动能定理课件

动能定理功是代数量§13-1力的功

常力在直线运动中的功单位J（焦耳）

1J=1N·m元功即变力在曲线运动中的功力在路程上的功为记则1、重力的功质点系由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。得2、弹性力的功弹簧刚度系数k(N/m)弹性力弹性力的功为因式中得即弹性力的功也与路径无关3.定轴转动刚物体上的功则若常量由得从角转动到角过程中力的功为作用在点的力的元功为力系全部力的元功之和为4.平面运动刚体上力系的功其中由两端乘dt，有其中:为力系主失，为力系对质心的主矩。当质心由，转角由时，力系的功为即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；

2、C点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立；3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。§13-2质点和质点系的动能2、质点系的动能1、质点的动能

单位：J（焦耳）（1）平移刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能

即

即即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。得速度瞬心为P（3）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动。将两端点乘，由于§13-3动能定理1、质点的动能定理因此得

上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。

称质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。积分之，有2、质点系的动能定理

称质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。

由求和得

称质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。积分之，有3、理想约束

光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零。称约束力作功等于零的约束为理想约束。

对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。内力作功之和不一定等于零。

例13-1已知：m,h,k,其它质量不计。求：解：

例13-2已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上;均质轮C的R2、m2纯滚动,初始静止;θ,M为常力偶。求：轮心C走过路程S时的速度和加速度轮C与轮O共同作为一个质点系解：式(a)是函数关系式，两端对t求导，得求：冲断试件需用的能量

例13-3冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，在时静止释放，冲断试件后摆至得冲断试件需要的能量为解：

例13-4已知：均质圆盘R,m,F=常量，且很大，使O向右运动，f,初静止

求：O走过S路程时ω、α圆盘速度瞬心为C,

解：均不作功。注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空间的位移，不是受力作用点的位移。将式(a)两端对t求导，并利用得不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：2、亦可将力系向点O简化，即

例13-5：已知：r1

，

m1

均质；杆m均质，O1O2=l,M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。求：O1O2转过φ角的ω、α研究整个系统解：式(a)对任何φ均成立，是函数关系，求导得注意：轮Ⅰ、Ⅱ接触点C不是理想约束，其摩擦力Fs尽管在空间是移动的，但作用于速度瞬心，故不作功。

例13-6：均质杆OB=AB=l,m在铅垂面内；M=常量，初始静止，不计摩擦。解：

求：当A运动到O点时，§13-4功率、功率方程、机械效率由，得1、功率：单位时间力所作的功称功率即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。单位W（瓦特），1W=1J/S作用在转动刚体上的力的功率为2、功率方程称功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。或3、机械效率机械效率有效功率多级转动系统例13-7已知：若，求F的最大值。求：切削力F的最大值解:当时例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系统的运动微分方程。解：令为弹簧静伸长，即mg=k,以平衡位置为原点§13-5势力场.势能.机械能守恒定律1.势力场势力场：场力的功只与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。2.势能

称势能零点

力场（1）重力场中心势能（2）弹性力场的势能（3）万有引力场中的势能取零势能点在无穷远质点重力场

例如：已知:均质杆l,m弹簧强度k,AB水平时平衡，弹簧变形取弹簧自然位置O为零势能点:由得取杆平衡位置为零势能点:即质点系在势力场中运动,有势力功为3.机械能守恒定律由即：质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。此类系统称保守系统及得

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索k=3.35×N/m求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力卡住前

卡住时：解：得即由有取水平位置为零势能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速时，=?解：＊4.势力场的其他性质：(1)

（2）势能相等的点构成等势面

（3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向§13-6普遍定理的综合应用动量、动量矩

动能矢量，有大小方向内力不能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点O或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能只有作功能改变动能理想约束不影响动能可进行动能转化应用时完全从功与能的观点出发在保守系中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。例：已知均质园轮m,r,R

，纯滚动求：轮心Ｃ的运动微分方程解:重力的功率（很小）本题也可用机械能守恒定律求解。得

例：已知两均质轮m,R;物块m,ｋ，纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。求：重物下降h时，v、a及滚轮与地面的摩擦力。

解：将式（a）对t

求导（a）得其中例：已知l,m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。解：成角时（a）（b）时由（a）,（b）,（c）得由其中：铅直水平(c)

例：已知轮I：r,

m1;轮III:r，m3;轮II：R=2r,m2;压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度，物块：mA；摩擦力不计。求：O1

O2处的约束力。其中解:利用其中研究I轮压力角为研究物块A研究II轮

例9：已知，m，R,k,CA=2R为弹簧原长，M为常力偶。

求：圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力解：得例均质杆AB，l,m,初始铅直静止，无摩擦求：1.B端未脱离墙时，摆至θ角位置时的，，FB