【阶矩阵的线性变换及其应用探究7700字（论文）】

n阶矩阵的线性变换及其应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u1.绪论 11.1矩阵的历史背景，以及矩阵的线性变换的意义 11.2国内外研究情况 22.矩阵的线性变换 32.1矩阵 32.2矩阵的线性变换 52.3恒等变换矩阵(单位矩阵) 92.4伸压变换矩阵 102.5旋转变换矩阵 103.矩阵的线性变换的应用 113.1线性变换在中学教学中的背景 113.2矩阵的线性变换在中学教学中的可行性 123.3实例 144.结束语 18参考文献 19摘要：矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数的核心.矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，其理论具有深刻的意义，在实际应用中各个领域发挥着重要的地位，也是一种良好的变量代换.合理运用既优化了解题过程，提高了解题速度，也增强了解题的灵活性.本文将从矩阵的线性变换，以及线性变换所对应的变换矩阵的几何形式，在相应变换下给出实例，从而可以帮助学生建立对线性代数具体形象的理解，使其从根本上理解矩阵的线性变换.关键词：矩阵；矩阵的线性变换；变换矩阵；中国分类号：1.绪论1.1矩阵的历史背景，以及矩阵的线性变换的意义直至目前，国内《高等代数》教材也都比比皆是，在概括矩阵理论时，很多编著者就把矩阵描述为“数排成的表”.而莫里斯·克莱因在《古今数学思想》中讲述，“矩阵”这个词首先是由Sylvester使用的，这是发生在他实际上希望引用数的矩形阵列而又不能再使用行列式这个词的时候”[1]，说明矩阵这一概念应描述为“数的矩形阵列”.这一描述比“数排成的表”更为恰当.对于矩阵的起源，莫里斯·克莱因在其著作《古今数学思想》中同样作了解释证明，就此他引用了大家公认的“矩阵”创始人凯莱的原话“我绝不是通过四元数而获得矩阵概念的，它或是从行列式的概念而来，或者是作为方程组的方便的方法而来的”.由此可见，矩阵这一概念可能是起源于行列式或方程组，行列式和方程组理论的发展共同推动矩阵理论的发展.[2]线性代数主要是研究维向量空间、线性变换、矩阵、行列式等，这些知识在工程与应用数学上的应用广泛，所以瑞典数学家LarsGarding在名著EncounterwithMathematics《数学概观》中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多”.[3]《线性代数》课本上对矩阵的定义仅是一句：矩阵是由个数构成的行列的数表，致使众多学子对于这个数表的妙处无从了解，很多进入大学阶段的大学生，都是到了大二、大三学习了一些和线性代数相关的后续课程之后，对矩阵才能够逐步深入理解和应用的.[4]线性变换在初等数学的应用中是极其重要的，我们在解决许多数学问题都需要运用到它，对培养学生的计算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力等有着重要的作用，对提高学生的思维品质以及分析问题和解决问题的能力有很大帮助[5].然而，由于线性代数课程本身具有高度的逻辑性及抽象性，大多数学生普遍认为线性变换理论知识抽象难懂，难以掌握，而如果教师在授课过程当中，利用几何图形引导学生，清晰、直观地理解线性变换理论知识中的概念和性质，那么，不仅能够顺利达到教学目的，还可以帮助学生加深对数学知识的理解和掌握，帮助学生克服在学习线性代数时遇到的重重困难[6].因此，本文将通过线性变换下的矩阵表示，以及线性变换所对应的变换矩阵的形式，在相应变换下给出实例，以此来帮助学生提高学习效率，激发学生的兴趣，使学生可以从理论到图形的角度思考、理解并掌握线性变换理论知识中的基本概念和几何本质，建立对线性变换的课程有感性的认识，从而具备理解抽象及复杂矩阵的线性变换的能力.1.2国内外研究情况矩阵这门课不仅是数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此，国内外有许多关于矩阵的研究，英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论.在1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》.自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究，比如在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，介绍了有关于矩阵初等变换的内容在矩阵方程中的应用，并在第四章中提到了Householder变换和Givens旋转[7].同时，美国著名的约翰斯·霍普金斯大学的Roger.Horn和威廉姆和玛丽学院的Charles.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用[8].所以，国内外关于矩阵变换的硏究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献.矩阵理论现已广泛的应用于现代科技的各个领域，也是高等代数中最重要的内容之一.目前矩阵的初等理论性作为高中数学的选修内容，可见矩阵理论在科技发展以及教育教学中的重要地位.因此，研究矩阵的历史发展及其完整的思想背景具有重要的现实意义.众所周知，数学教材是经过在科学性与教育需求相结合的原则指导下反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的思维逻辑机构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，而矩阵学科一直都是各个学科的基本数学工具，近年来有许多关于矩阵变化的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，极大的推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，促进了更多的数学家加入到研究矩阵变换的队伍中，使得矩阵的线性变换知识日渐完善，并应用到更多的领域中去.因此，本文将就矩阵的线性变换中一些常规应用，简单阐述矩阵和矩阵的线性变换的基本概念，从而联系到中学教学中的应用并举出实例.2.矩阵的线性变换2.1矩阵定义2.1.1由个数排成的一个行列的表叫作一个行列（或）矩阵，叫作这个矩阵的元素.定义2.1.2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵实施的下列变换：（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；（3）用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上.[9]定理2.1.3设是一个行列的矩阵：.通等过行初变换后第一种列初等变换能把化为以下形式：行（1）进而化为以下形式：（2）这里的，，，表示矩阵的元素，但在不同位置上的表示的元素不一定相同.证明：若矩阵的元素都等于零，那么已有（1）的形式.设某一不等于零，必要时可以交换矩阵的行和列，可以让这个元素在矩阵的左上角，用乘第一行后再由其余各行分别减去第一行中的适当倍数，即矩阵化为：.若在此矩阵中，除了第一行以外，其余各行的元素都为零，此时已有矩阵（1）的形式.设在矩阵的后行中有一个元素不等于零，把换到第二行第二列的交点的位置上，再用与上面同样的方法可以把化为：.如此方法继续化解下去，最后可以得到一个形如（1）的矩阵.而形如矩阵（1）可以进一步化为形如矩阵（2）是显然的，我们只需要把第一，第二，，第行分别减去第行中的适当的倍数，再由第一，第二，，第行分别减去第行中的适当的倍数等等，最后可以得到一个形如（2）的矩阵.[9]注意这里没有把矩阵直接化为矩阵（2），而是先把它化为矩阵（1），再化为矩阵（2），是因为这样计算程序比较整齐而计算量也比较小.定义2.1.4数域的数与上一个矩阵的乘积指的是矩阵，求数与矩阵乘积的运算叫作数与矩阵的乘法.定义2.1.5两个矩阵矩阵，的和指的是矩阵，求两个矩阵和的运算叫作矩阵的加法.注意：我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加.由定义1定义2，容易推出以下运算规律：;；；；；；;这里，和表示任意矩阵，而和表示中的任意数.定义2.1.6数域上矩阵与矩阵的乘积指的是这样的一个矩阵，[9]这个矩阵的第行第列（）的元素等于的第行的元素与的第列的对应元素的乘积的和：.注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘.[9]2.2矩阵的线性变换定义2.2.1数域上向量空间到自身的一个映射叫做线性变换，若满足：①对于任意，，;②对于任意，.假设对于的每一向量定义，是到的一个映射.我们证明，是一个线性映射.证明:①设，是的任意两个向量，则.②设，，则因此是到的一个映射.定义2.2.2设是数域上的维线性空间的一个基，,基向量的象可由基线性表示：我们把（1）写成矩阵等式的形式其中矩阵称为线性变换在基下的矩阵．定理2.2.3令V是数域上的维向量空间，是的一个线性变换，而是关于的一个基的矩阵是.如果中向量关于这个基的坐标是，而的坐标是，那么.证明：设是数域F上维向量空间，则令是的一个线性变换，取定的一个基考虑中任意一个向量.仍是的一个向量，设（3）在这里如何来计算的坐标，令，（4）.这里，，=1，，，就是关于基的坐标.令.n阶矩阵叫作线性变换关于的矩阵，矩阵的第列的元素就是关于基的坐标.这样我们就取定F上n维向量空间V的每一线性变换，有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应.[9]为了方便计算关于基的坐标，所以把等式（3）写成矩阵形式的等式=（5）设因为是线性变换，所以（6）=.将（5）代入（6）得最后等式说明了关于的坐标所组成的列是.比较等式（5），则满足定理要求.2.3恒等变换矩阵(单位矩阵)定义2.3.1对平面内上的任何一点(向量)或平面图形施以矩阵对应的变换，都变换为其本身.这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵（单位矩阵），恒等换矩阵对应的变换实施的对应变换称为恒等变换[10].定理2.3.2设，若将该图形经过矩阵的变换，则方程仍为证明：设在图形中任取一点，其坐标为，存在矩阵的变换，则即证毕.2.4伸压变换矩阵定义2.4.1对内上的任何一点（向量）或平面图形施以矩阵（其中，是非零正常数）对应的变换伸压变换矩阵对应的变换称为伸压变换[11].定理2.4.2设，若将该图形经过矩阵的变换，则方程变为证明：已知，存在矩阵的变换，不妨设方程为曲线上任意一点，为圆上任意一点，则即证毕.2.5旋转变换矩阵定义2.4.1对平面上的任何一点（向量）或平面图形施以矩阵变换，对应的变换称为旋转变换.=经过绕原点逆时针旋转度角得到的变换公式是，其中我们把角称为旋转角，把点称为旋转中心.旋转变换只改变图形的位置，而形状保持不变，因为图形形状由形状中心和旋转角度决定.特别地，绕定点旋转的变换等于作中心反射变换（见图1图2）.图1旋转变换图2旋转变换定理2.5.2设，若将该图形经过矩阵的变换，则方程变为.证明：在图形中任取一点，设其坐标为，经过矩阵的变换，即所以证毕.3.矩阵的线性变换的应用3.1线性变换在中学教学中的背景根据社会的进步和发展，我国在2003年颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《标准》），选修系列中跟我们介绍了初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、矩阵与变换、数列与差分、风险与决策、开关电路与布尔代数等相关的内容.矩阵与变换是代数学的基本内容，在中学数学教材改革来说，对如何将矩阵的广泛应用内容融入到代数教材和如何进一步用变换的概念来编纂几何教材，用矩阵来表示线性变换可以说是更有效地探索和运用这部分内容[12].矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，许多电子信息、航空航天、数学模型等领域的发展都可以用矩阵的线性变换来表示，可见，矩阵线性变换应用的广泛.一起来看这个变换，由矩阵建立的线性变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵确定的变换，就是构造映射，使平面上的点（向量）变成（对应）点（向量）这种映射的对应法则就是左乘，在这个线性变换中，矩阵称之为变换矩阵，变换矩阵的不同得到的是不同的变换[13].由于线性变换有着广泛的应用，在新课改后，要求高生不仅要学会灵活运用学科基础知识解决问题，还要利用课余时间学习自身兴趣的知识点，让每个人都可以得到全面地发展和锻炼.近些年来，有些国家在中学就讲授部分线性变换的知识，运用变换思想解题方法一直都是中学数学考试对数学解题思想方法考查的一个重要考点，同时也是中学生应当掌握的一种数学解题手段，学习的重点和难点.在《普通高中数学课程标准（实验）》中，通过几何图形的变换，讲述了线性变换的基础知识和基本思想.对于开设这门选修课的目的是希望学生在基本思想上对线性变换有一个初步了解，对将来中学生的学习也是有一定帮助的.3.2矩阵的线性变换在中学教学中的可行性通过一定的学习探索我们知道,在有限维线性空间上取定一个基，则这个基中向量的运算及向量间的关系的讨论可以转化为向量坐标的讨论.同样，取定有限维的一个基，则的线性变换的讨论可转化为其矩阵的讨论.在大学里学习的线性变换与中学数学课程标准里要求的线性变换是有一定的区别的.从它所研究的角度和研究的内容来看，大学的线性变换是把它作为代数的一种运算法则，对线性方程组与线性空间的一种运算，而中学课程标准是把线性变换看作是几何变换的一种表示方法；内容上则是研究代数的运算性质和代数的概念理论，较为抽象，运算量和容量也比较多，而中学课程标准研究的内容是通过线性变换的几何作用，以及实例来探索线性变换的性质和作用，但只限于讨论平面内的变换，从直观上认识线性变换的意义.可以发现，中学开设这门选修课的目的是要求学生了解其基本的数学矩阵与变换思想和概念，当然，也不是说只让学生通过讲故事或读科普读物来学习，而是通过教师传授基本的知识点后，再要求学生练习，从中有所收获.在中学阶段不是训练数学上的一些细致的技巧和方法，而是让学生对线性变换有一个初步了解，形成数学思维，对将来进一步学习和工作有所帮助.在大学教材中的线性变换一般是这样来讲述的，以上内容也叙述过，一般地，把平面内的一个点变成同一个平面内的与它相对应的唯一的一点，不同的点所变成的点不相同，并在且平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换.令是数域上的一个向量空间，到自身的一个线性映射叫作的一个线性变换，并且是一个一映射，换而言之，变换就是从平面内的点的集合到一个平面内的点的集合的一个一一映射.而在中学教材中的线性变换是，一般的，在平面直角坐标系中，把形如（其中为常数）的几何变换叫做线性变换[14].我们可以利用伸缩变换巧解椭圆最值问题[15]，伸缩变换是中学几何中常见的一种线性变换，对椭圆，做伸缩变换，椭圆就变成圆，在这样的变换下任何一对对应多边形的形状虽然发生了改变，但是对应多边形的面积比是一个定值，即变换之前的多边形面积是S，变换后对应的多边形面积为，则有，利用伸缩变换对应多边形的面积比是一个定值的不变性，就可以借助于圆的平面几何性质巧妙地解与椭圆有关的面积最值问题.[16]再看旋转变换在初中几何中的应用，旋转变换是将平面图形绕平面内一定点旋转一个定角，得到一个与原来图形的形状与大小都一样的图形，且点叫做旋转中心，叫做旋转角，特别地，当时，称之为中心对称变换，所以中心对称变换是一种特殊的旋转变换[17].它主要性质有:（1）在旋转变换下,两点之间的距离保持不变；（2）在旋转变换下的两直线的夹角保持不变，且对应直线的夹角等于旋转角[17].3.3实例例1求矩阵解应用定义2.1.6可知.例2求的线性变换：在基下的矩阵.解应用定理2.2.3可知所以在基下的矩阵是.采用矩阵形式的写法为：.例3在正方形中，任取点中的一点，设其坐标为，则恒等变换后坐标为（见图3）.解由题意，应用定理2.3.2可知图3例4圆，施以矩阵变换后，会变换成什么样的曲线？求此曲线的方程？解设所求曲线上任意一点，为圆上任意一点，则由定理2.4.2得所以，化解得，再将其代入得，变形后得到，此曲线为椭圆方程（见图4）.图4伸压变换例5已知三角形三点，，，求三角形绕原点逆时针旋转后得到的图形，并求顶点坐标（见图5）.解由定理2.5.2知=，得到，，图5旋转变换例6若、、是椭圆，上的三点，求三角形面积的最大值.解对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆，此时椭圆的内接三角形就变成圆的内接三角形，而圆的内接三角形以内接正三角形面积为最大，从而三角形面积的最大值是，再回到椭圆中,由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可得:三角形面积的最大值是.例7在三角形中，作为的中点，分别将、延长到点点，使得，过、分别作、的垂线，相交于点.求证:.(全国初中数学联赛题)解如图6:图6延长到，使，连接由，，可得.所以，.又因为，所以四点共圆，且，又由，可知，且，从而有（1）又由于，可知三角形为直角三角形，且，所以（2）由（1），（2）得三角形相似于三角形，且.终上所述，故可见，我们可以利用几何线性变换把几何不等式化为代数不等式，这也是一种解几何不等式题的方法技巧，当我们遇见此类题型的时候，充分利用图形的几何性质，抓住数与形的联系思维，是解题的关键.矩阵的线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广，在中学上也可以解决一些现实的问题，它的理论和方法，与之相适应的矩阵理论和方法在解析几何、计算机数据机构、算法、密码学、微分方程、对策论等许多其它领域应用学科都有极为广泛的应用，这里不一一赘述，留更大的空间给其他人去研究讨论.4.结束语本文首先介绍了矩阵的历史发展以及线国内外研究情况，再从矩阵的线性变换的理论概念出发，介绍矩阵的线性变换在几何上的作用以及线性变换下的矩阵的几何意义等重、难点内容，接着结合大学和中学的学情情况，简单介绍了线性变换下的几种变换矩阵，把线性映射写成具体而简明的二维数阵形式后，就成了一种变换矩阵，进而由线性映射的加法规则和复合规则来分别定义矩阵的加法规则和乘法规则是很自然的想法，当空间的基变化（坐标系变换）时，线性映射的矩阵也会有规律地变化.在特定的基上研究线性变换，就转化为对矩阵的研究，利用矩阵的乘法，可以把一些线性系统的方程表达得更紧凑（比如把线性方程组用矩阵表达和研究），也使几何意义更加明显.以此使学生建立对线性变换的感性认识，再通过一些典型例子说明矩阵工具解决有关线性变换的问题，反过来，利用线性变换解决矩阵的线性变换问题，使学生具备理解复杂及抽象的数学能力.矩阵作为线形变换的表示，有着广泛的应用，运用变换思想解题方