立足本源 善用“学习迁移”提高学生数学素养-“反比例函数”案例分析 论文

立足本源善用“学习迁移”提高学生数学素养——“反比例函数”案例分析摘要：“学习迁移”就是学生在学习过程中，把以前学习的知识或解决问题的能力，自觉地迁移应用到新知识的学习中，这种能力的形成，可以实现知识与技能的融会贯通，从而提高数学素养，培养学生解决问题的能力。而每一个数学概念的产生、发展都有深厚的数学内涵，寻找概念产生的本源引导其生成新的概念是教学的重要任务。反比例函数的产生既是现实生活的需要，也是函数与方程体系发展的需要。一次函数与反比例函数都是函数的一种，存在一定的共性，运用知识的迁移进行反比例函数有关内容的教学，既符合学生的认知基础，又能凸显函数学习的本质规律。关键词：学习迁移；反比例函数；一次函数；数学素养研究背景：何为“学习迁移”？迁移，在心理学中是指一种学习对另一种学习的影响，而“学习迁移”就是学生在学习过程中，把以前学习的知识或解决问题的能力，自觉地迁移应用到新知识的学习中，这种能力的形成，可以实现知识与技能的融会贯通，从而提高数学素养，培养学生解决问题的能力。美国心理学家ML比格所言：学生的学习实效大多是依赖于他们所学得的知识，是由迁移的知识内容数量和质量确定的。本文以《反比例函数》为例，探究如何让“有效迁移”进入初中数学教学课堂。学情分析：立足根本是什么？“反比例函数”是函数的一种，本节课程教学立足的根本是函数，一次函数是已学过的知识点，应作为迁移的根基。但函数的学习是数学教学的难点，八年级学生对函数认识以静态思维为主，对两个变量关系认识不够，所以教学设计一定是要从以前学过的函数即一次函数入手。教材地位分析：迁移到哪里去？《反比例函数》是苏教版初中数学八年级下册第11章的教学内容，本节课是章节起始课，也是后续研究反比例函数图像、性质及应用的基础，所以对于研究反比例函数的概念、模型以及后续研究内容等都需要清晰的展示，而这正是“一次函数”研究过的内容，所以通过“一次函数”迁移到“反比例函数”是可行的。教学过程分析：该怎样迁移？1、教学目标设定（1）理解反比例函数的概念。（2）能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式。（3）能判断一个给定函数是否为反比例函数。（4）通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量和变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。2、教学设计片段及设计意图环节1知识回顾--立足本源正值春暖花开，为了美化我们校园环境，学校计划将教学楼前的长方形停车场改建为一个花园，在测量过程中发现，停车场的宽为20米，你能完成下面的表格吗？长（m）……x面积S（m2）生1：不能，还需要知道长方形的长为多少米。师：当长为30m时，面积是多少？生1：当长为30米时，面积为600平方米。师：当长为40m时，面积又是多少？生2：当长为40米时，面积为800平方米。师：当长为50m时，面积又是多少？生3：当长为50m时，面积为1000平方米。师：这样的数据，我们可以取多少组？生：无数组。师：能否说出这组数据的变化规律？（预设答案是：面积随着长方形长的变化而变化）师：在变化过程中，有不变的吗？（预设：长方形宽是不变的，或者面积与长比值是定值）生4：面积与长的比等于20。师：如果两个量的比值一定，那这两个量之间成什么关系呢？生5：正比例关系。师：如果我们用x表示长方形的长，用s表示长方形的面积，你能写出s与x之间的变化关系式吗？生6：能，可以写成s=20x师：s与x之间是函数关系吗？生7：是函数关系。师：你能对函数概念做一个简要的描述吗？生7：有两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量有唯一的值与它相对应。师：这两个变量可以如何表示？生：可以用字母x和y表示，当变量x变化时，y也随之变化，当x取某一值时，y有唯一的值与之对应。师：对于刚才提到的正比例函数，它有一般的表达式吗？生8：它的一般形式是y=kx(k≠0)。设计意图：函数及一次函数的概念对于初中学生来说既是重点又是难点，从身边的实例出发，引导学生回顾正比例关系、函数以及正比例函数的概念，作为本节课知识迁移的本源，让学生有效迁移，研究反比例函数相关知识。环节2知识迁移--概念生成师：在实际的规划设计中，要求花园的面积为1200平方米，请你帮助完成下面的表格。长（m）……x宽y（m）师：仿照刚才的探究活动，你能说出这组数据变化规律吗？生：长方形的长逐渐增大，而长方形的宽却在逐渐减小。师：为什么会出现这样现象？生10：乘积等于1200，它们是一个定值。师：在小学里，我们知道，当两个量的乘积一定，这两个量成什么关系呢？生11：反比例关系。师：如果我们用x表示花园的长，用y表示花园的宽，你能写出y与x之间的关系式吗？生12：xy=1200。师：y与x之间是函数关系吗？为什么？生13：是函数关系，理由：有两个变量x、y，y随着x的变化而变化，且给定x的一个值，有唯一y值与之相对应。师：如果它们之间是函数关系，那么通常我们都应当书写成什么形式？生：书写成。师：既然同学们认为它满足函数的定义，那它是正比例函数吗？生：不是。师：如果不是正比例函数，那它应当是什么函数？师：其实像这种具有反比例关系的函数就是我们今天要研究的反比例函数。（引出课题）设计意图：通过改变常量，观察反比例函数与正比例函数的相同点与不同点，理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，同时也体会反比例函数的研究方法与正比例函数研究方法的相似点，为以后研究二次函数及指数、对数函数奠定基础，这就是研究知识迁移的优势，也是研究函数的通性通法，体现了从一般到特殊的归纳类比思想。在花园的建设过程中，我们还遇到很多实际问题，请你用表达式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）大花园里计划建一个360m2的玫瑰园，完成该项目的天数y（天）随日完成量x（m2）的变化而变化；（2）学校计划出资800元购买玫瑰苗，玫瑰苗单价x元，购买玫瑰花的数量w（棵）随单价x（元/棵）的变化而变化；（3）在玫瑰园的旁边，建一个容积为80m3的水池，向池内注水，注满水池所需时间t（min）随注水速度v（m3/min）的变化而变化。师：请你观察这些函数表达式，仿照正比例函数，设计一个“一般形式”来表示反比例函数。生14：。师：仿照正比例函数定义，请给反比例函数下个定义。生15：形如的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。设计意图：从实际问题入手，建立反比例函数模型，其实这就是一个抽象、建模的过程。此环节通过三个实际问题，为数学思想的生长提供了一种直观的想象，让原本抽象的函数思想与方法具体化，为后续学力提升提供思维铺垫，提高新知识与旧知识契合的效度，引导学生完成由旧知识到新知识的迁移。环节3概念辨析--由理解向表达迁移例1下列关系式中，y是x的反比例函数有哪些？说明理由。通过刚才的判断，你能总结出反比例函数都有哪些表现形式？生16：（1）分式形式：；积的形式：；负指数的形式：。师：请以小组为单位，合作交流一下，“两个量成反比例关系”与“反比例函数”有什么区别？设计意图：初中数学核心素养要求学生能够用数学语言表达世界，本环节设计的目的一方面是有效盘点新知识，能判断一个给定函数是否是反比例函数，并说明理由；另一方面可以延伸思考，“成反比例关系”与“反比例函数”之间的区别与联系，既呼应“成正比例关系”与“正比例函数”的关系，又让新的知识从感性思维上升到理性思维，完成知识的有效迁移，实现知识迁移的正态分布。五、教学回顾反思：善用“学习迁移”提高数学素养学生是认知的主体，是教学的主体，是课堂的主角，教学中所有问题的设置都应遵循学生的认知规律，让学生经历知识的形成过程，主动迁移，进一步学会学习，学会欣赏，学会自我探索、合作探究。本节课是反比例函数的第一课时，主要目的是让学生理解反比例函数的概念，“怎样理解”成为本节课的难点，于是引导学生寻找新知识的本源，通过回顾正比例关系、正比例函数以及一次函数，唤起学生对相关知识的记忆，通过在同一背景下具体情境的设计，让学生主动参与到新知识的探究过程中。寻找到知识的本源，让学生从已有知识出发，透过现实生活中所遇到的问题，通过师生互动、生生互动、小组合作等形式，让学生深切体验了反比例函数概念的生成过程，整个过程符合维果斯基提出的“最近发展区”，在流畅的课堂中，提高了学生探究、解决问题的能力。学习迁移教学就是寻找学生的“最近发展区”，知识生长的本源是学生现有的知识水平，在此基础通过合理的情境设置、问题驱动、推理建模架构课堂知识体系，通过思考的过程提升数学核心素养，发现知识所承载的数学思想，举一反三，触类旁通，使数学课堂生机盎然，让学生成为真正的问题解决者。通过本节课的学习，希望学生思考的几个问题：一是首先要明确每个概念的生成都要去寻找知识的本源，将知识点连成线，形成自己的知识结构，有利于知识的存储与提取；二是通过归纳所学知识，提炼学习方法，运用知识迁移，让数学学习成为一件