微专题5破解嵌套函数的零点问题答案

微专题提优5破解嵌套函数的零点问题函数的零点问题是高考的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点问题，通常借助函数图象、性质求解即通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数。.1.嵌套函数形式：形如f2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．一、嵌套函数零点个数的判断【例1】已知f（x）＝｜lgx|,x>0，2｜x｜，x≤0，则函数y＝2[f（x）]2A.3 B.5C.7 D.8解析：B函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即方程f（x）＝12和f（x）＝1的根，函数f（x）＝｜lgx|,x>0，2｜x｜，x≤0的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝12和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－点评判断嵌套函数零点个数的步骤：①换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；②依次解方程，令f（t）＝0求出t的值，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数.跟踪训练已知函数f（x）＝－x+1，x≤1，ln（x－1),x>1，则函数g（x）＝A.3 B.4C.2 D.1解析：A设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝0，当μ＞1时，则f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A.二、求嵌套函数零点中的参数【例2】函数f（x）＝ln(−x－1),x＜－1，2x+1，x≥－1，若函数g（x）＝f（f（x））－解析：设t＝f（x），令g（x）＝f（f（x））－a＝0，则a＝f（t）.在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象（如图）.易知当a＜－1时只有一个零点，当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f（f（x））－a有三个不同的零点.点评（1）求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数；（2）处理含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.跟踪训练已知函数f（x）＝x2－2x+4，x≤0，lnx，x>0，若函数g（x）＝[f（x）]2＋2f（x）＋m（m∈R）解析：画出f（x）的函数图象如图，令t＝f（x），则由图可知要使g（x）有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以Δ=4－4m>0，课后跟踪练习1.已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（

）A．或B．或 C．或 D．或解析：有实根，，解得：；；设，则；①当时，，，即，解得：，；②当时，由得：，；，，，又恒成立，，即，共有四个不等实根，；综上所述：集合的元素个数可能为或.2.函数，则函数的零点个数为（

）A．2B．3C．4 D．5解析：令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，则或，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，若，易知方程无解，若，当时，由，得或（舍去），此时方程有唯一的解；当时，由，得，此时方程有唯一的解，综上所述可知函数的零点个数为个，3．（多选）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的值可能为（

）A．1B．C． D．解析：由方程，可得．令，则有，即．令函数，则，所以在上单调递增，在上单调递减．作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，，，．所以，，解得．故．因为，所以BC都符合题意，4.已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为_______．解析：由题意令，，令，则所以函数有四个不同的零点，等价于关于的方程，即方程有两个不同的实根，且此时直线与的图象应有四个交点，交点的横坐标分别为，由上，；上，，，且当时，；当时，，所以由数形结合可知：，5.已知函数，则函数的所有零点之和为___________．解析：设，则，①当时，，得；②当时，，得；综上所述：若，则或.故或，则有：①由，可得或，解得或；②由，可得或，解得或