2025优化设计一轮 正弦定理和余弦定理

第7节正弦定理和余弦定理高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.通过对三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.正弦定理和余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则不要错以为a=sin

A定理正弦定理余弦定理公式

=__________=__________=2R

a2=________________,

b2=a2+c2-2accos

B,c2=________________常见变形(1)a=__________,

b=__________,c=__________.(2)sin

A=__________,

sin

B=__________,

sin

C=__________.

(3)a∶b∶c=__________cos

A=__________,

cos

B=__________,

cos

C=__________b2+c2-2bccosAa2+b2-2abcosC2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理可解决的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边微点拨在三角形中大边对大角,大角对大边.微思考在△ABC中,A>B是否可推出sin

A>sin

B?反过来呢?提示

在△ABC中,利用正弦定理,可得A>B⇔a>b⇔sin

A>sin

B,即A>B是sin

A>sin

B成立的充要条件.2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况

A的分类A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsin

Absin

A<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形的面积公式在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则面积S=absin

C=__________

=__________.

公式中是两条边和夹角的正弦

自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比.(

)2.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则△ABC为锐角三角形.(

)3.在△ABC的内角A,B,C,边长a,b,c这六个元素中,已知任意三个可求其他三个.(

)4.在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.(

)×××√15°或105°CD解析

设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos

120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.研考点精准突破考点一利用正弦定理和余弦定理求三角形的基本量DAB考点二利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状例2(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

,则△ABC的形状为(

)A.等边三角形

B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形B(2)(2024·安徽芜湖模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos

A+bcos(A+C)=0,则△ABC为(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形D解析

由acos

A+bcos(A+C)=0,得acos

A-bcos

B=0.由正弦定理,得sin

Acos

A-sin

Bcos

B=0,所以sin

2A=sin

2B.因为0<2A<2π,0<2B<2π,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.[对点训练2](2024·浙江温州十五校联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcos

A,则△ABC为(

)A.钝角三角形

B.直角三角形C.锐角三角形

D.等边三角形A解析

在△ABC中,因为c<bcos

A,由正弦定理,得sin

C<sin

Bcos

A.因为A+B+C=π,所以sin

C=sin(A+B)=sin

Acos

B+cos

Asin

B,即sin

Acos

B+cos

Asin

B<sin

Bcos

A,所以sin

Acos

B<0.又A,B∈(0,π),所以sin

A>0,cos

B<0,所以B∈(,π),所以△ABC为钝角三角形.考点三正弦定理和余弦定理的应用(多考向探究预测)A变式探究将本例中的条件“若△ABC的面积为”改为“若b=2”,且将“△ABC”改为“锐角三角形”,试确定△ABC面积的取值范围.规律方法解决三角形最值与范围问题的两个基本途径(1)利用均值不等式解决三角形的最值问题:在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的积、两边的和等代数式,这就为均值不等式的应用提供了条件,