体口一4AG〃的中心为0,则下列结论中正确的有（ACD）

A.而+应与历十丽是一对相反向量

B.海一充与游।一近是一对相反向量

C.OA+OB+OC+而与菊+通+诙+乃是一对相反向量

D.汤।一汤与应‘一死是一对相反向量

［解析］•.•。为正方体的中心，，汤=—丽，OD=-OB1,故而+应=—（例+

死），同理可得第十小=一（麻+⑦），故成1+南+沅+近=一（碗+龙+诙+

而，：.AC正确；,:而一比=出前一碗=成”.,.治-应'与前一碗是两个相等

=

的向量，，B不正确；•.•勿1—OAAA\,OC-OC、=（\0=—AAi,OAt—OA——（OC-

花；），，D正确.

11.已知直线/过点尸（1,0,—1）且平行于向量a=（2,1,1）,平面a过直

线/与点欣1,2,3）,则平面a的法向量可能是（ABC）

A.（1,-4,2）B.（I，-1,3

C.卜;，1,一；）D.（0,—1,1）

［解析］因为沏=（0,2,4）,直线/平行于向量a,若A是平面a的一个法

向量，则必须满足敬法向量垂直且满足a与法向量垂直，把选项代入验证，只

有选项D不满足，故选ABC.

12.如图1是一副直角三角板的示意图.现将两三角板拼成直二面角，得到

四面体/比〃如图2所示，则下列结论中正确的是（AD）

A.~BD*AC=O

B.平面8（幻的法向量与平面42?的法向量垂直

C.异面直线切与4〃所成的角为60°

D.直线〃。与平面46。所成的角为30°

［解析］以6为坐标原点，分别以砺，虎的方向为x轴，y轴的正方向建立

空间直角坐标系，如图所示.设BD=2,则8（0,0,0）,〃（2,0,0）,。（0,24，0）,

4（0,小,击），...砺=（2,0,0）,衣=（0,小,一/），BC=（0,2y［3,0）,AD=

（2,一班，一m）,^=（-2,2^3,0）.

...诙•岸（2,0,0）•（0,木,一木）=0,A正确；易得平面腼的一个法

向量为也=（0,0，/），平面/切的一个法向量为1,1）,Al•z?2#0,B

错误；

0,2击，0•2,一#,一m|

Icos(BC,'ALh|=

\BC\\AD\2y/3Xy/10

易得平面/比的一个法向量为诙=⑵0,0）,设直线加与平

能・协4__1

面48。所成的角为S,则sin9==4X2=5'故D正确.

\DC\­\BD\

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知点〃在平面48。内，。为平面/a'外一点，且应="成1+历+z应'（x

14

+y>0,z>0）,则=•+-的最小值是9.

x+yz

［解析］因为4B,C,〃共面，所以x+y+z=l,又x+y>0,z>0,则已^

,4/,,(1,4\z,4x+y,、/z4x+y,

+-=(x+y+z)x―j—+-=~;—+--------+522、/-;—•---------+5=

z1才+/z)x+yz\lx+yz

9,

当且仅当弓-=』一时,等号成立，所以一—+刍的最小值是乱

x+y4'+zx+yz

14.已知。是平面/劭上一点，ABVAD.CB=CD=\.

3

=

4

①若48=3/a则CD=_②若"=AB+AD,则1AP\的最大值为

2.（本题第一空3分，第二空2分）

［解析］由题意可知，在①中，因为质=3衣，所以。为线段46的三等分点（靠

31

近点4）,如图所示，因为"=缪=1,所以49=5，AC=~

乙乙

3］3

则庙.乃=荔・（Ab-Ai^=AB'AD-AB'AC=Q--X-cos0=­

在②中，因为办=矗+功，

所以|明=|花+初=.赤+初+2宓•戒

=,亦+次）=初）=|诙|,

如图所示，当点C是线段初的中点时，劭取得最大值，此时最大值为止

BC+CD=2,所以|心1的最大值为2.

15.（2023•宿迁高二检测）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶

胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a,b,c及棱间交

角a,£,尸（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中a=2,

b=c=l,。=60°,£=90°,y=120°,则该晶胞的对角线阳的长为亚

［解析］如图所示:

AC{=AC+CCX=AB+Ab+CCy=AB+Ab+AA„依题可知I而|=2,荔=\AD

|=1,a=ZAiAB=QQ°,0=/A、AD=9O°,ZBAD=180°-r=60°,所以元

2=症+初+荔2+2宓・Ab+2AB-荔+2质•荔，所以元2=4+1+1+

2X2XlXcos600+2X2XlXcos60°+2X1X1XCOS90°,则花?=10,故

元I=m.

16.（2023•扬州高二检测）在正三棱锥4一式》中，侧棱长为3,底面边长为

2,则点力到平面腼的距离为芈；46与面力⑺所成角的余弦值为¥.

［解析］在正三棱锥1一时中，设顶点4在底面灯力上的射影为0,则力。

，平面腼，且。为底面△9的中心，连接〃。并延长，与回交于点6,则£为

8c的中点，因为底面边长为2,所以〃£=号*2=/，

也1m22#

故EO=&DE=黑,OD=~DE=^~,

OOOO

又侧棱长加H3,所以力力我二次=［32—呼|=手，

故点A到平面颇的距离为2V；

以点〃为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

A

则彳0,0,粤I，4坐,一1,o),

-—芈,

\7

所以萍停T,一判

求=胞LO),科挛o,嚼,

设平面45的法向量为A=(x,y,z),

n,DC=y[ix+y=Q

-2A/3,A/69'

n•%=~x+-^-z=0

{oo

\n'AB\2^69

则(AB,n)

Icosn|~AB\3^96

所以48与平面Z5所成角的正弦值为盗，故N6与平面4切所成角的余弦

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.(本小题满分10分)已知a=(%4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,

z),a//b,b.Lc9求:

(1)a,b,c；

(2元+。与6+。夹角的余弦值.

v41

［解析］⑴因为a〃4所以一-=-=-解得x=2,y=—4,

一/y—1

则a=(2,4,1),6=(—2,—4,—1).

又瓦Lc,所以，・c=0,即-6+8—z=0,

解得z=2,于是c=(3,—2,2).

(2)由⑴得a+c=(5,2,3),b+c=(l,-6,1),

设a+c与b+c的夹角为。,

丁上八5-12+32

因为c°s行斤-百

2

所以a+c与b+c夹角的余弦值为一历.

18.(本小题满分12分)在四棱锥产一46口中，四边形口为平行四边形，

“与劭交于0,G为劭上一点，BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,试用基底｛a,

b,c｝表示向量无

［解析］,:BG=2GD,

一2一

：.BG=­BD.

o

又至H瓦1+瓦:=应一丽比一死=a+c—2A

~PG=PB+死=b+~(a+c—2B)

o

19.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱/8C—45G中，/ABC：5,〃是

棱力。的中点，目AB=BC=BR=2.

(1)求证：4笈〃平面困，；

(2)求异面直线A区与BC、所成的角.

［解析］⑴如图1，连接身。交8G于点。，连接如

为身。的中点，〃为力。的中点,：.0D〃AB、.

平面阅，，如u平面比

.,"5〃平面BQD.

⑵建立如图2所示的空间直角坐标系B-xyz.

则8(0,0,0)、4(0,2,0),G(2,0,2)、5(0,0,2).

.•.葩=(0,—2,2)、反;=(2,0,2).

葩•属0+0+41

cos{ABi,BC\}

|赤•庇|2y/2X2y[22

设异面直线45与为所成的角为0,则cos0=^,

•.•回0,31

夕=丁・

O

20.（本小题满分12分）（2022•全国甲卷）在四棱锥P-ABCD中，依_1_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=y[i.

⑴证明：BDLPA-,

（2）求知与平面为8所成的角的正弦值.

［解析］⑴在四边形/颇中，作庞U8于E,CFLAB于F,

因为切〃AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四边形/阅9为等腰梯形，

所以AE=BF=\,

乙

故庞=手，BD=7DR+BE=^,

所以A0+Bff=A^,

所以ADIBD,

因为PDL平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以PDLBD,

又PD^AD=D,

所以平面PAD,

又因用u平面PAD,

所以BDLPA.

⑵由⑴知劭，”，又46=2/〃，取46中点0,所以N〃47=60°,

所以三角形/"为正三角形.

过点，作垂直于〃。的直线为X轴，火所在直线为y轴,〃产所在直线为Z轴,

3

-9O

建立如图所示的空间直角坐标系，则*“将2O,

〃(0,0,0).

-乎,p乖，~DP=(0,0,小)

则加=(0,2,0)，

设平面为6的法向重为z?=(x,y,z),

2y=0,

AB-n=Q

r]

则—彳x+p+m2=0

AP-n=0

令x=2,则y=0,z=l,所以z?=(2,0,1).

设直线外与平面为8所成的角为a,

〃•明击乖

则sina=|cos(n,曲

一㈤.而飞xF5

所以直线如与平面/W斤成的角的正弦值为当

21.(本小题满分12分)(2021•新高考I卷)如图，在三棱锥缪中，平面

A8D上平面BCD,AB=AD,0为劭的中点.

(1)证明：0AVCD.

(2)若△皈是边长为1的等边三角形，点后在棱4。上，龙=2必，且二面角

比册〃的大小为45°,求三棱锥上腼的体积.

［解析］⑴因为46=加，。为龙中点，所以/人物，

因为平面4劭A平面8a?=劭，平面力而，平面比240U平面4劭,

因此40,平面BCD,

因为切u平面8W，所以40J_CZZ

⑵作既1班于£作凡LL8C于M,连EM,

因为40,平面比。所以力。，能A0VCD,

所以阮L"EFLCD,BDCCD=D,因此瓯L平面以力，即瓯L8C,

因为£1人a；FMCEF=F,所以6cL平面成区即6cL阳

n

则N切伊为二面角股心〃的平面角，AEMF=~,

因为B0=0D,△。5为正三角形，所以△质为直角三角形，

因为BD=2CD,所以FM=］:BF=}\1+^|=|,

乙ZuyOJO

2

从而EF=FM=&,所以/AL

因为40,平面时，

=

所以V~A0•—X1X-X1G.

oo乙o

22.(本小题满分12分)条件①：图⑴中tan28=-*条件②：图⑴中森

O

9।9

=可花+可花条件③：图(2)中三棱锥/一板的体积为鼻.从以上三个条件中任选一

OOO

个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答.

A

A

如图⑴所示，在△46。中，ZACB=45°,BC=3,过点力作8G垂足〃

在线段以7上，沿/〃将△/加折起，使/"：=90°(如图(2)),点后"分别为棱

BC,力。的中点.

(1)求证：CDLME.

(2)已知,试在棱切上确定一点N,使得ENLBM,并求二面角M-

"V-C的余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解析］⑴：以小力〃，CDLBD,ADCBD=D,AD,劭u平面ABD,...aLL平

面ABD.

•.•/5U平面力如，：.CDLAB.

又机£分别为力乙勿的中点，：.ME//AB,:.CDIME.

..,._,42tanB

(2)方案一选①，由tan23=—§=［不尊彳

解得tan8=2或tan8=-1(舍去).

乙

4Dx

设AgCi在Rt△四〃中，tanB^—=2,解得户2’."gl.

以点。为原点，DB,DC,为所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，则〃(0,0,0),8(1,0,0),。(0,2,0),4(0,0,2),"(0,1,1),

g，1，°)，则面人(一1,1,1)•

设”(0,a,0),0—

■:ENLBM,...加•加0,

/1

f-a

\-

2Jo•(-1,1,1)=0,

...当〃忌(即N是5的靠近点〃的一个四等分点)时，ENLBM.

乙

血三1-1,0L(—1,1,1),

设平面阴财的法向量为n=1x,y,z),

n•曲=0,—2x+y=0,

由，得，，，令x=l,得y=2,z=—l,则n

n,曲=0,、x+y~\z0,

=(1,2,-1).

取平面AVC的一个法向量m=(0,0,1),

m•n0,0,1•1,2,一1乖

cos[m,ri)

m\n\-I"?+~-12-6

又二面角〃一C的平面角为锐角,

...二面角的余弦值为*.