初中数学知识要点

代数复习研究

实数复习研究

实数的有关概念

1.实数的分类

声理数＜

实数J、

〔无理数Y

2.数轴:规定了、、的直线叫做数轴.数轴上的点与

实数成关系，即每一个实数都可以用来表示.反

之,都表示一个实数.

3.相反数:只有不同的两个数叫做互为相反数.如果。与b互为相反数,

则，在数轴上a与b分别在的两旁，并且相等.

相反数等于本身的数有.

4.绝对值:一个正数的绝对值是，一个负数的绝对值是，零的绝对

值是—.在数轴上一个数的绝对值就是表示这个数的点与的距离.任何一

个数的绝对值都是.绝对值等于本身的数是.

5.倒数:的两个数叫做互为倒数.没有倒数.倒数等于本身的

数有.

6.平方根、立方根:若炉=/则x叫做。的.正数a的叫做a

的算术平方根.一个正数的平方根有，它们互为，零的平方根是

，一个负数平方根;一个正数的算术平方根有个.

若炉=凡则》叫做。的.

平方根等于本身的数有，算术平方根等于本身的数有

，立方根等于本身的数有.

7.近似数与有效数字:一个近似数，从数字起，到需要精确的

数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.有效数字越，近似数就

越精确.

8.三种常见的非负数：

①实数的绝对值回0

②实数的平方出o

③算术平方根八0((70)

非负数具有如下性质：

①若干个非负数的和、积、商(除数不为零)仍是;

②若干个非负数之和为零,则每一个非负数必为;

③一个非负数不大于零时，这个非负数必为

9.实数的大小比较

①数轴上的点表示的数，右边的总比左边的.

②两个负数绝对值越大，数越.

③两个正数，平方越大，数越.

二实数的运算

1.有理数的运算法则

加法法则:同号两数相加,.

异号两数相加,.

互为相反数的两数相加,.

减法法则:减去一个数，等于.

乘法法则:两数相乘,.

几个不为0的数相乘,.

除法法则：除以一•个数，等于.

两数相除,.

募的运算法则：

am-an—;(am)n=;(ab)n—.

2.用字母表示有理数的运算律：

①加法交换律:；

②加法结合律:；

③乘法交换律:；

④乘法结合律:；

⑤乘法分配律:.

有理数的运算法则和运算律对实数同样适用.

3.实数的混合运算顺序：

先算，再算，最后算.如果有括号，就先算

.同级运算应

整式、分式与根式复习研究

三整式及其运算

1.单项式:只含有和的乘积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字

母也是.

2.多项式:几个的和叫做多项式.

3.同类项的概念

____________________________________________叫做同类项.

概念中所指的两个相同是指

(1)；(2).几个常数项也是.

合并同类项的法则是____________________________________________

4.整式的运算

(1)整式的加减其实质就是.

(2)籍的运算法则

①同底数的募相乘；

②募的乘方；

③积的乘方；

④同底数的募相除.

写成字母形式应该分别是

(3)整式乘法中应用最广泛的是以下几个乘法公式：

平方差公式(a+b)(a—b)=；

完全平方公式(a±b)2=;

以及公式(x+a)(x+Z?)=;

四因式分解

1.因式分解:把一个多项式化成几个的乘积形式.

2.因式分解的基本方法有：

(1)提取公因式法；

(2)；

平方差公式出一〃=；

完全平方公式出±2ab+b2=;

以及公式x2+(a+b)x+ab=;

*(3)等.

3.因式分解的注意要点:

(1)按分解方法循序渐进(一般步骤)；

(2)因式分解要分解到不能再分解为止；

(3)考试时可以考虑多种方法的综合运用；

(4)因式分解的结果是否正确可以用整式乘法进行检验；

(5)因式分解不加说明，都指的是在有理数范围内分解.

五分式及其运算

1.分式:对于整式A、B,A+B可以写成楙的形式，当—中含有字母且

A

时，一叫做分式.

B

A

⑴对于分式/，当时，分式没有意义；

(2)对于分式/，当吐分式值为0；

A

(3)对于分式/，当时,分式的值大于0.

2.分式的基本性质：

A=AM=A±M(乂为不等于。的整式)

BBMB+M

(1)符号法则：-=—,—=—=

b—b—bbb

(2)约分:根据分式的基本性质，把分式的分子和分母的约去,叫做约

分.

(3)通分把几个异分母的分式利用分式的基本性质化成的分式，叫

做通分.

(4)最简分式是指.

3.分式的运算：

(1)分式的加减法：

a.ca.c

—i—=——±——=

bbbd

(2)分式的乘除法:

(3)分式的乘方:

(n为正整数)

分式化简或运算的结果,一般都要化成或整式.

六二次根式及其运算

1.形如后的式子(位0)叫做.4a(位0)的值是一个非负数.

2.最简二次根式应该具备两个条件：

(2)；(2).

3.同类二次根式:几个二次根式化成后，如果相

同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

4.二次根式的主要性质

(1)(右尸=(a>0);

(2)—\a\—■

(3)4ab=(a>0,Z?>0);

(4)、巴=(a>0,b>0).

5.二次根式的运算：

(1)加减法:二次根式的加减,实质是合并同类二次根式.

(2)乘除法：/•VF=碗(a>0,b>0);

@=适(a>0,b>0).

二次根式的化简或运算，最终的结果都要化成最简二次根式或整式.

6.分母有理化：

(1)定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

(2)方法:分子分母都乘以分母的有理化因式.

(3)互为有理化因式:两个二次根式相乘，结果不含二次根式，这两个二次根式叫

做互为有理化因式.

&与&;(a+4b)与(。-4b);(Vx+y[y)与(6—6)互为有理化因式.

七指数概念及其运算

1.零指数塞和负整数指数嘉

(1)零指数：/=1(存0).即任何的数的零次嘉都等于.

(2)负整数指数。邛=工3刈足为正整数).即任何_________的数的一P次

Z7P

易,等于这个数的P次越的.

也可以看成户=d)«a#),p为正整数)，即底数变，同时指数变.

a

2.科学记数法

(1)一个绝对值大于10的数可以记成axion的形式，其中I'Mvio.n为正整数.

⑵一个绝对值小于10的数可以记成"10力的形式淇中iWMvio,n为正整数.

(3)一个绝对值介于1到10之间的数可以记成axio。的形式，其中1<|«|<10.

八一次方程(组)及其解法

1.等式的性质：

①等式两边都加上(或减去)，所得的结果仍然是；

②等式两边都乘以，所得的结果仍然是—.

③等式两边都除以，所得的结果仍然是—.

2.含有的等式叫做方程.

3.方程的解是(一元方程的解也叫做根).

4.，叫做解方程.

5.一元一次方程:只含有一个，且未知数的次数是的整式方程叫做

一元一次方程.

6.一元一次方程的一般形式.

7.解一元一次方程的一般步骤是：

①:②®；®怎.

8.几(两)个含有两个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方

程，叫做二元一次方程组.

9.二元一次方程的一般形式是：

[0.方程组的解是.

11.求解方程及方程组的依据是.

12.解二元一次方程组的基本思想是化归的思想，通过将其转化为一元

一次方程来解，常用方法是和.

九一元一次不等式(组)及其解法

1.不等式的基本性质

(1)若。>仇见1a±c>b±c.

nb

(2)右a>b,c0,贝Uacbe.——.

cc

nb

(3)右a>b,c0,见Iacbe.——.

cc

2.和解一元一次方程类似,解一元一次不等式一般步骤也有：

①:②®；®怎.

3.在数轴上表示不等式的解集时要注意空心圆圈和实心圆点的不同意义.

4.不等式组的解集是不等式组中每个不等式的解集的，准确地写出

不等式组的解集的有效方法是利用.

十一元二次方程及其解法

1.一元二次方程的一般形式为(a0),其中二次项系

数为，一次项系数为，常数项为.

2.任何△0的一元二次方程ax2+bx+c=0(q/))都可以用求根公式求得了

3.一元二次方程的一般解法有：

①:②:③:④求根公式法.

4.在实数范围内分解二次三项式。炉+以+(?(<#0)的因式,当4N0时，设

ax2jrbx-\-c—Q的,两根为修、了2,则ax2-\-bx-\-c—a(%—)(%_).

十一一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(存0)的根的情况由判别式△=来判定.

(1)ZXAOo方程有两个不相等的实数根.

(2)A=0<^.

(3)ZXVOo.

3.判别式△的应用应分为

(1)已知一元二次方程或一元二次方程中字母系数的范围判定方程根的情况.

(2)已知一元二次方程根的情况来确定字母系数的范围或满足的条件.

十二一一元二次方程根与系数的关系

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)如果它有两个根片,％2,则

X]+x2~,"X2=.

2.以Xi,x2两个实数为根的一元二次方程是.

3.在一元二次方程a%2+bx+c=0(a/))中

①有一个根为0,则c=；

②有一个根为1,见Ia+b+c=；

③有一个根为一1,则a~b+c—;

④若两根互为相反数，则b=，且b2~4ac;

⑤若两根互为倒数，则c=，且b2~4ac.

十三分式方程

1.里含有的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的基本方法是通过，将分式方程转化为求解.特殊

形式的分式方程可采用换元法.

3.分式方程转化为整式方程的过程中有可能产生—，因此，解分式方程必须注

7®*_______•

通版的方法,可以把解出的整式方程的根只代入原分式方程的

中去检验.

十四列方程(组)解应用题

1.列方程(组)解应用题的一般步骤是：

(1)认真审题:准确理解名词术语的含义，区分问题类型,分清已知量与未知量

及其等量关系.

八(2)恰当设元:选择关联最多的一个或几个量设为未知数，根据已知量与未知

量的关系列代数式.

(3)列方程(组):根据等量关系列出方程(组).

(4)求解方程(组):求出未知数的值.

(5)检验作答:检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.

2.常见问题类型：

(1)和、差、倍、分问题

对于和差问题，注意“多”、“少”、“大”、叼、”的含义，弄清谁比谁大，可按

“大一小=差”或“小+差=大”的形式转化为相等关系，不要盲目地加减。

对于倍分问题，要抓住问题中谁是谁的倍数，分清“甲是乙的两倍”和“甲比

乙多两倍''的含义等.

两数差=较大数一较小数

较大数=较小数X倍数土增(减)数

(2)等积变形问题

这类问题的前提条件是：只改变物体的形状而不改变物体的体积.

变形前的体积=变形后的体积

⑶增降率问题

增加(减少)数量,

增长(降低)率=

原来数量(基数)

(4)平均增降率问题

基数x(l±平均增降率)n=n次增降后到达数

⑸银行储蓄

把钱存入银行叫储蓄，存入的钱叫本金，经过约定的期限，银行将付给除本金

外的一笔钱,这笔钱叫利息，利息+本金xlOO%=利率.储蓄的利率由国家规定，所得

的利息要缴20%的利息税.

本金X利率X期数=利息

利息X应纳税率=应纳税额

本金+本金x利率x期数x(l—20%)=实得本利和

(6)利润问题基本概念

利润问题的基本量是商品利润、商品利润率、商品售价、商品进价.

成本价(进价或本金)：商家取得某一商品所需要的付出的金额。

标价：商家出售商品时所标明的价格。

售价：指商品成交时的实际价格；

利润：指商品售价与进价之间的差额，即：

商品利润=商品售价一商品进价；

利润率：指利润与成本的比率，即：

商品利润

xl00%=商品利润率

商品进价

(7)行程问题

在匀速运动的前提下，路程⑶速度⑺时间⑺之间的基本关系是：

路程=速度X时间即5=Vt

由这一公式你还能说出它的两个变形公式吗？

行程问题中有相遇问题、追及问题、环行问题、顺逆流问题等.

在分析问题时，要注意出发时间、方向之间的关系，可以利用列表或画线段

示意图分析题意.

(8)工程问题

工程问题主要有：工作效率、工作时间、工作量

这些数量之间的等量：

工作效率x工作时间=工作量

各队合作工作效率=各队工作效率之和

全部工作量之和=各队工作量之和

(9)数字问题

(10)劳力调配问题

十五函数及其图象知识要点

I变量与函数

1.在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做—，还有一种量，它的取值始

终保持不变，我们称之为.

2.一般地,如果在i个变化过程中，有两个变量x和s对于x的每一个值,y都有

的值与之对应，我们就说x是,y是，此时也称y是x的函数.

3.函数的表示方法有三种:①;②;③.

4.在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，给定自变量的一个值,

就可以求出对应的.

5.某火车以120千米/时的速度匀速地由甲地开往乙地.火车行驶的路程⑸与行

驶时间(t)之间的函数关系式是淇中—是自变量,是因变量，自

变量的取值范围是.

6.函数解析式是数学式子的自变量取值范围：

①当函数解析式是只含有一个自变量的整式时,；

②当函数解析式是分式时，；

③当函数解析式是二次根式时,；

④实际问题的函数解析式中自变量取值范围

II.平面直角坐标系及函数的图象

1.在平面上画两条原点重合、且具有相同长度单位的数轴构成平

面直角坐标系，其中水平的一条数轴是或，取向为正方向;铅直

的数轴叫或，取向为正方向;两条数轴的交点叫做.

2.在平面直角坐标系中，任意一点的位置都可以用表示，这样的

叫做点的坐标.

3.平面直角坐标系中的点和-----------对应.

4.坐标系各象限内点的坐标的符号规律：

若点P(x,y)在第一象限，则；

若点P(x,y)在第二象限，则；

若点P(x,y)在第三象限，则;

若点P(x,y)在第四象限，则;

若x<0,y<0,则点P(x,y)在第象限；

若x>0,yV0,则点P(x,y)在第象限.

5.x轴上的点的坐标为0,y轴上的点的坐标为0.

6.点Pi(xi,%),点P2(%2,经)，若PR〃x轴，贝I」xi%2,_竺；若PR〃y轴，

贝X1%2,____丝.

7.关于x轴、y轴、原点对称的点横纵坐标的关系：

关于x轴对称的两点，横坐标—，纵坐标；

关于y轴对称的两点，横坐标，纵坐标―；

关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标.

8.在第一、三象限角平分线上，它的横坐标—纵坐标；

在第二、四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标.

9.P(x,y)到y轴的距离是—，到x轴的距离是—.

10.坐标平面内两点/人川e区曲之间的距离!5#?：

右点Pi（x“0）,P2（灼,0）,则PR=；

若点Pl（0,%）,P2（0,竺），则PR=;

若点Pi（a,%）,P?（a,竺），则PR=；

若点P1G1,b）,P2G2,b）,则PR=；

若Pl（Xl,乃），P2（初，竺），贝tlPp2=.

IL描点法画函数图象的一般步骤是:、、.

12.用描点法画函数图象时，点取的越多（越稠密），所画图象越.

13.图象上每一点的坐标代表了函数的一对对应值，它的表示自变量的某

一个值,表示与它对应的函数值.

III.一次函数的图象和性质

1.能用自变量的表示解析式的函数，我们称之为一次函数.

2.一次函数通常表示为的形式，其中晨b是常数次W0.

特别地，当6=0口寸，一次函数（常数左W0）也叫做正比例函数.

3.正比例函数与一次函数的关系是：正比例函数—（用“是”、“不是”填空）

特殊的一次函数，一次函数（用“是"、“不是”、“不一定是"填空）正比

例函数.

4.一个函数若是一次函数,其自变量的最高次数必须是，且一次项系数

5.确定一次函数关系式的方法：

根据题意找出问题中的变量并用字母表示，然后找出自变量和因变量之

间的，结合已知条件进而列出一次函数表达式.

6.一次函数y=4x+b（攵W0）的图象是一条,它必经过点

特别地，正比例函数kW0）的图象是经过的一条直线.

7.画一次函数y=fcc+b（kW0）的图象时，只要确定个点的位置，就可以画出

这条直线.

8.一次函数y—kx+b（kW0）的图象是由正比例函数y=kx（ZWO）的图象沿轴

（b>0）或（b<0）平移得到的一条直线.

9.两个一次函数y=kix+bi,y2=k2x+b2:

①当ki=k2时，函数的图象是两条的直线.

②当kiWk2时，函数的图象是两条的直线.

*③当kik2=—1时，函数的图象是两条互相垂直的直线.

10.对于一次函数y=fcr+b（左W0）：

①当k>0,b>0时，函数图象过象限；

②当k>0,b<0时，函数图象过象限；

③当k>O,b=O时，函数图象过象限；

④当k<0,b>0时，函数图象过象限；

⑤当k<0,b<0时，函数图象过象限；

⑥当k<O,b=O口寸，函数图象过象限.

⑦当k>o时,y随*的增大而，这时函数的图象从左到右；

⑧当k<0时随x的增大而，这时函数的图象从左到右.

11.先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程或方

程组，求出未知系数,从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.

12.用待定系数法确定一次函数的关系式的一般步骤为：

一设、二列、三解、四还原

①设一次函数的一般形式产质+b(kWO);

②根据已知条件列出关于k,b的二元一次方程组；

③解这个方程组，求出k,b;

④将已经求出的k,b的值代入解析式.

13.确定正比例函数y=fcr(kWO)的表达式，需要个条件.

14.已知在y=kx中，当x=2时，y=4,则该函数的表达式为

15.若函数y=fcx+b的图象经过点(2,0)和(0,—3),则函数的解析式为

IV.反比例函数的图象和性质

1.一般地，形如(%是常数，左#0)的函数叫做反比例函数.

2.反比例函数的自变量x的取值范围是.

3.若y=3/,则m—.

2

4.在y=—中，k=.

5.反比例函数y=Hx(kWO)的图象通常称为.

6.反比例函数y=k/x(ZWO)有下列性质：

①当%>0时，函数的图象在第一、—象限，在每个象限内,曲线从左向右

下降,也就是在每个象限内y随x的增大而;

②当k<0时，函数的图象在第、象限,在每个象限内，曲线从左向

右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而.

7.反比例函数y=k/x/WO)的图象与x轴、y轴都交点(填“有”或“没

有").

8.叙述反比例函数的增减性必须指明“在哪个象限内”或“哪个分支”或“x0

时”或“%0时”.

V.二次函数的图象与性质

1.二次函数的一般式是，它的图象是一条，其顶点坐标

是，对称轴是直线.

1)当«>0时，抛物线开口，且当x=时，函数有最—值是,

在对称轴左侧，即当x时,y随x的增大而;在对称轴右侧，即当x

时,y随x的增大而.

2)当a—0时，抛物线开口向下，且当x=时，函数有最值是,

在对称轴左侧，即当x时,y随x的增大而;在对称轴右侧，即当x

时,y随x的增大而.

2.二次函数y=ax*2+bx+c,经过配方，可以写成y=a(x—h)2+k的形式，这里

h=,k=.

3.在直角坐标系中，抛物线y=«x2+to+c上的特殊点：

1)顶点D()，当b=0时,抛物线顶点在y轴上是()

2)与y轴交点C()

3)若与x轴有两个交点A、B,则A(xi,0),B(X2，0),

这里xi,X2是方程a%2+bx+c=0(a加)的实根.

aaa\

4.当对称轴在y轴右侧且平行于y轴时，a与b号；当对称轴在y轴左侧

且平行于y轴时，a与b号.

5.抛物线尸（7炉与抛物线y=ax2+Z?x+c的关系是：形状，不同。

,向右（0>0）或向左1V0）平移同个单位

_'向左（/2>0）或向右（>>0）平移网个单位

向上（左>0）或向下（左V0）平移网个单位

抛物线y=a(x-h)2向下（4>0）或向上（左<0）平移句个单位

抛物线y=a（x-h）2+k

或尸以2-y=a（x±m）2±n（平移口诀：左加右减，上加下减）

6.二次函数y=ax2+bx+c（中0）中，a、b、c的几何意义

决定图象的

2）c决定图象与的交点的_________坐标位置，当c=0时抛物线过

点;抛物线交y轴于负半轴，则c0

3）a、b共同决定对称轴，当a、b同号时，对称轴与x轴的相交，当

时，对称轴与x轴的相交,b=0时，对称轴为.

4）A=Z?2-4«c,当时，抛物线与x轴有两个交点；当△=（）时，抛物

线与x轴,又说；△<0时，抛物线与x轴交点个数

为______

7.四个二次（二次函数、二次三项式、二次方程、二次不等式）之间的联系：

二次函数y=ax2+bx+c（。和）右边是关于x的二次三项式ax2+bx+c；当y=0

时，即为一元二次方程ax2+b%+c=0（a加）；当月0时，即为一元二次不等式

ax2+bx+c>0（。知）...@^4ax2+bx+c<0（存0）…②

这四个二次之间的联系，与判别式△=〃-Aac的符号密不可分，现以«>0为

例，揭示“四个二次”之间的内在联系：

当a>0时

□△>0o抛物线与x轴有两个交点台二次三项式ax2+bx+c=Q（a/））的值

可正、可负、可零今方程ax2+bx+c=0（a/））有相异两实根o不等式①的解集

在两根之外，不等式②的解集在两根之间。

2）Z\=0o抛物线与x轴只有一个交点o二次三项式的值非负o方程

h

以2+/+c=0（存0）有两等根o不等式①的解集是xW—■，不等式②的解集为空

2a

集.

3）Z\>0o抛物线与x轴无交点台二次三项式的值恒正o方程ax2+bx+c=0

（。刈）无实根o不等式①的解集是全体实数，不等式②的解集是空集.

统计与概率

（一）数据的收集、整理、描述

1.为了一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查.为一特定目的而

对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.是通过调查总体的方式来收集

数据的,是通过调查样本的方式来收集数据的.

2.最常用的统计图有条形图、扇形图、折线图、直方图。这四种统计图各具特

点：可以直观地反映出数据的数量特征；可以直观地反

映出各部分数量在总量中所占的份额;可以直观地反映出数据的数

量变化规律;可以直观地反映出数据的分布规律.

3.所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体，从

总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.一个样本包含的个体的数量

叫做这个样本的容量.

4.在记录数据时,每个对象出现的次数，叫做频数.频数与数据总数的比值，叫做

数据的频率.

(二)数据的分析

1.在一组数据中，用数据的总和除以数据的数据的总个数就得到这组数据的平

均数.计算公式为：

如果有n个数：...,Xn，那么于='(%i+x2+....+%n),叫做这n个数

n

的平均数.

2.在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数据的权重，每个数

乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数.计算公式为：x

——(f\Xi+fXi+.......+fnXn).

n2

3.在一组数据中，数据叫做这组数据的众数.

4.将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据(或最中间两

个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

5.一组数据中的减去所得的差称为极差.

6.用“先平均,再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果表示一组数据偏

离平均值的情况，这个结果通常称为叫做方差.

计算公式为：S2=-：(X!-X)2+(X-X)2+……+(x-x)2].

n2n

(三)统计与概率

1.无需通过试验就能够预先确定它们在每一次试验中都一定会发生的事件称

为事件.在每一次试验中都一定的事件称为不可能事件.

事件和事件统称为确定事件.

2.无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件称为事件.

3.表示一个事件发生的的这个数，叫做该事件的概率.

必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件尸;不可能事件发生的概率

为0,记作P(不可能事件)=;如果A为随机事件，那么0<P(A)<l.

4.概率的计算方法有：①法;②法.特别注意用这两种方法求概

率时务必使各种情况出现的机会均等.

5.当试验次数很大时,事件发生的频率稳定在_____附近，因此,我们可以通

过多次试验,用估计事件发生的概率.

6.在用试验方法估计概率的过程中,有些问题会遇到找不到相应的实物或者用

实物进行试验困难很大的情况，用模拟实验来估计该事件发生的概率.

几何复习研究

一立体图形

1.视图:从正面、上面和侧面(左面或右面)三个不同的方向看一个物体，然后

描绘三张所看到的图，即视图。

2.正视图:把从物体的正面看到的图形，叫做正视图；

3.侧视图:把从物体的侧面看到的图形，叫做侧视图；

4.俯视图:把从物体的上面看到的图形，叫做俯视图。

依观看方向不同，侧视图又可以分为左视图、右视图。

5.画三视图的原则：

(1)首先要确定主视图的位置，然后在主视图的右面画出，主视图的

画出俯视图.

(2)虚实:在画图时,看得见的轮廓线画成，看不见的轮廓线画成.

(3)大小:视图要长对正,视图要高平齐，

视图要宽相等.

注意：所看既所画。

①正视图是长方形的立体图形有.

②正视图和左视图都是长方形的立体图形有.

③正视图和左视图都是长方形并且俯视图是长方形、圆或三角形的立体图形

有.

多面体是由平面图形围成的立体图形，沿着多面体的棱将它剪开,可以把多

面体变成一个平面图形.

正方体的平面展开图规律：“最长两边走，田凹不能有。”

6.投影:物体在光线的照射下，在地面或墙壁上留下的影子.

(1)平行投影:光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称

为平行投影.

平行投影的特点:.

(2)中心投影:若一束光线是从发出的，这样的光线形成的投

影称为中心投影.

中心投影的特点：

①等高物体垂直地面放置时，离点光源近的物体影子—.

②等长物体平行地面放置时，离点光源越近,影子越—.

③点光源、、三点在同一直线上.

(3)视点、视线和盲区

人看物体时,的位置称为视点，由视点发出的光线称为

,的地方称为盲区.

二平面图形

(一)一些定义

L线段、射线、直线的区别与联系，表示方法.

线段和射线都是的一部分,线段有个端点，射线有个端点.

2.线段中点的定义,两点间的距离，线段长短的比较方法.

3.角、平角、周角、余角、补角、角平分线、对顶角的定义.

角的单位换算是进制,1度=分,1分=秒.

如果NA+NB=90°，那么NA、NB互为;如果NA+NB=180°，那么

NA、NB互为，反之亦然.

4.垂线、垂线段、点到直线的距离.

5.识别同位角、内错角、同旁内角.

6.平行线:在同一平面内，两条不重合的直线叫做平行线.

7.命题、命题的构成、真命题、假命题

命题：判断一件事情的句子叫做命题.

命题的构成：

每一个命题都是由题设和结论两部分组成，即每一个命题都可以写成“如

果.•…，那么.…”的形式,“如果”后的语句是“题设”,“那么”后的语句是“结论”.

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的一些命题叫做真命题.

如果题设成立时，不能保证一定成立，它们都是错误的命题，像这样的命题叫

做假命题.

8.定理、公里、证明、逆命题、逆定理

经过推理证实是正确的，这样的真命题叫做定理.

有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并作为判定其他命

题真假的根据，这样的真命题叫做公理.

除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断.这个推理的过

程叫做证明.

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题

的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫

做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定

理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.

(-)一些事实

1.两点确定.

2.两点之间最短.

3.两条直线相交，只有交点.

4.同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.

5.对顶角相等.(对顶角相等的根据是什么?)

6.在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

7.垂线段最短.

8.平行线的性质、判定如下表：

性质判定

(1)两直线平行洞位角______,(1)两直线被第三直线所截,若同位

内错角______，同旁内角_______;角______或内错角______或同旁内

(2)两平行线间的距离______，夹在平角_____，则这两直线平行；

行间的_______相等；(2)若a〃c,b〃c则______;

(3)过平行线外一点可以____直线(3)若a_Lc,b_Lc则______.

与这条直线平行

(三)三角形

1.什么叫三角形?三角形的边、顶点、角、外角?

2.三角形的分类

(1)按边分类

不等边三角形

三角形底边和腰不等的等腰三角形

(2)按角分类

r直角三角形

三角形jr锐角三角形

3.三角形中的主要线段

(1)角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与

交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

(2)中线:在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.

(3)高线:从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角

形的高线，简称三角形的高.

(4)三角形的中位线平行于并且等于.

4.三角形的内角和定理

5.三角形的外角的性质

(1)三角形的一•个外角等于.

(2)三角形的一个外角大于.

6.三角形的三边关系：两边之差(第三边(两边之和

7.已知三条线段，怎样判断它们能否组成三角形

8.三角形的心:三角形的交点是三角形的内心，它到距离

相等;三角形的外心是的交点，它到三角形的距离相等，

三角形的重心是的交点，它将三角形的中线分成两线段的比例

关系是；三角形的垂心是的交点.

(四)三角形的全等

1.叫做全等三角形，全等三角形的对应边，对应角.

2.三角形全等的判定公理,用字母简写为,,，推理为.对

于直角三角形全等的判定除了以上方法外，还有公理.但SSA,或AAA,或

面积相等，或周长相等，这两个三角形全等.

3.全等三角形对应边上的中线—，对应边上的高—，对应角的平分线.

(五)等腰三角形的性质和判定

1.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两底角.(等边对等角)

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

(3)等边三角形各角相等，并且每个角都等于.

2.等腰(边)三角形的判定

(1)有两个角的三角形是等腰三角形.(等角对等边)

(2)三边的三角形是等边三角形.

(3)三角的三角形是等边三角形.

(4)有一个角为60。的是等边三角形.

(六)直角三角形的性质和判定

1.直角三角形的性质

(1)直角三角形两锐角.

(2)直角三角形中,30。角所对的直角边等于(及其逆定理).

(3)直角三角形斜边上的中线.

(4)勾股定理：若心c分别为直角三角形的两条直角边和斜边，则有

a2+b2—c2.

2.直角三角形的判定

(1)有两锐角是直角三角形.

(2)勾股定理的逆定理：若。、b、c分别为三角形的三边，且/+/=02,

则该三角形是直角三角形，且c边所对的角是直角.

(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形,

且这边所对的角是直角.

(七)多边形

1.多边形的定义.

在平面内，由九条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的封闭图形叫做

〃边形，又称为多边形.

多边形的任何一边向两方延长，如果其它各边都在延长所得直线的同旁，这样

的多边形叫做凸多边形，它的每一个内角均小于180°.

2.正多边形

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.

3.n边形从一个顶点出发有条对角线，这些对角线把n边形分成

个三角形,n边形一共有条对角线.

4.n边形的内角和为；多边形的外角和为.

5.用同一种正多边形拼地板期B几种正多边形能铺满地面？

正三角形、正方形、正六边形能铺满平面;而正五边形、正八边形不能铺满

平面.

同一种正n边形的瓷砖能否铺满地面而无缝隙的关键是：

2)」80,卜=3600中的左有正整数解.

n

6.用两种正多边形组合拼地板,哪两种正多边形组合能铺满地面？

用正三角形和正方形;正三角形和正六边形;正四边形和正八边形;正三角形和正

十二边形能铺满地面.

7.几种正多边形铺满地面的理由是什么？

“围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角之和为一个圆周”的条件,也不一

定能铺满地面.

如:正五边形和正十边形的组合尽管能够围绕一点拼成一个周角,但不能扩展到

整个平面，所以正五边形和正十边形结合不能铺满地面.

(八)平行四边形

L平行四边形的定义:叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质：

①对边；②对角；③邻角:④对角线.

3.平行四边形的判定：

①两组对边分别的四边形是平行四边形；

②两组对角分别的四边形是平行四边形;

③一组对边