对数函数 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

4.4对数函数

一、对数函数的概念

一般地，函数y=logaX（a>0,且存1）叫做对数函数,其中X是自变量，函数的定

义域是（0,+oo）.

X

思考函数y=log7tx,y=log2］是对数函数吗？

二、对数函数的图象和性质

对数函数y=logax（a>0,且存1）的图象和性质如下表

y=log«x(。>0,且存1)

底数a>\0<a<l

y=logX«>l)X=1

图象不(L0)一

7(1,0)xF

y=log^

X=1(0«<l)

定义域(0,+8)

值域R

单调性在(0,+s）上是增函数在(0,+oo）上是减函数

共点性图象过定点（1,0）,即x=l时，y=0

旧0,1)时，旧0,1)时，

函数值特点yE(—co,Q)；y£(0,+8)；

%G[1,+oo)时，X^[l,+co)时，

y£10，+QO)yE(—oo?Q]

函数y=log“x与y=logX的图象关于x轴对称

对称性i

a

思考对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关?

三、反函数

指数函数y=/3>0,且存1)与对数函数y=logax(a>0且存1)互为反函数.它们

的定义域与值域正好互换.

四、对数型函数的性质及应用

1.y=log/x)型函数性质的研究

(1)定义域：由加)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.

(2)值域：在函数y=log/x)的定义域中确定/=加)的值域，再由了=log"的单调

性确定函数的值域.

(3)单调性：在定义域内考虑/=/)与y=\ogat的单调性，根据同增异减法则判

定.(或运用单调性定义判定)

(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.

(5)最值：在人》)>0的条件下，确定/=於)的值域，再根据。确定函数y=logd的

单调性，最后确定最值.

2.10g/X)<10gag(X)型不等式的解法

(1)讨论。与1的关系，确定单调性.

(2)转化为於)与8(乃的不等关系求解，且注意真数大于零.

五、三种常见函数模型的增长差异

尸Qy=logaxy—kx

飞4>1）（。＞1）（心0）

在(0,+oo)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

随X的增大逐渐变随X的增大逐渐趋随X的增大匀速上

图象的变化

“陡”于稳定升

y=a”的增长快于y=kx的增长，y=kx的增长快于y=logaX

增长速度

的增长

增长后果会存在一个X0，当x>xo时，有>logd

思考在区间(0,+oo)上，当心1,〃>0时，是否总有logaXb〈炉成立？

考点一对数函数的概念辨析

【例1】(2020宝鸡市渭滨中学高一期中)若函数/(x)=log.a+l)(G〉0,awl)

的图像过点(7,3),则。的值为()

A.JiB.2C.—D.-

22

【练1】(2020•全国高一课时练习)下列函数是对数函数的是()

X

A.y=k)ga(2x)B.y=log22C.y=log2^+lD.y=lgx

考点二单调性(区间)

【例2】(2020•全国)已知函数/(x)=lg(x2—4x-5)在(a,+<»)上单调递增,则a

的取值范围是()

A.(2,+oo)B.[2,+co)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【练2】(2019•浙江高一期中)函数"x)=ly(2r)的单调递增区间是()

A.(-8⑵B.(-oo,0)C.(2,+00)D.(0,+CO)

考点三定义域和值域

【例3】(2020•沐阳县修远中学高二期末涵数/(%)-log2%的定义域为

A/2-X

()

A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+<»)D.[2,+a))

【练3】（2020•全国高一课时练习）函数y=log2（x-2）的定义域是（）

A.（0,+oo）B.（1,+co）C.（2,+oo）D.[4,+oo）

考点四比较大小

【例4】（2020•辽源市田家炳高级中学校高二期末（文））已知a=log20.3,

%=033,c=2i3,则。，b,。的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

8--

【练4】（2020•江苏南京）设a=log49,bW?,c=（_）3,则（）

27

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

考点五解不等式

【例5】（2020•内蒙古集宁一中高二期末（文））不等式log025（x-D>1的解集是

【练5】（2020•福建安溪•高二期末）已知函数/（*）为H上的偶函数，当xNO

2

时，/（X）=log2020（Vx+l+x）,则关于1的不等式“1-2尤）</（2）的解集为

（）.

【答案】C

考点六定点

【例6】（2020•山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数〃力=%+1。8.（尸3）的

图象恒过定点A,（其中a>0且awl）,则A的坐标为.

【练6】（2020•全国高一课时练习）若函数/x）=21og“（2—x）+3（a>0,且分D过

定点尸，则点尸的坐标是.

考点七图像

【例7】如图，若Ci,C2分别为函数y=log.x和.v=log胡的图象，则（）

A.0<a<b<lB.0<b<a<l

C.a>b>lD.b>a>l

【练7】（2020•新疆兵团第二师华山中学）函数〃x）=k）g2X+l与g（x）=2*i在同

c.D.

X

考点八对数函数综合运用

【例8】（2020•甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））已知函数

/(x)=log2(3+x)+log2(3-x).

(1)求/(l)的值;

⑵求函数〃尤）的定义域

（3）判断函数〃尤）的奇偶性，并证明.

【练8】（2020•武汉外国语学校高一月考）已知函数〃司=坨优—2公+1）

（1）若函数/（尤）的定义域为R,求。的取值范围;

（2）若函数/（尤）的值域为R,求。的取值范围.

课后练习

1.（2020高一上.龙岩期末）已知函数y=/（%）是函数y-10x的反函

数，则/(10)=()

A.1B.2

C.10D.IO10

11

2.(2021・九龙坡模拟)若a=log」，b=ln2,0=5-5,则()

3Z

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.(2020高一上,成都期末)已知奇函数/(%)在R上是减函数,若a=

09

/(log24.6),b=-/(log21),c=-/(-2),则a、b、c的大小关系为

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.c>a>b

4.(2021・湖北模拟)已知a=41og242，b=log54,c=粤詈，则

()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.a>c>b

5.(2021.浦东模拟)函数/(%)=1+log?%(%>4)的反函数的定义域为

6.(2021.松江一模)已知函数/(%)图像与函数=2X的图像关于y=

x对称，则/G)=.

7.(2020高一上•浦东期末)设函数y=logax+l(a>0且a。1),则该

函数的图象恒过定点的坐标是.

8.(2020高一上•滨州期末)已知函数/(%)=loga(2x-3)+l(a>0且ar

1),且的图象恒过定点P,则点P的坐标为.

9.(2020高一上•龙岗期末)已知函数/Q)=loga三，其中a>l.

(1)求/(%)的定义域；

(2)判断/(%)的奇偶性，并给予证明；

(3)求使/(%)>0的x取值范围.

X

10.（2021高一下•会泽月考）已知集合A={x\l<3<27},B=[%|log2x>

1）•

（1）求（CRB）UA；

（2）已知集合C={%|l-a<%<l+a},若CGZ,求实数a的取值范

围.

11.(2020高一上•天津期末)已知函数/(%)=log2M.

(I)若/(a)=1,求a的值；

(II)判断函数/(%)的奇偶性，并证明你的结论.

____-1-1

12.(2020高一上•东丽期末)已知集合A=(a\loga-<1},B=<

1}•

(1)求集合A、B；

(2)求CRQ4CB).

精讲答案

思考

答案y=log3tx是对数函数，y=Iog2］不是对数函数.

思考

答案底数。与1的关系决定了对数函数图象的升降.

当A1时，对数函数的图象“上升”；当0<战1时，对数函数的图象“下降”.

思考

答案不是，但总存在xO,使得当a>l,n>0,x>xO时，logax<xn<ax成立.

［例1］

【答案】B

【解析】由题，3=108°（7+1）=>43=8=>。=2.故选：B

【练1】

【答案】D

【解析】由对数函数的定义：形如y=log“Ma〉0且的形式，则函数为对

数函数，只有D符合.

故选D

【例2】

【答案】D

【解析】由三—4%-5〉0得x>5或XVT所以/（X）的定义域为

(-00,-1)55,+OO)

因为y=炉—4x-5在(5,+8)上单调递增所以/(x)=lg(——4x-5)在(5,+co)上单

调递增

所以aN5故选：D

【练2】

【答案】A

【解析】由2—x>。，得到xv2,令f=2—x,则r=2-x在（-%2）上递减,而

>Tog/在（0,物）上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到

2

/（元）=log』（2-x）在（—吗2）上递增，故选：A

2

【例3】

【答案】A

2।2—x>0

【解析】函数“九）=仄——Tog2。的定义域满足:解得0v》v2.

'2-xx〉0

故选：A.

【练3】

【答案】C

【例4】

【答案】A

313

【解析】=log20-3<log21=0,o</?=0,3'<0.3°=l,c=2>2,--.«<^<c,

故选：A

【练4】

【答案】C

3

【解析】V9>8,.\3>2|,^lOg23>log222=-^从而有

3_19,

a=log49=log23>—=c>l>2=b,

故选：C

【例5】

(5、

【答案】

I4；

【解析】由/(x)=10g(125X在(。,+°°)单调递减，因为

logo.25(%-1)>1=log0250.25,

所以［丁，解得，1<》<，即解集为I".故答案为:

x-l<0.254V4JV4J

【练5】

【答案】C

【解析】由于函数“=疗&+》在［°，+8)上为增函数，

2

所以，函数/(X)=lOg2020(Vx+1+x)在区间［0,+<»)上为增函数,

由于函数y=/(x)为R上的偶函数，由y(l-2x)</•⑵可得

/(|l-2x|)</(2),

13

|1—2x|<2,可得一2<2x—1<2,角窣得一

因此，关于X的不等式“1-2X)</(2)的解集为「；，1］.故选：C.

【例6】

【答案】(4,4)

【解析】令%—3=1,解得％=4,所以"4)=4,所以A的坐标为(4,4),

故答案为：(4,4)

【练6】

【答案】(1,3)

【解析】令2—x=l,无=1,则Al)=21og」+3=3,所以函数令x)过定点

尸(L3).故答案为：(1,3).

【例7】

【答案】B

【解析】作直线y=l,则直线与G,G的交点的横坐标分别为a,b,易知0V

b<a<l.

【练7】

【答案】D

【解析】g(x)=2TT='［〔由指数函数的图象知，将函数y=的图象

向左平移一个单位，即可得到g(x)的图象，从而排除选项A,C；将函数

y=log2X的图象向上平移一个单位，即可得到/(x)=log2X+l的图象，从而排

除选项B,故选D.

【例8】

【答案】(1)3；(2)(-3,3)；(3)偶函数，证明见解析.

【解析】⑴令％=1,则/⑴=1暇4+1暇2=2+1=3

3+x>0/、

(2)由题意:，解得-3<x<3,故定义域为(—3,3)；

(3)函数”尤)为偶函数

证明：对任意工«-3,3),/(-x)=log2(3-x)+log2(3+x)=/(x)

由偶函数的定义可得函数为偶函数

【练8】

【答案】⑴-l<a<l(2)aW-l或心1

【解析】(1”■函数“X)的定义域为2取+1>0,对任意的xeR都成立

则A=4a2-4<0,解得—l<a<l

(2)若函数/(x)的值域为R,则函数y=炉—2ax+l的值域包含(0,+g)

则A=4〃—420,解得aW-1或心1

练习答案

1.【答案】A

【考点】反函数

x

【解析】函数y-10的反函数为/(%)=log10x=Igx

y(io)=igio=i

故答案为：A

【分析】由反函数的定义求出函数f(x)的解析式，再把x=10代入计算出结果即

可。

2.【答案】B

【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点

【解析】；a=log[=1唯2>叫38=；|'ln2>InVe=

1,

-c<a,c<b

11log2^io11log2ei

,一="i—"i—lo§2,—=--=----=1502pC

alogi|log21，匕ln2log22

11

•••log23>log2e,即故a<b

综上，cVa<b

故答案为：B

【分析】可得出a=logG=log32>log3百=},5-1=E<i,ln2>

322\52

11log1

lnV?=1,然后即可得出。<。,。<匕且5=输=哉=1。823,3

警|=log2e,得a<b,得出a,b,c的大小关系.

3.【答案】B

【考点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】解：因为奇函数/(%)在R上是减函数.

27Q

若a=/(log24.6)，b=-/(log2-)=/(-log2-)=/(log2-),c=

-/(-2°-9)=/(209)

09

Vlog24.6>log2|>2>2-，

09

.../(log24.6)</(log4)</(2)，

即c>b>a.

故答案为：B.

【分析】首先由对数的运算性质整理结合对数函数的单调性即可比较出a与b

的大小关系，再由奇函数的性质结合指数函数的性质即可得出c的取值范围，

由此得到答案。

4.【答案】A

【考点】对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点

【解析】因为a=log2416=log2Vg4=>鲁=log54=b，c=

=肾=1°g2515=log5V15<b=log54，

故a〉b〉c,

故答案为：A.

【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简，再由对数函数的单调性即可比

较出答案。

5.【答案】［3,+8)

【考点】反函数

【解析】函数/(%)=1+10g2x(x>4)的值域为［3,+oo),反函数的定义域是原

函数的值域，

故其反函数的定义域为［3,+oo).

故答案为：［3,+oo)

【分析】根据原函数与反函数的关系，直接求原函数的值域，即可得到反函数

的定义域。

6.【答案】log23

【考点】反函数

【解析】解：：函数/(%)的图象与函数g(%)=2x的图象关于直线y=%

对称，

，函数/(%)与函数g(%)=2X互为反函数，

/(%)=log2x,/(3)=log23.

故答案为：10g23.

【分析】由函数/(%)的图象与函数g(x)=2》的图象关于直线y=%对

称，可得函数/(%)与

函数g(%)=2x互为反函数，求出函数的解析式，进而算出/(3)的值。

7.【答案】(1,1)

【考点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】在函数y-logax+l(a>0且aA1)的解析式中，令％=1,则

y=logal+1=1,

因此，函数y=logax+l(a>0且aH1)的图象恒过定点的坐标是(1,1).

故答案为：(1,1).

【分析】将％=1代入函数解析式，求出y的值，即可得出原函数图像所过定

点的坐标。

8.【答案】(2,1)

【考点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】令2%—3=1,则％=2,/(2)=1,即/(%)图象过定点

(2,1).

故答案为：(2,1)

【分析】根据对数函数的性质求出P的坐标即可.

9.【答案】⑴解：•.♦已知/(%)=loga^J会>0,即=<0，解得

A.—X1~XX—1

-1<X<1，故f(x)的定义域为(-1,1)

(2)解：：f(x)的定义域关于原点对称，/(-%)=log=-log7^=

a1+Xai—x

-/(%)，故函数/(%)是奇函数.

(3)解：由/(%)>0可得手>1,即三<0，解得0<%<1,故求使

1—XX—1

/(%)>0的％的取值范围是(0,1).

【考点】函数奇偶性的判断，对数函数的定义域，其他不等式的解法

【解析】(1)根据对数的性质即真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定

义域。

(2)利用函数解析式可求得f(-x)=-f(x),进而判断出函数为奇函数.

(3)根据当a>l时，f(x)在定义域内是增函数，由此可推断出f(x)>0,进而可知

产>1,求解出x的范围即可。

1-X

10.【答案】(1)解：A-[x|0<x<3},B—(x\x>2],CRB—{x\x<

2},(CRB)U^l