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文档简介
北京市西城区2025届高一数学第二学期期末考试试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知{an}是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7=()A.12 B.16 C.20 D.242.已知点A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1) B. C. D.3.一支由学生组成的校乐团有男同学48人,女同学36人,若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21人参加某项活动,则抽取到的男同学人数为()A.10 B.11 C.12 D.134.在中,角的对边分别为,,且边,则面积的最大值为()A. B. C. D.5.已知,下列不等式中必成立的一个是()A. B. C. D.6.在中,角的对边分别为,若,则A.无解 B.有一解C.有两解 D.解的个数无法确定7.三条线段的长分别为5,6,8,则用这三条线段A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形8.的值为()A. B. C. D.9.某班有男生30人,女生20人,按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作.现从这5人中随机选取2人,至少有1名男生的概率是()A. B. C. D.10.在等差数列中,若公差,则()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.函数可由y=sin2x向左平移___________个单位得到.12.在各项均为正数的等比数列中,,,则___________.13.已知sin+cosα=,则sin2α=__14.若角的终边经过点,则实数的值为_______.15.已知圆是圆上的一条动直径,点是直线上的动点,则的最小值是____.16.住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5:00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜,他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知向量.(1)若,求的值;(2)记函数,求的最大值及单调递增区间.18.关于的不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)若,求的值.19.已知数列为等差数列,是数列的前n项和,且,.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和.20.在中,内角的对边分别为,且.(1)求角;(2)若,,求的值.21.如图,四棱锥中,底面为平行四边形,,,底面.(1)证明:;(2)设,求点到面的距离.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】由等差数列的性质可得,则,故选D.2、B【解析】
先求得直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),由0可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标,①若点M和点A重合,求得b;②若点M在点O和点A之间,求得b;③若点M在点A的左侧,求得b>1.再把以上得到的三个b的范围取并集,可得结果.【详解】由题意可得,三角形ABC的面积为1,由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,故0,故点M在射线OA上.设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为(,).①若点M和点A重合,如图:则点N为线段BC的中点,故N(,),把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b,求得a=b.②若点M在点O和点A之间,如图:此时b,点N在点B和点C之间,由题意可得三角形NMB的面积等于,即,即,可得a0,求得b,故有b.③若点M在点A的左侧,则b,由点M的横坐标1,求得b>a.设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由求得点P的坐标为(,),此时,由题意可得,三角形CPN的面积等于,即•(1﹣b)•|xN﹣xP|,即(1﹣b)•||,化简可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.由于此时b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2.两边开方可得(1﹣b)1,∴1﹣b,化简可得b>1,故有1b.综上可得b的取值范围应是,故选B.【点睛】本题主要考查确定直线的要素,点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用,还考查了运算能力以及综合分析能力,分类讨论思想,属于难题.3、C【解析】
先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比,由男生总人数乘以抽样比即可得出结果.【详解】用分层抽样的方法从校乐团中抽取人,所得抽样比为,因此抽取到的男同学人数为人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样,熟记概念即可,属于常考题型.4、D【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求,根据余弦定理,基本不等式可求的最大值,进而利用三角形面积公式即可求解.【详解】解:,可解得:,由余弦定理,可得,即,当且仅当时成立.等号当时成立.故选D.【点睛】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基本知识的考查.5、B【解析】
根据不等式的性质,对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】对于A选项,由于,不等号方向不相同,不能相加,故A选项错误.对于B选项,由于,所以,而,根据不等式的性质有:,故B选项正确.对于C选项,,而两个数的正负无法确定,故无法判断的大小关系,故C选项错误.对于D选项,,而两个数的正负无法确定,故无法判断的大小关系,故D选项错误.故选:B.【点睛】本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立,属于基础题.6、C【解析】
求得,根据,即可判定有两解,得到答案.【详解】由题意,因为,又由,且,所以有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定,以及正弦定理的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7、C【解析】
先求最大角的余弦,再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为,所以,所以三角形是钝角三角形.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】试题分析:.考点:诱导公式.9、D【解析】
由题意,男生30人,女生20人,按照分层抽样方法从中抽取5人,则男生为人,女生为,从这5人中随机选取2人,共有种,全是女生的只有1种,所以至少有1名女生的概率为,故选D.10、B【解析】
根据等差数列的通项公式求解即可得到结果.【详解】∵等差数列中,,公差,∴.故选B.【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量(首项和公差)来处理,运用公式时要注意项和项数的对应关系.本题也可求出等差数列的通项公式后再求出的值,属于简单题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
将转化为,再利用平移公式得到答案.【详解】向左平移故答案为【点睛】本题考查三角函数图像的平移,将正弦函数化为余弦函数是解题的关键,也可以将余弦函数化为正弦函数求解.12、8【解析】
根据题中数列,结合等比数列的性质,得到,即可得出结果.【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列,,,所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用,熟记等比数列的性质即可,属于基础题型.13、【解析】∵,∴即,则.故答案为:.14、.【解析】
利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得,另一方面,由三角函数的定义得,解得,故答案为.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义,解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值,并利用三角函数的定义求参数的值,考查计算能力,属于基础题.15、【解析】
由题意得,==﹣=,即可求的最小值.【详解】圆,得,则圆心C(1,2),半径R=,如图可得:==﹣=,点是直线上,所以=()2=,∴的最小值是=.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想,点到直线的距离,属于中档题.16、【解析】
将甲、乙到达时间设为(以为0时刻,单位为分钟).则相见需要满足:画出图像,根据几何概型公式得到答案.【详解】根据题意:将甲、乙到达时间设为(以为0时刻,单位为分钟)则相见需要满足:画出图像:根据几何概型公式:【点睛】本题考查了几何概型的应用,意在考查学生解决问题的能力.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或,(2),增区间为:【解析】
(1)根据得到,再根据的范围解方程即可.(2)首先根据题意得到,再根据的范围即可得到函数的最大值和单调增区间.【详解】因为,所以,即.因为,.所以或,即或.(2).因为,所以.所以,.因为,所以.令,得.因为,所以增区间为:.【点睛】本题第一问考查根据三角函数值求角,同时考查了平面向量平行的坐标运算,第二问考查了三角函数的最值和单调区间,属于中档题.18、(1);(2).【解析】
(1)由行列式的运算法则,得原不等式即,而不等式的解集为,采用比较系数法,即可得到实数的值;(2)把代入,求得,进一步得到,再由两角差的正切公式即可求解.【详解】(1)原不等式等价于,由题意得不等式的解集为,故是方程的两个根,代入解得,所以实数的值为.(2)由,得,即.,【点睛】本题考查了行列式的运算法则、由一元二次不等式的解集求参数值、二倍角的正切公式以及两角差的正切公式,需熟记公式,属于基础题.19、(1)(2)【解析】
(1)由等差数列可得,求得,即可求得通项公式;(2)由(1),则利用裂项相消法求数列的和即可【详解】解:(1)因为数列是等差数列,且,,则,解得,所以(2)由(1),,所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和20、(1)(2),【解析】
(1)由正弦定理可得,求得,即可解得角;(2)由余弦定理,列出方程,即可求解.【详解】(1)由题意知,由正弦定理可得,因为,则,所以,即,又由,所以.(2)由(1)知和,,由余弦定理,即,即,解得,所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,其中解答中熟记三角形的正弦、余弦定理,准确计算是解答的挂念,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.21、(1)见解析(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)要证明线线垂直,一般用到线面垂直的性质定理,即先要证线面垂直
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