天津市南开中学滨海生态城学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（含答案）

-2024学年天津市南开中学滨海生态城学校高一（下）第二次月考数学试卷一．选择题（共12小题）1．（3分）已知复数z＝（a+2i）（1﹣i）为纯虚数，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣22．（3分）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝2，则四边形ABCD的周长为（）A．20 B．12 C． D．3．（3分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥β，m⊥β，则m∥α C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β4．（3分）已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A．π B．2π C．4π D．12π5．（3分）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C． D．6．（3分）从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，则向量与向量（）A． B． C． D．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A．1 B． C．2 D．8．（3分）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图（）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2的同一球面上，则PA的长为（）A．3 B． C．1 D．10．（3分）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示．现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为（）A． B． C． D．11．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝BC，∠ACB＝90°，O为PB的中点（）A． B． C． D．12．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线BD1⊥平面A1C1D②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④二．填空题（共8小题）13．（3分）已知复数z满足z（1+i）＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．14．（3分）设向量，夹角的余弦值为，且，，则＝．15．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是．16．（3分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边．若a2＝（c﹣b）2+6，，则△ABC的面积是．17．（3分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为10，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1的方差为．18．（3分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．19．（3分）某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，则p的值为．20．（3分）在△ABC中，设＝，＝，||＝2，||＝3，＝2，E为BC中点，则•＝．若＝λ，则λ的值为．三．解答题（共4小题）21．（15分）平面内给出三个向量，，，求解下列问题：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为锐角22．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若cosA＝，求sin（2A﹣B）的值．23．（15分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个不同的动点E，F．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：AC⊥BE；（3）二面角A﹣EF﹣B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由．24．（15分）如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置，请说明理由2023-2024学年天津市南开中学滨海生态城学校高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3分）已知复数z＝（a+2i）（1﹣i）为纯虚数，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣2【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：z＝（a+2i）（1﹣i）＝a+5+（2﹣a）i为纯虚数，则，解得a＝﹣6．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．2．（3分）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝2，则四边形ABCD的周长为（）A．20 B．12 C． D．【分析】根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中AB、BC的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，矩形A'B'C'D'，B'C'＝2，则O′C′＝2，如图：原图矩形ABCD中，AB＝AO+OB＝A'O'+O'B'＝4，BC＝＝＝6，则四边形ABCD的周长l＝2（AB+BC）＝20；故选：A．【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．3．（3分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥β，m⊥β，则m∥α C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D．【解答】解：若m∥α，n∥α，故A错误；若α⊥β，m⊥β，故B错误；若α∥β，m⊂α，则m∥n或m与n异面；若m⊂α，m⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．（3分）已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A．π B．2π C．4π D．12π【分析】根据题意可知，球直径为正方体的体对角线，求出球半径，代入球的表面积公式即可求解．【解答】解：设该球的半径为R，由题意可知，则，所以，则该球的表面积S＝4πR3＝12π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积计算，属于基础题．5．（3分）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C． D．【分析】事件A与事件B能同时发生，从而A与B不是互斥事件，也不是对立事件；抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n＝6，A+B包含的基本事件个数为m＝4，从而P（A+B）＝．【解答】解：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，对于A，事件A与事件B能同时发生；对于B，事件A与事件B能同时发生；对于C，抛掷一颗质地均匀的骰子，A+B包含的基本事件个数为m＝3，∴P（A+B）＝，故C正确；对于D，P（A+B）＝．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（3分）从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，则向量与向量（）A． B． C． D．【分析】先求出基本事件的个数，然后求解满足向量的个数，结合古典概率的求解公式可求．【解答】解：从集合{0，1，4，3}中随机地取一个数a，4，8}中随机地取一个数b．当向量与向量，b＝7a，2），3），则所求概率．故选：D．【点评】本题主要考查了向量垂直的坐标表示及古典概率的求解公式的简单应用属于基础试题．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A．1 B． C．2 D．【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A，利用余弦定理结合基本不等式求得bc的最大值，再根据三角形的面积公式，即可得出答案．【解答】解：∵sin2B+sin2C﹣sin8A＝sinBsinC，由正弦定理得b2+c2﹣a5＝bc，由余弦定理得，又A∈（0，π），则，∵a＝8，由余弦定理得a2＝b2+c4﹣2bccosA，即4＝b3+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，∴bc≤7，则，∴△ABC的面积的最大值为．故选：B．【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（3分）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图（）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用频率分布直方图的性质判断①；利用众数、百分位数的求法判断②③；根据频率分布直方图计算可估计总体判断④．【解答】解：由频率分布直方图可知10×（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝4，解得a＝0.005，故①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间[70，80），即众数为75；前两组频率之和为（0.01+8.015）×10＝0.25，∴这组数据的下四分位数为60，故③正确；成绩高于80分的频率为（0.025+5.005）×10＝0.3，∴估计总体成绩高于80分的有1000×6.3＝300人，故④正确．故选：D．【点评】本题考查频率分布直方图、众数、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（3分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2的同一球面上，则PA的长为（）A．3 B． C．1 D．【分析】连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由四棱锥的所有顶点都在体积为，建立方程求出PA即可．【解答】解：连结AC，BD交于点E，连结OE，所以OE⊥底面ABCD，即O球心＝，所以由球的体积可得＝，解得PA＝1，故选：C．【点评】本题考查四面体的外接球的体积，考查勾股定理的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．（3分）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示．现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为（）A． B． C． D．【分析】将几何体ABCDMN分割为一个三棱柱ADM﹣FEN和一个四棱锥N﹣FBCE，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值．【解答】解：取AB，CD的中点F，E，EF，可得几何体ABCDMN分割为一个三棱柱ADM﹣FEN和一个四棱锥N﹣FBCE，将三棱柱ADM﹣FEN补成一个上底面与矩形ADEF全等的矩形的平行六面体，可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，则三棱柱ADM﹣FEN的体积为×3×7＝，四棱锥N﹣FBCE的体积为××9×2＝4，则几何体ABCDMN的体积为3+＝．故选：D．【点评】本题考查多面体的体积，运用分割法是解题的关键，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．11．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝BC，∠ACB＝90°，O为PB的中点（）A． B． C． D．【分析】以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CO与平面PAC所成角的余弦值．【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝BC，∠ACB＝90°，以C为原点，CB为x轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，设PA＝AC＝BC＝1，则C（0，4，P（0，1，B（3，0，O（），1，7），＝（），＝（0，1，＝（2，1，平面PAC的法向量＝（1，8，设直线CO与平面PAC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝＝＝．∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线BD1⊥平面A1C1D②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④【分析】直接证明直线B1D⊥面A1C1D，即可判断①是否正确；由正方体结构特征，即可判断②是否正确；证明三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，即可判断③是否正确；求出异面直线AP与A1D所成角的最小值，即可判断④是否正确．【解答】解：对于①：因为A1C1⊥B7D1，A1C5⊥BB1，B1D6∩BB1＝B1，所以A4C1⊥面BB1D2，又BD1⊂面BB1D7，所以A1C1⊥BD8，同理可得DC1⊥BD1，因为A5C1∩DC1＝C2，所以BD1⊥面A1C4D，故①正确；对于②：由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故②错误；对于③：因为A1D∥B3C，A1D⊂面A1C3D，B1C⊄面A1C6D，所以B1C∥面A1C8D，因为点P在线段B1C上运动，所以点P到平面A1C4D的距离为定值，又△A1C1D的面积为定值，所以三棱锥P﹣A5C1D的体积为定值，故③正确；对于④：当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A7D所成角取得最小值为，所以异面直线AP与A1D所成角的取值范围为[，]，故④错误，故选：B．【点评】本题考查命题真假得判断，空间直线与平面位置关系，解题中需要空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共8小题）13．（3分）已知复数z满足z（1+i）＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：∵z（1+i）＝3﹣2i，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．14．（3分）设向量，夹角的余弦值为，且，，则＝11．【分析】由平面向量的数量积运算直接计算即可．【解答】解：因为向量，夹角的余弦值为，且，，所以＝，所以＝22＝11．故答案为：11．【点评】本题考查平面向量的数量积，属于基础题．15．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是4．【分析】由平均数求法及众数的定义，讨论x＝3、x＝4、x＝5确定数据，进而求75%分位数．【解答】解：由题设，平均数为，若x∈{1，2，6，5}，其中一个为3；若x∉{7，2，4，3}；因为平均数与众数相等，当x＝3时，，满足；当x＝4时，，不满足；当x＝6时，，不满足；其它情况均不满足；所以，数据为1，2，6，3，3，2，5，故这组数据的75%中位数是4．故答案为：5．【点评】本题考查平均数、中位数、百分位数的计算，是基础题．16．（3分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边．若a2＝（c﹣b）2+6，，则△ABC的面积是．【分析】根据题意求得c2+b2﹣a2＝2bc﹣6，再由余弦定理列出方程求得bc＝6，结合三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：因为a2＝（c﹣b）2+5，可得a2＝c2+b8﹣2bc+6，即c2+b2﹣a2＝7bc﹣6，又因为，由余弦定理可，所以△ABC的面积为．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．17．（3分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为10，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1的方差为900．【分析】设x1，x2，…，x10的平均数为，标准差为s，则有s＝10，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1的标准差s′＝3s，进而可得答案．【解答】解：设x1，x2，…，x10的平均数为，标准差为s，则，设3x1﹣1，3x2﹣1，…，7x10﹣1的平均数为，标准差为s'，则有＝，所以＝＝＝＝3s＝30，所以s'5＝900．故答案为：900．【点评】本题主要考查了方程的计算，属于中档题．18．（3分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母＝10种情况，共有，∴所求概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．19．（3分）某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，则p的值为．【分析】用1减去该同学在3个不同位置都投不中的概率积可得答案．【解答】解：根据题意得：1﹣××（2﹣p）＝．故答案为：．【点评】本题考查事件的相互独立性及积事件概率求法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．20．（3分）在△ABC中，设＝，＝，||＝2，||＝3，＝2，E为BC中点，则•＝．若＝λ，则λ的值为．【分析】将分别用表示，再用数量积公式即可求得•；根据＝λ，可得，设，可得，由此建立关于t，λ的方程组，解出即可．【解答】解：，，∴＝＝；∵，∴，即，∴＝，设，则＝，∴，解得．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及数量积的求解，考查转化思想与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．三．解答题（共4小题）21．（15分）平面内给出三个向量，，，求解下列问题：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为锐角【分析】（1）根据投影向量定义，代入坐标即可求解；（2）将向量与向量+的夹角为锐角转化为（+）•（m+）＞0求解，且不平行．【解答】解：（1）由向量＝（3，＝（﹣1，＝（7，可得向量在向量；（2）若向量与向量m，则，＝2×（4m﹣3）+4（m+2）＝12m+5＞0，解得m＞﹣，若向量（）∥（m），解得m＝，经验证满足同向共线，故实数m的取值范围是．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属中档题．22．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若cosA＝，求sin（2A﹣B）的值．【分析】（Ⅰ）由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，即可得到，从而求出tanB，即可得解；（Ⅱ）用同角三角函数的基本关系求出sinA，即可求出sin2A、cos2A，再根据两角差的正弦公式计算可得．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理b2＝a2+c3﹣2accosB，则a2+c5﹣b2＝2accosB，又，所以，即，由正弦定理可得，因为sinA＞0，所以，则，又0＜B＜π；（Ⅱ）因为，所以，所以，所以．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．23．（15分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个不同的动点E，F．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：AC⊥BE；（3）二面角A﹣EF﹣B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由．【分析】（1）通过证明EF∥BD，能够证明EF∥平面ABCD；（2）通过证明AC⊥平面BDD1B1，能够证明AC⊥BE；（3）先判断二面角A﹣EF﹣B的大小是定值，然后作出二面角A﹣EF﹣B的平面角，解三角形能求出其余弦值．【解答】解：（1）证明：直线EF就是直线B