2023-2024学年人教版八年级下学期期末数学试卷（一）

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）2021年5月22日，杂交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的团队培育的第三代杂交水稻双季亩产突破3000斤．为了考察A、B两块试验田中稻穗生长情况，从两块试验田分别抽取了200株稻穗进行单株称重．若要选出稻穗生长更均衡的实验田，需要关注以下哪个数据（）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数4.（3分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（）A． B． C． D．5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形6．（3分）一次函数y＝﹣2023x+2024的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（）A．36° B．144° C．108° D．126°9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．210．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②S△ABD＝6；③当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x+b上的两点，则y1y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．13．（3分）如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区这10天最高气温的中位数为℃．14．（3分）如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是．15．（3分）最简二次根式是同类二次根式，则a的取值为．16．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为．17．（3分）如图，在△ABC，∠A＝90°，AB＝AC．在△ABC内作正方形A1B1C1D1，使点A1，B1分别在两直角边AB，AC上，点C1，D1在斜边BC上，用同样的方法，在△C1B1C内作正方形A2B2C2D2；在△CB2C2作正方形A3B3C3D3…，若AB＝1，则正方形A2021B2021C2021D2021边长为．三、解答题18．（5分）计算：．19．（7分）如果，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．20．（8分）为提高学生的爱国意识，陶冶爱国情操，某中学举行了以“厉害了，我的国”为主题的书法绘画大赛，该校九年级共有三个班都参加了这次活动，三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：收集数据：决赛成绩（单位：分）九年级1班80868880889980749189九年级2班85858797857688778788九年级3班82807878819697879284数据分析：（1）请填写下表：平均数（分）众数（分）中位数（分）九年级1班85.587九年级2班85.585九年级3班7883得出结论：（2）如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些？请简要说明理由．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．（1）证明：四边形DECF是平行四边形；（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．22．（10分）某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：手工制品A款挂件B款挂件售价（元/个）128（1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？23．（10分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）点P、Q分别在CD和BC的延长线上，当∠PAQ＝∠B时，CQ和DP会不会相等？如能相等请直接写出此时∠B应满足的条件，如不能相等这说明理由．24．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3．（1）直接写出点B的坐标；（2）已知D、E（2，4）分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、当a﹣1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．（）3＝3，故此选项不合题意；B．÷＝，故此选项不合题意；C．﹣无法合并，故此选项不合题意；D．×＝3，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）2021年5月22日，杂交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的团队培育的第三代杂交水稻双季亩产突破3000斤．为了考察A、B两块试验田中稻穗生长情况，从两块试验田分别抽取了200株稻穗进行单株称重．若要选出稻穗生长更均衡的实验田，需要关注以下哪个数据（）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数【分析】根据方差的意义求解即可．【解答】解：∵要选出稻穗生长更均衡的实验田，∴需要关注数据的方差，故选：C．4.（3分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小．故注水过程的水的高度是先快后慢再快．【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确．故选：C．5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，并对错误的举出反例即可．【解答】解：如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；故选：D．6．（3分）一次函数y＝﹣2023x+2024的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行解答即可．【解答】解：∵在一次函数y＝﹣2023x+2024中，k＝﹣2023＜0，b＝2024＞0，∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．7.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（）A． B． C． D．【分析】根据题意利用割补法求得△ABC的面积，利用勾股定理算出BC的长，再利用等面积法即可求得AD的长．【解答】解：由题可得：，，∴，解得：，故选：D．8．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（）A．36° B．144° C．108° D．126°【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，∴∠1＝2∠BAC＝36°，∴∠BAC＝18°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，故选：D．9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．2【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．10．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②S△ABD＝6；③当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），∴方程组的解为，故①正确，符合题意；②把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，∴D（0，1），∴BD＝4﹣1＝3，在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴AO＝2，∴S△ABD＝×3×2＝3，故②错误，不符合题意；③点A关于y轴对称的点为A'（2，0），由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故③正确，符合题意；故选：B．二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣5．【分析】根据被开方数为非负数进行解题即可．【解答】解：∵代数式有意义，∴x+5≥0，解得：x≥﹣5，故答案为：x≥﹣5．12．（3分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x+b上的两点，则y1＜y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【分析】利用一次函数的增减性判断即可．【解答】解：在一次函数y＝2x+b中，∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣1＜2，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．（3分）如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区这10天最高气温的中位数为16.5℃．【分析】根据中位数的定义解答即可．【解答】解：把这10天最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，17，故中位数为＝16.5（℃），故答案为：16.5．14．（3分）如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是29．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝11，继而代入可求出△OCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝11，∴OC+OD＝（AC+BD）＝18，∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝18+11＝29．故答案为：29．15．（3分）最简二次根式是同类二次根式，则a的取值为．【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a+1＝2，解得：a＝．16．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为（﹣2，4﹣2）．【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，∴AO＝BO＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，在△PCB和△OPA中，，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝＝2，∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2，∵PD＝BD＝2，∴P（﹣2，4﹣2），故答案为（﹣2，4﹣2）．17．（3分）如图，在△ABC，∠A＝90°，AB＝AC．在△ABC内作正方形A1B1C1D1，使点A1，B1分别在两直角边AB，AC上，点C1，D1在斜边BC上，用同样的方法，在△C1B1C内作正方形A2B2C2D2；在△CB2C2作正方形A3B3C3D3…，若AB＝1，则正方形A2021B2021C2021D2021边长为（）2021．【分析】从特殊到一般探究规律后，利用规律即可解决问题；【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为，正方形A2B2C2D2的边长为×＝＝（）2正方形A3B3C3D3的边长为××＝＝（）3…，正方形A2021B2021C2021D2021的边长为（）2021．故答案为：（）2021．三、解答题（本大题共8小题，共72分）18．（5分）计算：．【分析】先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：＝﹣4+4﹣2×6＝﹣4+4﹣12＝﹣12．19．（7分）如果，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．【分析】由BO是Rt△ABC斜边上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得OA＝OC＝OB，又由DO＝BO，即可证得四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，则可证得四边形ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形．理由：∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OC＝OB，∵DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．（8分）为提高学生的爱国意识，陶冶爱国情操，某中学举行了以“厉害了，我的国”为主题的书法绘画大赛，该校九年级共有三个班都参加了这次活动，三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：收集数据：决赛成绩（单位：分）九年级1班80868880889980749189九年级2班85858797857688778788九年级3班82807878819697879284数据分析：（1）请填写下表：平均数（分）众数（分）中位数（分）九年级1班85.58087九年级2班85.58586九年级3班85.57883得出结论：（2）如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些？请简要说明理由．【分析】（1）分别根据众数、中位数以及算术平均数的定义与计算方法解答即可；（2）根据平均数和中位数的意义解答即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）在九年级1班10名同学的决赛成绩中80分出现的次数最多，故众数为80分；把九年级2班10名同学的决赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是85分，87分，故中位数为＝86（分）；九年级3班的平均数为：（82+80+78+78+81+96+97+87+92+84）÷10＝85.5（分）；故答案为：80，86，85.5；（2）我认为九年级1班的实力更强一些，理由如下：因为三个班的平均数相同，但九年级1班的中位数比其他两个班高，所以九年级1班的实力更强一些．（答案不唯一）．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．（1）证明：四边形DECF是平行四边形；（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，由平行四边形的判定即可得出结论；（2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位线定理得DE＝BC＝6，然后由平行四边形的性质得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF＝，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴DE∥CF，∵DF∥CE，∴四边形DECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝12，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×12＝6，∵四边形DECF是平行四边形，∴DE＝CF＝6，DF＝CE，∵D是边AC的中点，∴CD＝AC＝×5＝，∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，∴∠DCF＝90°，在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝，∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6+）＝25．22．（10分）某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：手工制品A款挂件B款挂件售价（元/个）128（1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可以写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，再根据制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得w的最大值．【解答】解：（1）设制作一个A款挂件的成本为x元，制作一个B款挂件的成本为y元，由题意可得：，解得，答：制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元；（2）设安排m人制作A款挂件，则安排（40﹣m）人制作B款挂件，由题意可得：w＝（12﹣7）×2m+（8﹣5）×3（40﹣m）＝m+360，∴w随m的增大而增大，∵制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，∴，解得10≤m≤17，∵m为整数，∴10≤m≤17且m为正整数，∴当m＝17时，w取得最大值，此时w＝377，40﹣m＝23，答：w（元）与m（人）之间的函数表达式是w＝m+360（10≤m≤17且m为正整数），当安排17人制作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为377元．23．（10分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是AP＝AQ．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）点P、Q分别在CD和BC的延长线上，当∠PAQ＝∠B时，CQ和DP会不会相等？如能相等请直接写出此时∠B应满足的条件，如不能相等这说明理由．【分析】（1）①由菱形的性质得出BC＝CD，AB∥CD，证明AQ⊥BC，由菱形的面积公式可得出答案；②过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于M，证明△AMQ≌△ANP（AAS），由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，连接AC，可证△AMQ≌△ANP（AAS），可得MQ＝NP，又证△AMC≌△AND，可知AC＝AD，即可得出答案．【解答】解：（1）①AP＝AQ，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，∵S菱形ABCD＝BC•AQ＝CD•AP，∴AP＝AQ，故答案为：AP＝AQ；②①中的结论仍然立，证明：如图2中，过点作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN，∵ВС＝CD，∴AM＝AN，∵АВ∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，在△AMQ和△ANP中，，∴△AMQ≌△A