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文档简介
江苏省睢宁县高级中学2025届高一数学第二学期期末监测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则()A. B. C. D.2.《九章算术》卷第六《均输》中,提到如下问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其大致意思是说,若九节竹每节的容量依次成等差数列,下三节容量四升,上四节容量三升,则中间两节的容量各是()A.升、升 B.升、升C.升、升 D.升、升3.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000m/h,飞行员先看到山顶的俯角为,经过1min后又看到山顶的俯角为,则山顶的海拔高度为(精确到0.1km,参考数据:)A.11.4km B.6.6km C.6.5km D.5.6km4.已知直线过点且与直线垂直,则该直线方程为()A. B.C. D.5.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A.11.4 B.6.6C.6.5 D.5.67.设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则()A. B. C. D.8.函数的定义域是(
)A. B. C. D.9.当点到直线的距离最大时,m的值为()A.3 B.0 C. D.110.如图所示,程序框图算法流程图的输出结果是A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知函数,关于此函数的说法:①为周期函数;②有对称轴;③为的对称中心;④;正确的序号是_________.12.若函数的图像与直线有且仅有四个不同的交点,则的取值范围是______13.已知函数,若,且,则__________.14.已知正方体中,,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.15.已知数列的通项公式是,若将数列中的项从小到大按如下方式分组:第一组:,第二组:,第三组:,…,则2018位于第________组.16.如图,四棱锥中,所有棱长均为2,是底面正方形中心,为中点,则直线与直线所成角的余弦值为____________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知向量与向量的夹角为,且,.(1)求;(2)若,求.18.已知数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式(2)数列的前项和为,若存在,使得成立,求范围?19.数列中,,(为常数).(1)若,,成等差数列,求的值;(2)是否存在,使得为等比数列?并说明理由.20.已知函数,(1)求的单调递增区间.(2)求在区间的最大值和最小值.21.在中,角所对的边分别为.且.(1)求的值;(2)若,求的面积.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】
由题意和余弦定理可得,再由余弦定理可得,可得角的值.【详解】在中,,由余弦定理可得,,,又,.故选:.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查了转化思想,属基础题.2、D【解析】
由题意知九节竹的容量成等差数列,至下而上各节的容量分别为a1,a2,…,an,公差为d,利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出中间一节的容量.【详解】由题意知九节竹的容量成等差数列,至下而上各节的容量分别为a1,a2,…,a9,公差为d,即=4,=3,∴=4,=3,解得,,∴中间两节的容量,,故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,利用等差数列的通项公式列出方程组,解出首项与公差即可,考查计算能力,属于基础题.3、C【解析】
根据题意求得和的长,然后利用正弦定理求得BC,最后利用求得问题答案.【详解】在中,根据正弦定理,所以:山顶的海拔高度为18-11.5=6.5km.故选:C【点睛】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用,考查了学生数学应用,转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.4、A【解析】
根据垂直关系求出直线斜率为,再由点斜式写出直线。【详解】由直线与直线垂直,可知直线斜率为,再由点斜式可知直线为:即.故选A.【点睛】本题考查两直线垂直,属于基础题。5、A【解析】
根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.6、B【解析】AB=1000×(km),∴BC=·sin30°=(km).∴航线离山顶h=×sin75°≈11.4(km).∴山高为18-11.4=6.6(km).选B.7、D【解析】Sn====3-2an.8、B【解析】
根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.【详解】∵函数f(x)=+lg(3x+1),∴;解得﹣<x<1,∴函数f(x)的定义域是(﹣,1).故选B.【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题,解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组,是基础题目.9、C【解析】
求得直线所过的定点,当和直线垂直时,距离取得最大值,根据斜率乘积等于列方程,由此求得的值.【详解】直线可化为,故直线过定点,当和直线垂直时,距离取得最大值,故,故选C.【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题,考查点到直线距离的最值问题,属于基础题.10、D【解析】
模拟程序图框的运行过程,得出当时,不再运行循环体,直接输出S值.【详解】模拟程序图框的运行过程,得S=0,n=2,n<8满足条件,进入循环:S=满足条件,进入循环:进入循环:不满足判断框的条件,进而输出s值,该程序运行后输出的是计算:.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.根据程序框图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、①②④【解析】
由三角函数的性质及,分别对各选项进行验证,即可得出结论.【详解】解:由函数,可得①,可得为周期函数,故①正确;②由,,故,是偶函数,故有对称轴正确,故②正确;③为偶数时,,为奇数时,故不为的对称中心,故③不正确;④由,可得正确,故④正确.故答案为:①②④.【点睛】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识,综合性大,属于中档题.12、【解析】
将函数写成分段函数的形式,再画出函数的图象,则直线与函数图象有四个交点,从而得到的取值范围.【详解】因为因为所以,所以图象关于对称,其图象如图所示:因为直线与函数图象有四个交点,所以.故答案为:.【点睛】本题考查利用三角函数图象研究与直线交点个数,考查数形结合思想的应用,作图时发现图象关于对称,是快速画出图象的关键.13、2【解析】不妨设a>1,
则令f(x)=|loga|x-1||=b>0,
则loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b;
故x1=-ab+1,x2=-a-b+1,x3=a-b+1,x4=ab+1,
故故答案为2点睛:本题考查了绝对值方程及对数运算的应用,同时考查了指数的运算,注意计算的准确性.14、【解析】
异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解.【详解】连接DF,异面直线与所成角等于【点睛】异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解.不能平移时通常考虑建系,利用向量解决问题.15、1【解析】
根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数,从中寻找规律使问题得到解决.【详解】根据题意:第一组有2=1×2个数,最后一个数为4;第二组有4=2×2个数,最后一个数为12,即2×(2+4);第三组有6=2×3个数,最后一个数为24,即2×(2+4+6);…∴第n组有2n个数,其中最后一个数为2×(2+4+…+2n)=4(1+2+3+…+n)=2n(n+1).∴当n=31时,第31组的最后一个数为2×31×1=1984,∴当n=1时,第1组的最后一个数为2×1×33=2112,∴2018位于第1组.故答案为1.【点睛】本题考查观察与分析问题的能力,考查归纳法的应用,从有限项得到一般规律是解决问题的关键点,属于中档题.16、.【解析】
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值.【详解】解:四棱锥中,所有棱长均为2,是底面正方形中心,为中点,,平面,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,∴,,设直线与直线所成角为,则,直线与直线所成角的余弦值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)对等式两边同时平方,利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质,可以求出;(2)根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零,可以得到方程,解方程可以求出的值.【详解】解:(1)由得,那么;解得或(舍去)∴;(2)由得,那么因此∴.【点睛】本题考查了求平面向量模的问题,考查了两个非零平面向量互相垂直的性质,考查了平面向量数量积的定义及运算性质,考查了数学运算性质.18、(1);(2)【解析】
(1)根据之间关系,可得结果(2)利用错位相减法,可得,然后使用分离参数的方法,根据单调性,计算其范围,可得结果.【详解】(1)当时,两式相减得:当时,,不符合上式所以(2)令,所以所以令①②所以①-②:则化简可得故,若存在,使得成立即存在,成立故,由,则所以可知数列在单调递增所以,故【点睛】本题考查了之间关系,还考查了错位相减法求和,本题难点在于的求法,重点在于错位相减法的应用,属中档题.19、(Ⅰ)p=1;(Ⅱ)存在实数,使得{an}为等比数列【解析】
(Ⅰ)由已知求得a1,a4,再由-a1,,a4成等差数列列式求p的值;(Ⅱ)假设存在p,使得{an}为等比数列,可得,求解p值,验证得答案.【详解】(Ⅰ)由a1=1,,得,,则,,,.由,,a4成等差数列,得a1=a4-a1,即,解得:p=1;(Ⅱ)假设存在p,使得{an}为等比数列,则,即,则1p=p+1,即p=1.此时,,∴,而,又,所以,而,且,∴存在实数,使得{an}为以1为首项,以1为公比的等比数列.【点睛】本题考查数列递推式,考查等差数列与等比数列的性质,是中档题.20、(1),;(2)最大值为,最小值为【解析】
利用二倍角公式、两角和差正弦公式和辅助角公式可化简出;(1)令,解出的范围即为所求单调递增区间;(2)利用的范围可求得所处的范围,整体对应正弦函数图象可确定最大值和最小值取得时的值,进而求得最值.【详解】(1)令,,解得:,的单调递增区间为,(2)当时,当时,取得最大值,最大值为当时,取得最小值,最小值为【点睛】本题考查正弦型函数单调区间和
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