2025优化设计一轮 解三角形

第8节解三角形高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.实际测量中的有关几个术语

术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:(1)北偏东α:

(2)南偏西α:

坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即i==tan

θ

所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程2.解三角形实际应用题的步骤

微点拨要理清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是方向角.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.东南方向就是指南偏东45°的方向.(

)2.若从A处看B处的仰角为α,从B处看A处的俯角为β,则α+β=180°.(

)3.点A在B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,点A的方位角为200°.(

)4.俯角是铅垂线与目标视线所成的角,其范围是[0,].(

)√×√×题组二

回源教材5.(人教B版必修第四册9.2节例1改编)如图所示,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100m,则AB的长为__________m.

题组三

连线高考6.(2021·全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(

)

A.346

B.373

C.446

D.473B研考点精准突破考点一解三角形在实际测量问题中的应用(多考向探究预测)考向1测量距离问题例1(多选题)(2024·安徽池州模拟)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(

)BC解析

由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,规律方法解决距离问题的基本步骤(1)确定解决问题所需要的三角形.(2)分析三角形中的已知量和未知量,将未知量放在另一个三角形中求解.(3)在确定的三角形中运用正弦定理或余弦定理求解.[对点训练1](2024·四川南充模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(

)A考向2测量高度问题例2(2024·重庆高三临门一卷)如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300m的M处(即MD=300m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高BC=__________m.

450规律方法解决高度问题的三个注意点(1)理解好两类角:仰角、俯角是在铅垂面上所成的角,方向角、方位角是在水平面上所成的角,注意区分.(2)画好两个图形:高度问题一般涉及空间与平面问题,因此要画好两个图形,即平面图形和空间图形.(3)做好一个转化:将空间问题转化为平面问题.[对点训练2](2024·江苏南京六校联考)如图,为测量某塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°,∠BDC=45°,CD=30米,在C点测得塔顶A的仰角为60°,则塔的总高度约为(

)(参考数据:

)A.13米

B.24米C.39米

D.45米C(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里?(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船?规律方法解决角度问题的注意事项(1)依据题意画出正确的示意图;(2)明确方向角、方位角的含义;(3)求角必先求角的正弦值或余弦值;(4)注意根据实际意义进行取舍.B考点二正弦、余弦定理的综合应用例4(2021·新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sin

C=3sin

A,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.(2)因为c=a+2=b+1,所以c>b>a,因此若存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,则a2+(a+1)2<(a+2)2,化简得a2-2a-3<0,解得-1<a<3.因为a为正整数,所以a可取1,2.当a=1时,△ABC的三边的长度分别为1,2,3,此时不满足三角形的三边关系,即该三角形不存在;当a=2时,△ABC的三边的长度分别为2,3,4,满足题意.因此当a=2时,△ABC为钝角三角形.[对点训练4](2024·湖南邵阳模拟)如图所示,D为△ABC外一点,且∠ABC=135°,AD⊥CD,AB=,BC=1,CD=2.(1)求sin∠ACD的值;(2)求BD的长.考点三解三角形与三角函