线性代数及应用（高淑萍第2版） 课件 第4章 相似矩阵与二次型_第1页
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第4章相似矩阵与二次型4.1特征值与特征向量特征值与特征向量的定义定义1例如特征值与特征向量的定义方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即定义特征值与特征向量的定义例1解特征值与特征向量的定义例2解特征值与特征向量的定义例2解说明特征值与特征向量的定义例3证明特征值是特征方程的根n阶方阵有

n个特征值（一元

n次方程在复数范围有n个根）（代数重数）特征值的性质性质112说明推论定义特征值的性质性质204OPTION01OPTION02OPTION03OPTION特征值的性质例4解所求特征值为推论特征值的性质例5解则其特征值为练习解特征值的性质特征向量的性质性质3证明说明一个特征向量不可能属于不同的特征值.证明特征向量的性质性质4证明特征向量的性质例6解于是即特征向量的性质性质5定义说明（几何重数）（代数重数）第4章相似矩阵与二次型4.2相似矩阵相似矩阵的定义与性质定义1123自反性对称性传递性回顾若矩阵

A经过一系列初等变换化为矩阵

B，则称

A与

B等价，相似矩阵的定义与性质定理1证明于是注意特征多项式相同的矩阵不一定相似产生矛盾.相似矩阵的定义与性质推论证明性质说明方阵的相似对角化问题1满足什么条件的矩阵可以对角化？问题2定义2方阵的相似对角化定理2推论例如说明方阵的相似对角化例1解（1）方阵的相似对角化解（2）例1方阵的相似对角化例2解方阵的相似对角化例3解第4章相似矩阵与二次型4.3实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值和特征向量性质1实对称矩阵的任一特征值均为实数.定义证明于是实对称矩阵的特征值和特征向量推论实对称矩阵的特征向量都是实向量.性质2证明例1解（1）（2）实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的相似矩阵定理回顾推论1204OPTION01OPTION02OPTION03OPTION实对称矩阵的相似矩阵例2解实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵例3解第4章相似矩阵与二次型4.4二次型及其标准形线性变换定义1例如线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系．说明线性变换二次型及其标准形定义2例如定义3二次型及其标准形问题例如说明用配方法化二次型为标准形.二次型及其标准形例1解二次型的矩阵对称阵二次型的矩阵定义4解例2二次型的矩阵说明（2）标准形的矩阵是对角阵.（1）二次型的矩阵一定是对称矩阵.化二次型为标准形定义5123自反性对称性传递性化二次型为标准形定理1证明说明回顾化二次型为标准形定义6正交变换保持向量的内积、长度和夹角不变，定理2注所以正交变换能保持几何图形的大小和形状.化二次型为标准形例2解化二次型为标准形例3解第4章相似矩阵与二次型4.5正定二次型惯性定理定理1这个定理就叫做惯性定理.定义1实二次型的标准形中正、负平方项的项数是唯一确定的，说明它们的和为二次型的秩.惯性定理定义2惯性定理定理2定理3正定二次型定义3例如正定二次型负定二次型例1证明正定二次型定理4问题可逆线性变换不改变二次型的正定性.推论1推论2推论3正定二次型例2

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