2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（10）练习题及答案解析

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十）一、单选题1．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023上·广东揭阳·高三校考期中）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2023上·广东揭阳·高三校考期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．6．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）若实数满足，则的大小关系为（

）A． B．C． D．7．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知函数在区间上恰有两个极值点，且，则的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．98．（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数，则函数的零点个数是（

）．A．2 B．3 C．4 D．59．（2023上·山东滨州·高三统考期中）已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．若，则 D．若，则10．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）设函数，则方程的实根个数为（

）A． B． C． D．11．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知其中则（

）A． B． C． D．12．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．13．（2023上·福建莆田·高三校考期中）数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（

）

A． B． C． D．14．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）现有下列不等式关系：①；②；③；④．其中成立的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）中，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．16．（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（

）A． B． C． D．17．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（

）A． B．C． D．18．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．1219．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知，，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题20．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（

）A．是奇函数 B．是增函数C． D．21．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）在中，内角，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（

）A．B．若为边上中点，且，则的最小值为C．若为边上一点，且，，则的最小值为D．若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为22．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知直线与曲线相交于A，两点，与相交于，两点，A，，的横坐标分别为，，，则（

）A． B． C． D．23．（2023上·广东揭阳·高三校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的最大值为C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为 D．若，则24．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）若函数在区间有2024个零点，则整数可以是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202525．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知定义在上的函数图象上任意一点均满足，且对任意，都有恒成立，则下列说法正确的是（

）A． B．是奇函数C．是增函数 D．26．（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数，，则下列说法正确的是（

）．A．函数的极大值为B．当时，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为6C．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为D．若不等式在区间上恒成立，则a的取值范围为27．（2023上·山东滨州·高三统考期中）已知抛物线：的焦点为，直线（且）交与、两点，直线、分别与的准线交于、两点，（为坐标原点），下列选项错误的有（

）A．且，B．且，C．且，D．且，28．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知正项数列满足：，则（

）A． B．是递增数列C． D．29．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）若方程有两个根，则（

）A． B．C． D．30．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）若数列满足：对任意正整数为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是（

）A． B．C． D．31．（2023上·福建莆田·高三校考期中）已知偶函数对，都有，且时，，下列结论正确的是（

）．A．函数的图象关于点中心对称B．是周期为4的函数C．D．32．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则以下结论一定正确的是（

）A． B． C． D．33．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知正项数列的前项和为且，则下列说法正确的是（

）A．长度分别为的三条线段可以围成一个内角为的三角形B．C．D．34．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（

）A．直线一定过点B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等35．（2023上·福建三明·高三校联考期中）数列的前n项和为，，且当时，.则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．既有最大值也有最小值.C． D．若，则.36．（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知，则实数满足（

）A． B． C． D．37．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）已知正三棱柱的各条棱长都是2，，分别是，的中点，则（

）A．平面B．平面与平面夹角的余弦值为C．三棱锥的体积是三棱柱体积的D．若正三棱柱的各个顶点都在球上，则球的表面积为38．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）已知过原点的一条直线与函数的图象交于两点，分别过点作轴的平行线与函数的的图象交于两点，则（

）A．点和原点在同一条直线上B．点和原点在同一条直线上C．当平行于轴时，则点的横坐标为D．当平行于轴时，则点的纵坐标为39．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A． B．C． D．40．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知球的半径为1（单位：），该球能够整体放入下列几何体容器（容器壁厚度忽略不计）的是（

）A．棱长为的正方体B．底面边长为的正方形，高为的长方体C．底面边长为，高为的正三棱锥D．底面边长为，高为的正三棱锥三、填空题41．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，.，的平分线交于点，且，则的最小值为.42．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，，，都有，函数的最小值为2，则.43．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为.44．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）如图，在四边形中，，则面积的最大值为.45．（2023上·山东滨州·高三统考期中）四棱锥的底面ABCD是矩形，侧面底面ABCD，，，则该四棱锥外接球的表面积为．46．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则.47．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知且，则的最小值为．48．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，其横坐标分别为，且，则．49．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为.50．（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则实数a的范围为．51．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）设抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率等于．52．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为.53．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是.四、双空题54．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为.55．（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知数列满足，若，则；若，，，，则当时，满足条件的的所有项组成的集合为．56．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）如图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在中，异面直线与的距离为.57．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）函数的部分图象如图所示，若，且，则，.2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十）一、单选题1．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，因为，则，且，可知，则在上单调递增，又因为为偶函数，，可得令，可得，注意到，不等式，等价于，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：D.2．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为若，则，∴，则，又，解得.又，解得.，解得，，或.当时，；当时，，可得.∴.故选B.3．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，因为函数在区间内有零点，无极值点，故，解得，则，，要想满足要求，则或，解得，或，故的取值范围是.故选：D4．（2023上·广东揭阳·高三校考期中）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知.因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，所以，得.所以.易知当时，单调递增，即在上单调递增.又在区间上单调递增，所以，所以，即的取值范围为.故选：A.5．（2023上·广东揭阳·高三校考期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，令，则，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，所以，即（当且仅当时等号成立）.令，得，所以；令，则，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即（当且仅当1时等号成立）.令，得，所以；综上所述：.故选：A.6．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）若实数满足，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，当时，设，则，易知当时，，当时，单调递增，所以；所以；由已知可得，因为，所以；，所以；因为，所以；故；故选：A7．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知函数在区间上恰有两个极值点，且，则的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】,当时,,A选项错误;当时,,B选项错误;当时,,,恰有三个极值点，D选项错误;当时,,,恰有两个极值点，C选项正确;故选:C.8．（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数，则函数的零点个数是（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由已知，令，即，当时，得或，当时，明显函数在上单调递减，且，，故存在，使，画出的图象如下，再画出直线，其中，观察图象可得交点个数为个，即函数的零点个数是.故选：D.9．（2023上·山东滨州·高三统考期中）已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A，函数定义域为，，所以，错误；对于B，因为，所以，由知，错误；对于C，因为，，所以在上递增，时，，故对，，由不等式的性质可得，正确；对于D，，，，取，则，，此时，，错误.故选：C10．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）设函数，则方程的实根个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则方程即，当时，；当时，；当时，若，则，符合题意；若，则，不合题意；当时，若，则，符合题意；若，则，符合题意，即方程的实根个数为3，故选：B11．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知其中则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，得，所以，所以，，所以，因为，，得，所以，，，所以，所以.故选：.12．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即，由为奇函数，得，即，显然，因此，即，有，，，而的值都不确定，ABC错误，D正确.故选：D13．（2023上·福建莆田·高三校考期中）数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，所以所求概率为．故选：A14．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）现有下列不等式关系：①；②；③；④．其中成立的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，构造函数，则，当，故在上单调递减，所以①错误．由于，所以在单调递增，故，所以，所以②正确．由于，所以，故，所以③正确．设，当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时等号成立.设，则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故进而可得，当且仅当时等号成立，故，所以④正确．故选：D15．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）中，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，在中，，故或，当时，，故，不合要求，舍去，所以，，因为，所以，即，因为，所以，由正弦定理得，故因为，所以，故，因为，所以，故，因为，所以，，，故.故选：B16．（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】正三棱锥中，，，∴平面，又平面∴，，又三棱锥为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，设可得正三棱锥的表面积为．设外接球的半径为，则，，则外接球的表面积所以两表面积的比为，故选：D．17．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，设围成的四棱柱为，为正四棱锥的高，作交于，连接，设，则，在直角三角形中由勾股定理得，又因为正四棱锥的外接球球心在它的高上，记球心为，半径为，连接，则，则在直角三角形中，即，解得，令，则，，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取最小值，所以，所以该四棱锥外接球的表面积的最小值为，故选：B18．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．12【答案】A【解析】由已知得，，，则，其中，因为，当时，当时，，因为在区间上有且只有一个极大值点，所以，解得，即，所以，当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；当时，，此时，此时有一个极大值点，成立；所以的最大值为.故选：A.19．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为=-.，；，，所以，故．故选：D.二、多选题20．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（

）A．是奇函数 B．是增函数C． D．【答案】ABC【解析】对于选项A：因为，令，则，可得，令得：，再以代，得：，两式相加得：，即，令，则对任意恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内的值域为，由，，即，，所以定义在上的函数为奇函数，故A正确；对于选项B：因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，不妨设，则，因为，则且可知，所以，则，即，故函数在上为增函数，B正确；对于选项C，令，且，则，即，故C正确；对于选项D：令，且，则，因为，且函数在上为增函数，可得，即，所以，故D错误.故选：ABC.21．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）在中，内角，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（

）A．B．若为边上中点，且，则的最小值为C．若为边上一点，且，，则的最小值为D．若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为【答案】BCD【解析】对于A项，由，即，因为，则，若显然不符题意，或者也不符合题意，所以，故A错误；对于B项，由余弦定理及基本不等式可知，又，所以，当且仅当时，取得等号，故B正确；对于C项，由题意可知，平方得，又，当且仅当时，取得等号，故C正确；对于D项，不妨设三边上的高分别，又，则，根据余弦定理知，当且仅当时，取得等号，故D正确.故选：BCD22．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知直线与曲线相交于A，两点，与相交于，两点，A，，的横坐标分别为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由，可得，令，解之得，则时，，单调递增；时，，单调递减，故当时，取得最大值.由，可得，令，解之得，则时，，单调递增；时，，单调递减，故当时，取得最大值.同一坐标系内作出与的图像，由，可得，由，可得由，且在单调递增，又，故；由，且在单调递减，又，故，即，则选项A判断正确；故，则选项C判断正确；令，则，由，可得，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.当时，取得极大值.由题意得是的两个零点，且令，则，则在上单调递增，又，则在上恒成立，即在上恒成立，则，则即成立.选项D判断正确；由，可得，又，则不成立.选项B判断错误.故选：ACD23．（2023上·广东揭阳·高三校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的最大值为C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为 D．若，则【答案】ABD【解析】由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；A：，正确；B：的极大值，也是最大值为，正确；C：∵时，即上；时，即上；∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；D：由知：若，令，，，∴设，，则，∴在上单调递增，即，故在上恒成立，∴，即，又，，由在上递减，即，故，正确.故选：ABD24．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）若函数在区间有2024个零点，则整数可以是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】BCD【解析】令，则，对于函数，由，可知，因为，且，的周期为，且关于直线对称，又因为，当，则，且，可知，则在上单调递减，可知在上单调递增，若时，因为的定义域为，则，可知，无零点，不合题意，若时，，结合图象可知：与在内各有一个交点，在内没有交点，所以在内有2个零点，在内没有零点（区间端点均不是零点），因为与的周期均为，则周期为，结合周期可知：若数在区间有2024个零点，则整数可以是2023或2024，若时，，结合图象可知：与在内没有交点，在内各有一个交点，所以在内没有零点，在内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数在区间有2024个零点，则整数可以是2024或2025；综上所述：整数可以是2023或2024或2025.故选：BCD.25．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知定义在上的函数图象上任意一点均满足，且对任意，都有恒成立，则下列说法正确的是（

）A． B．是奇函数C．是增函数 D．【答案】BCD【解析】，有，记，则，所以在上单调递增，所以，所以，故选项A错误；因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数，故选项B正确；记，，则，，对，因为，则，即函数在单调递减，又时，，则，即，根据幂函数性质知，所以，所以函数在上单调递增，所以，所以函数在上单调递增，又是奇函数，由奇函数性质知是增函数，故选项C正确；因为对任意，都有恒成立，所以在上恒成立，所以即在上恒成立，记，，则，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，，记，，则，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选项D正确.故选：BCD26．（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数，，则下列说法正确的是（

）．A．函数的极大值为B．当时，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为6C．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为D．若不等式在区间上恒成立，则a的取值范围为【答案】ACD【解析】，所以在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，所以当时，取得极大值为，所以A选项正确.当时，，在上单调递增，依题意，，在上单调递减，，所以所需二分区间的次数最少为，所以B选项错误.对于C选项，，由函数在区间上单调递增，得在区间恒成立，即在区间恒成立，当时，显然成立，当时，设，，所以在区间上，单调递减；在区间上，单调递增.所以，综上所述，的取值范围是.对于D选项，不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，，在上单调递减，当时，，所以在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，所以，则a的取值范围为，D选项正确.故选：ACD27．（2023上·山东滨州·高三统考期中）已知抛物线：的焦点为，直线（且）交与、两点，直线、分别与的准线交于、两点，（为坐标原点），下列选项错误的有（

）A．且，B．且，C．且，D．且，【答案】ACD【解析】由，可得，设,，,，则，，，，直线的方程为，由，可得，同理可得，所以,，,，，，对于A，,,，,,，只有当时，，此时，直线与轴垂直，不存在斜率，不满足题意，所以，，故A错误；对于B，因为,,，,,，故B正确；对于C，由B得，而，所以，故C错误；对于D，由C可知不存在且，使成立，故D错误．故选：ACD．28．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知正项数列满足：，则（

）A． B．是递增数列C． D．【答案】BCD【解析】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误；因为，又正项数列，所以，即，因此是递增数列，故B正确；由上可知，，所以，即，故C正确；因为，即，所以，，，…，，因此，，即，故D正确.故选：BCD.29．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）若方程有两个根，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如图所示，作出函数和的图像，易知①，②，且，所以，对于A：易知，所以，因为在区间上单调递增且，所以，A错误；对于B：令函数.当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立.由①知，即，则B正确；对于C：由②知，即，又，所以，C正确；对于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正确，故选：BCD30．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）若数列满足：对任意正整数为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】A：由为常数列，也是等比数列，不符合“局部等比数列”；B：由不是等比数列，且，故为常数列，也为等差数列；其中可构成等比数列，符合；C：由不是等比数列，且，故为等差数列；其中可构成等比数列，符合；D：由不是等比数列，且，则，，，显然不为等差数列，不符合；故选：BC31．（2023上·福建莆田·高三校考期中）已知偶函数对，都有，且时，，下列结论正确的是（

）．A．函数的图象关于点中心对称B．是周期为4的函数C．D．【答案】ACD【解析】对于A项，由得的图象关于中心对称，故A正确；对于B项，因为为偶函数，所以，又因为，所以，所以，所以，即是周期为8的函数，故B项错误；对于C项，因为，所以令，则，即，又因为为偶函数，所以，故C项正确；对于D项，因为时，，的周期为8，为偶函数，所以，故D项正确．故选：ACD．32．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则以下结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对选项A：为奇函数，故，则，故，即，所以不一定为0，错误；对选项B：令，得，即，正确；对选项C：，故，则，所以，为奇函数，所以，故，，又，所以的周期为4．又，所以为偶函数，不一定为，错误；对选项D：，D正确；故选：BD.33．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知正项数列的前项和为且，则下列说法正确的是（

）A．长度分别为的三条线段可以围成一个内角为的三角形B．C．D．【答案】BC【解析】对于选项A：因为，可以构造边长分别为，且一个内角为的三角形，即内角不可能为，故A错误；对于选项BC：设，其中，则，可知，设，即，当时，构成等边三角形，记作，此时，可知数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，在等边中，可知边上的高为，在，可得，利用等面积可得，整理得，故B、C正确；对于选项D：由选项C知：当时，，故D错误．故选：BC.34．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（

）A．直线一定过点B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等【答案】BCD【解析】由题意知，，两式相减，得，A：由，得，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B：，故B正确；C：因为，故C正确；D：，，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，又，得，即直线与圆相离，，得，即直线与圆相离，所以过直线上任一点可作两圆的切线.在直线上任取一点，设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，则，，所以，即，故D正确.故选：BCD.35．（2023上·福建三明·高三校联考期中）数列的前n项和为，，且当时，.则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．既有最大值也有最小值.C． D．若，则.【答案】ABD【解析】因为，且当时，.两边同时取倒数可得：，即，且，所以数列是等差数列，其公差为2，首项为2，所以选项A正确；对于选项B和C，由选项A知，，可得，当时，，所以，故当时，，易知时，，又，所以是先递减再递增的数列，当时，，所以最大，最小.所以选项B正确，选项C错误；对于选项D，当时，，又时，，对于上式也成立，所以，所以，当时，，，所以选项D正确，故选：ABD.36．（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知，则实数满足（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，所以，，，，易知，所以，A正确；，C错；显然，，，B错；，D正确．故选：AD．37．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）已知正三棱柱的各条棱长都是2，，分别是，的中点，则（

）A．平面B．平面与平面夹角的余弦值为C．三棱锥的体积是三棱柱体积的D．若正三棱柱的各个顶点都在球上，则球的表面积为【答案】ABC【解析】A，连接,交于点,连接,则为的中点，故为的中位线，则，平面,平面,故平面，A正确；B，依题得，平面，，平面，则，又，平面，则平面，又平面，则，则平面与平面夹角为，则，B正确；C，取中点，连接，则，又平面，平面，则，平面，则平面则，C正确；D，取上下底面的中心，则球心为的中点，，又，则，则球的表面积为，D错误.故选：ABC38．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）已知过原点的一条直线与函数的图象交于两点，分别过点作轴的平行线与函数的的图象交于两点，则（

）A．点和原点在同一条直线上B．点和原点在同一条直线上C．当平行于轴时，则点的横坐标为D．当平行于轴时，则点的纵坐标为【答案】BC【解析】设，且，且，不妨设，则由题意得.选项A，由题意知，三点共线，轴，且在函数的图象上，而在函数的图象上，可知点不在直线上，即A项错误；选项B，由三点共线可知，，则由对数运算性质得，则有，所以，即三点共线，故B项正确；选项C，当平行于轴时，则，化简得，则，代入，得，化简得，又，解得，代入得，点的纵坐标，故C项正确，D项错误.故选：BC.39．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对A：∵为偶函数，则，两边求导可得，∴为奇函数，则，令，则可得，则，A成立；对B：令，则可得，则，B成立；∵，则可得，，则可得，两式相加可得：，∴关于点成中心对称，则，D成立，又∵，则可得，，则可得，∴以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立，故选：ABD.40．（2023上·浙江金华·高三阶段练习）已知球的半径为1（单位：），该球能够整体放入下列几何体容器（容器壁厚度忽略不计）的是（

）A．棱长为的正方体B．底面边长为的正方形，高为的长方体C．底面边长为，高为的正三棱锥D．底面边长为，高为的正三棱锥【答案】ACD【解析】球的半径为，则直径为，对于A，棱长为的正方体内切球直径为，A正确；对于B，长方体高为，高小于球的直径，B错误；对于C，如图所示，设正三棱锥为，设为三棱锥的内切球的球心，为正三角形的中心，所以为正三棱锥的高，，设是的中点，正三棱锥的底面边长为，所以，，因为为正三棱锥的高，所以，由正棱锥的性质可知：，，，内切球半径为，，得，C正确；对于D，和C的正三棱锥相比，底面边长相同，只需比较高的大小，即比较和的大小，由于，故选项D正确故选：ACD三、填空题41．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，.，的平分线交于点，且，则的最小值为.【答案】【解析】因为，所以，所以，可得．所以，（当且仅当，即，时取等号）．故答案为：．42．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，，，都有，函数的最小值为2，则.【答案】【解析】依题意，，函数的最小值为2，即，令，则有①.由，令得，当且仅当，即为偶函数时等号成立，而，所以②，由①②得.由，，得令得，即，所以，，，，，所以.故答案为：43．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为.【答案】【解析】的定义域为且为奇函数，所以，，所以，，设，则，所以是奇函数，依题意可知，在的最大值为，所以在的最小值为，所以在的最小值为.故答案为：44．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）如图，在四边形中，，则面积的最大值为.【答案】【解析】由题意，在四边形中，，∴,∴四边形四点共圆，在中，，,∴是等腰三角形，，在中，∴，,当且仅当时，等号成立，∵当时，垂直平分,∴,是等边三角形，，∴,∴,∴,∵,∴∴面积的最大值为,故答案为：.45．（2023上·山东滨州·高三统考期中）四棱锥的底面ABCD是矩形，侧面底面ABCD，，，则该四棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】由题意，作图如下：在矩形中，连接对角线，，记，即点为矩形的外接圆圆心，在中，因为，且，所以，的外接圆半径为，记外接圆圆心为，即，取中点为，在矩形中，可得，，在中，可得，且共线，过作平面，令，连接，因为侧面底面ABCD，且侧面底面ABCD，底面ABCD，所以平面，且平面，由平面，则，即四边形为矩形，因为，所以平面，根据球的性质，可得点为四棱锥外接球的球心，在中，，四棱锥外接球的表面积.故答案为：.46．（2023上·福建宁德·高三校联考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则.【答案】8【解析】根据题意得，因为，所以，所以，所以.故答案为：8.47．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知且，则的最小值为．【答案】8【解析】由得，即，所以，令得所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：848．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，其横坐标分别为，且，则．【答案】【解析】由图象得，设，因为，所