人教版八年级下数学-特殊的平行四边形之正方形(答案)

2018年04月23日139****3305的初中数学组卷

参考答案与试题解析

—.选择题（共20小题）

1.（2017•渭滨区一模）如图，正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取

AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是（）

A.30B.34C.36D.40

【考点】LG：正方形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】由正方形的性质得出NA=NB=NC=ND=90。，AB=BC=CD=DA,证出

AH=BE=CF=DG,由SAS证明△AEH之Z\BFE且4CGF之Z\DHG,得出EH=FE=GF=GH,

NAEH=NBFE,证出四边形EFGH是菱形，再证出NHEF=90。，即可得出四边形EFGH

是正方形，由边长为8,AE=BF=CG=DH=5,可得AH=3,由勾股定理得EH,得正

方形EFGH的面积.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

，/A=NB=NC=ND=90°,AB=BC=CD=DA,

VAE=BF=CG=DH,

，AH=BE=CF=DG.

在△AEH、ABFE^^CGF和aDHG中，

'AE=BF=CG=DH

<NA=NB=NC=ND，

AH=BE=CF=DG

/.△AEH^ABFE^ACGF^ADHG（SAS）,

，EH=FE=GF=GH,NAEH=NBFE,

...四边形EFGH是菱形，

VZBEF+ZBFE=90°,

，NBEF+NAEH=90",

/.ZHEF=90o,

，四边形EFGH是正方形，

：AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,

EH=FE=GF=GH=^52+32=734,

，四边形EFGH的面积是：J拓XJ拓=34,

故选:B.

2.（2017•天门模拟）如图，AD是AABC的角平分线，DE,DF分别是4ABD和

△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②ADJ_EF；③当NBAC=90。时，四

边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）

A.②③B.②④C.②③④D.①③④

【考点】LG：正方形的判定与性质；KQ：勾股定理.

【分析】根据角平分线性质求出DE=DF,证4AED之△AFD,推出AE=AF,再一

一判断即可.

【解答】解：根据已知条件不能推出OA=OD,...①错误；

CAD是AABC的角平分线,DE,DF分另!）是ZXABD和4ACD的高,

，DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在RtAAED和RtAAFD中，

[AD二AD,

IDE=DF，

ARtAAED^RtAAFD（HL）,

；.AE=AF,

VAD平分NBAC,

/.AD±EFf.•.②正确;

VZBAC=90°,NAED=NAFD=90°,

...四边形AEDF是矩形，

VAE=AF,

，四边形AEDF是正方形，.•.③正确;

VAE=AF,DE=DF,

.,.AE2+DF2=AF2+DE2,.,.④正确；

②③④正确，

故选：C.

3.（2009•临夏州）如图，四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BE1AD

于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=（）

A.2B.3C.2亚D.2A/3

【考点】LF：正方形的判定.

【专题】11：计算题；16：压轴题.

【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长.

【解答】解：过B点作BFLCD,与DC的延长线交于F点，

则有ABCF丝ABAE（ASA）,

贝UBE=BF,S四边形ABCD=S正方形BEDF=8，

*'•BE=Vs=2近.

故选：C.

4.（2017秋•沈河区期末）下列判断错误的是（）

A.对角线相等四边形是矩形

B.对角线相互垂直平分四边形是菱形

C.对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形

D.对角线相互平分的四边形是平行四边形

【考点】LF：正方形的判定；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定；

LC：矩形的判定.

【分析】利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、正方

形的判定定理分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、对角线相等四边形是矩形，错误；

B、对角线相互垂直平分四边形是菱形，正确；

C、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

D、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确；

故选：A.

5.（2017•双桥区一模）如图，AD是4ABC的角平分线，DE、DF分别是4ABD

和AACD的高，则下列结论：

①OA=OD；

②AD_LEF；

③AE+DF=AF+DE；

④当NBAC=90。时，四边形AEDF是正方形.

其中一定正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【考点】LF：正方形的判定；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】①如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形，ZA=90°,不符合题意，所以

①不正确.

②首先根据全等三角形的判定方法，判断出4AED且Z\AFD,AE=AF,DE=DF；然

后根据全等三角形的判定方法，判断出AAEO段/XAFO,即可判断出ADLEF.

③根据4AED之ZXAFD,判断出AE=AF,DE=DF,即可判断出AE+DF=AF+DE成立，

据此解答即可.

④首先判断出当NA=90。时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩

形，然后根据DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形即可.

【解答】解：如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形，ZA=90°,不符合题意，

•••①不正确；

VAD是4ABC的角平分线，

.'.ZEADZFAD,

在4AED和aAFD中，

'/EAD=NFAD

<ZAED=ZAFD=90°，

,AD=AD

/.△AED^AAFD(AAS),

，AE=AF,DE=DF,

；.AE+DF=AF+DE,

...③正确；

在△AEO和△AFO中，

'AE=AF

<ZEA0=ZFA0，

A0=A0

.'.△AEO之△AFO(SAS),

/.EO=FO,

又•.,AE=AF,

，A0是EF的中垂线，

，ADJ_EF,

...②正确；

•.•当NA=90。时，四边形AEDF的四个角都是直角，

...四边形AEDF是矩形，

XVDE=DF,

四边形AEDF是正方形，

...④正确.

综上，可得正确的是：②③④.

故选:B.

6.（2017•文登区二模）如图所示，两个含有30。角的完全相同的三角板ABC和

DEF沿直线I滑动，下列说法错误的是（）

B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形

C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形

D.四边形ACDF不可能是正方形

【考点】LF：正方形的判定；L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩

形的判定.

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可.

【解答】解：A、正确.•.•NACB=/EFD=30°,

；.AC〃DF,

VAC=DF,

•••四边形AFDC是平行四边形.故正确.

B、错误.当E是BC中点时，无法证明NACD=90。，故错误.

C、正确.B、E重合时，易证FA=FD,•.•四边形AFDC是平行四边形，

二四边形AFDC是菱形，

D、正确.当四边相等时，ZAFD=60",NFAC=120。，.•.四边形AFDC不可能是正

方形.

故选:B.

B

D

7.（2012•仪陇县校级二模）如图，正方形ABCD的边长为2,E为线段AB上一

点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F,MG1EF,交

CD于N,交BC的延长线于G,点P是MG的中点.连接EG、FG.下列结论：

①当点E为边AB的中点时，SAEFG=5；②MG=EF；③当AE=J^t，FG=2粕；④若

点E从点A运动到点B,则此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的

判定与性质；KQ：勾股定理.

【专题】16：压轴题.

【分析】当E点是AB的中点时，由条件可知AM=AE=1,由勾股定理求出EM=&,

通过证明AAME四△DMF,可以得出EM=FM=&,EF=2&.过M作MQLBC于

Q（如图），可以得出RtAAME^RtAQMG,可以求出MG=2&,最后由三角形

的面积公式求出即可判断①.

作EW1CD于W,MQ1BC于Q易证^EFW和△MGQ,根据全等三角形的性质

推出EF=MG,即可判断②；

求出EM=2,求出FM,得出MG=EF=4,在aFIVIG中根据勾股定理求出FG,即可

判断③；

当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P',证RtAMPP'

sRt^EMG推出PP'=2MP=2,即可判断④.

【解答】解：BOC

过M作MQ1BC于Q,

•••四边形ABCD是正方形，

；.AB=2,ZA=ZB=90°,

，NA=NB=NBQM=90°,

...四边形ABQM数矩形，

/.MQ=AB=2,

VE.M分别为AB、AD中点，

，AE=AM=1,AM=MD,

由勾股定理得：EM=']2+产上,

•.•四边形ABCD是正方形，

，NA=NADF=90°,AB〃CD,

；.NAEM=NDFM,

•..在aAEM和△DFM中

'NA=NMDF

,NAEM=/DFM，

吐DM

.♦.△AEM丝△DFM(AAS),

，EM=MF=M，

/.EF=2&,

•••四边形ABQM是矩形，

.,.ZAMQ=90°,

VZEMG=90°,

，NAME+NEMQ=90°,NEMQ+/QMG=90",

，ZAME=ZQMG,

•.,在aAME和△QGM中，NA=NMQG=90°,NAME=NQMG,

.,.△AME^AQMG,

•­A•E_Q—G_1―,

AMMQ1

，MQ=QG=2,

在RtAMQG中，由勾股定理得：MG=2&,

.0EFG』FXMGJX2&X2心4,.,.①错误;

过E作EW±CD于W,

VMQ1BC,四边形ABCD是正方形,

；.EW=AD=MQ=AB,ZMHE=90",

VZEMG=90°,

，NMEG+NEMH=90°,ZEMH+ZGMH=90°,

；.NMEH=NQMG,

•.,在aFEW和△GMQ中

'/FEW=/GMQ

<EW=MQ，

NEWF=NMQG=90°

/.△FEW^AGMQ(ASA),

；.EF=MG,.,.②正确；

VZA=90°,AM=1,AE=V3，

...由勾股定理得:EM=2=FM,

；.MG=EF=2+2=4,

在RtZ\FMG中，由勾股定理得：FG=^FM2+HG2=2V5,.•.③正确;

VAABM^AMGB（己证），

AM=巡=1,

AB^MG-'2，

•.•P为MQ的中点，，为MG中点，

：.PP'//BC,

,NMPP'=NMQG=90°=NBMG,NMP'P=/MGB,

/.△MPP'^ABMG,

•*LL,

PP'MG2

.•.PP'=2MP=2,...④正确；

即正确的有3个.

故选：C.

8.（2013•重庆校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，

AE交BD于F,过F作FHLAE于F,过H作GHLBD于G,下列有四个结论：①

AF=FH,②/HAE=45°,③BD=2FG,@ACEH的周长为定值，其中正确的结论有

（）

D

BHC

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】16：压轴题；25：动点型.

【分析】（1）作辅助线，延长HF交AD于点L,连接CF,通过证明4ADF之ACDF,

可得：AF=CF,故需证明FC=FH,可证：AF=FH；

（2）由FH_LAE,AF=FH,可得：ZHAE=45°；

（3）作辅助线，连接AC交BD于点。，证BD=2FG,只需证OA=GF即可，根据

△AOF四△FGH,可证OA=GF,故可证BD=2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M,

使AD=DM,过点C作CI〃HL,则IL=HC,可证AL=HE,再根据△MEC之△MIC,

可证：CE=IM,故4CEH的周长为边AM的长，为定值.

【解答】解：（1）连接FC,延长HF交AD于点L,

VBD为正方形ABCD的对角线，

，ZADB=ZCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

/.△ADF^ACDF.

，FC=AF,ZECF=ZDAF.

ZALH+ZLAF=90°,

.,.ZLHC+ZDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

/.ZFHC=ZFCH,

，FH=FC.

，FH=AF.

(2)VFH1AE,FH=AF,

/.ZHAE=45°.

(3)连接AC交BD于点0,可知：BD=20A,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

/.ZAF0=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

/.△AOF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=20A,

/.BD=2FG.

(4)延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI〃HL,则：LI=HC,

根据AMEC之△CIM,可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

...△CEH的周长为8,为定值.

故(1)(2)(3)(4)结论都正确.

9.（2014•苏州一模）如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过

点A作AE的垂线交ED于点P.若AE=AP=1,PB=遥，下列结论：

①4APD^4AEB；②点B到直线AE的距离为加；③EBLED；④S正方形ABCD=4+遍;

@SAAPD+SAAPB=I+A/6.

其中正确结论的序号是（）

A.①③④B.①②⑤C.①④⑤D.①③⑤

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理.

【分析】首先利用已知条件根据边角边可以证明4APD丝AAEB,故选项①正确；

由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE过点B作BMLAE延长线于M,由①得

NAEB=135。所以NEMB=45。，所以aEMB是等腰由△,求出B到直线AE距离为

BF,即可对于②作出判断；根据全等三角形对应角相等可得NAEB=NAPD=135。，

然后求出NBEP=90。，判定③正确；根据三角形的面积公式得到SABPD=1PDX

2

BE=3,所以SMBD=SMPD+SAAPB+SABPD=2+返，由此即可对④判定.根据等腰直角

22

三角形的性质求出PE,再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据SAAPD+SAAPB=S

△APE+SABPE列式计算即可判断出⑤；由此选择答案即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

,NBAD=90°,AB=AD,

AZBAP+ZPAD=90°,

EA1AP,

/.ZEAB+ZBAP=90",

；.NPAD=NEAB,

V^EAAPD^AAEB中，

'AP=AE

<NPAD=/EAB，

AD=AB

/.△APD^AAEB(SAS),故①正确;

•••△AEP为等腰直角三角形，

.,.ZAEP=ZAPE=45",

.,.ZAPD=ZAEB=135°,

.,.ZBEP=90°,

过B作BFLAE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,

在4AEP中，AE=AP=1,根据勾股定理得：PE=&,

在4BEP中，PB=遥，PE=&,由勾股定理得：BE=«,

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

，ZAEP=45°,

/.ZBEF=180o-45°-90°=45°,

.,.ZEBF=45°,

，EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=返，

2

故②是错误的；

VAE=AP,AP±AE,

.'.△AEP是等腰直角三角形，

，ZAEP=ZAPE=45°,

二ZAEB=ZAPD=180°-45°=135°,

.,.ZBEP=135°-45°=90°,

AEBlED,

故③正确;

由△APDgZXAEB,

.,.PD=BE=G

VSABPD=^PDXBE=A,

22

SAABD=SAAPD+SMPB+SABPD=2+返,

2

•e•S正方形ABCD=2S^ABD=4+A/^.

故选项④正确.

VAE=AP=1,

PE=&,

在Rt^PBE中，BE=7^^｛（泥）2_（加产

**•SAAPD+SAAPB=SAAPE+S/\BPE，

=1XIXI+1XV2XA/3,

22

=1+返，故⑤错误；

22

综上所知①③④正确.

故选：A.

10.（2012秋•沙坪坝区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，

BE±DP的延长线于点E,连接AE,过点A作FA±AE交DP于点F,连接BF、FC.下

列结论中：①4ABE之Z\ADF；②PF=EP+EB；③4BCF是等边三角形；④NADF=

ZDCF；@SAAPF=SACDF.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②④⑤D.①③⑤

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形

的判定与性质.

【专题】152：几何综合题.

【分析】根据正方形的性质可得AB=AD,再根据同角的余角相等求出NBAE=N

DAF,再根据等角的余角相等求出NABE=NADF,然后利用“角边角"证明^ABE会

△ADF；根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,判断出AAEF是等腰直角三角

形，过点A作AMLEF于M,根据等腰直角三角形点的性质可得AM=MF,再根

据点P是AB的中点得到AP=BP,然后利用“角角边"证明aAPM和aBPE全等，

根据全等三角形对应边相等可得BE=AM,EP=MP,然后求出PF=EP+EB；根据全

等三角形对应边相等求出DF=BE=AM,再根据同角的余角相等求出NDAM=N

CDF,然后利用“边角边"证明aADM和4DCF全等，根据全等三角形对应角相等

可得NADF=NDCF,ZCFD=ZDMA=90°；再求出CDWCF,判定aBCF不是等边三

角形；求出CF>FP,AM=DF,然后求出SAAPF<SACDF.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD,NDAF+NBAF=90°,

VFA±AE,

，NBAE+NBAF=90°,

，NBAE=NDAF,

VBE±DP,

/.ZABE+ZBPE=90°,

XVZADF+ZAPD=90°,ZBPE=ZAPD（对顶角相等）,

，ZABE=ZADF,

V^EAABE^DAADF中，

rZBAE=ZDAF

<AB=AD，

，/ABE二NADF

.,.△ABE^AADF(ASA),故①正确；

；.AE=AF,BE=DF,

/.△AEF是等腰直角三角形，

过点A作AMLEF于M,则AM=MF,

•点P是AB的中点，

，AP=BP,

。在△APM和ZkBPE中，

'/BPE=/APD

-ZBEP=ZAMP=90°，

AP=BP

/.△APM^ABPE(AAS),

；.BE=AM,EP=MP,

，PF=MF+PM=BE+EP,故②正确；

VBE=DF,FM=AM=BE,

；.AM=DF,

XVZADM+ZDAM=90°,ZADM+ZCDF=90°,

AZDAM=ZCDF,

•.,在△ADM和△DCF,

'AD=DC

<NDAM=/CDF，

,AM=DF

.'.△ADM^ADCF(SAS),

.,.CF=DM,ZADF=ZDCF,ZCFD=ZDMA=90°,故④正确;

在R&DF中，CD>CF,

BC=CD,

.♦.CFWBC,

.•.△BCF不是等边三角形，故③错误；

：CF=DM=DF+FM=EM+FM=EFWFP,

又,.,AM=DF,

SAAPF<SACDF»故⑤错误；

综上所述，正确的有①②④.

故选:B.

11.（2009•无锡二模）如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,那么△

AEG的面积的值（）

A.与m、n的大小都有关B.与m、n的大小都无关

C.只与m的大小有关D.只与n的大小有关

【考点】LE：正方形的性质；KQ：勾股定理.

【分析】由题意，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,先根据正方形的性

质求出4AEG的面积，然后再判断aAEG的面积的值与m、n的关系.

【解答】解：4GCE的面积是L・CG・CE=L12.

22

四边形ABCG是直角梯形，面积是工（AB+CG）・BC=L（m+n）・m；

22

△ABE的面积是：J-BE・AB=L（m+n）*m

22

2

S&AEG=SACGE+S确形

ABCG-SAABE=-i-n-

2

故^AEG的面积的值只与n的大小有关.

故选：D.

12.（2005•济南）如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点

A沿着花坛间小路走到长边中点0,再从中点。走到正方形OCDF的中心Oi,再

从中心01走到正方形OiGFH的中心。2，又从中心。2走到正方形02IHJ的中心

。3,再从。3走到正方形5KJP的中心。4,一共走了31am则长方形花坛ABCD

的周长是（）

A.36mB.48mC.96mD.60m

【考点】LE：正方形的性质.

【专题】16：压轴题.

【分析】用正方形SKJP的边长将。3。4,。2。3，0102,0。1的长表示出来，相加

等于所走的路程，将正方形5KJP的边长求出，根据各个正方形之间的关系，进

而可将正方形ABCD的周长求出.

【解答】解：设正方形03KJP的边长为a,根据正方形的性质知：。3。4=运^

2

正方形02IHJ的边长为2a,02。3=小，

正方形OiGFH的边长为4a,0i02=2&a,

正方形0CDF的边长为8a,00i=

A0=200i=8v^am,

争+标+2扬+4折+8729=31&,

解得:a=2m,

FD=8a=16m,

，长方形花坛ABCD的周长是2X（2FD+CD）=6FD=96m.

故选：C.

13.如图，正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上，AB=2,AE=4&,

A32A/2R3672r1675n18>/5

5•5•5•5

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】11：计算题.

【分析】根据平行线的判定，可得AB与GE的关系，根据平行线间的距离相等,

可得4BEG与aAEG的关系，根据根据勾股定理，可得AH与BE的关系，再根据

勾股定理，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得G到BE的距离.

【解答】解：连接GB、GE,

由已知a=45。,可知NBAE=45°.

又「GE为正方形AEFG的对角线,

，NAEG=45°.

，AB〃GE.

•.•AE=4&,AB与GE间的距离相等，

..GE-8,SABEG=SAAEG=16-

过点B作BH±AE于点H,

VAB=2,

，BH=AH=&.

•,.HE=3&.

，BE=2遍.

设点G到BE的距离为h.

A

SABEG-1-BE-h=yX2V5Xh=16-

•道

••h=r.

5

即点G到BE的距离为竺运.

5

故选：C.

14.如图所示，甲、乙两人同时沿着边长为100m的正方形广场ABCD,按

A玲BfC玲D>A...的顺序跑，甲从A出发，速度为82m/min,乙从B出发，速度

为90m/min,则当乙第二次追到甲时，他在正方形广场的（）

A.AB边B.BC边C.CD边D.AD边

【考点】LE：正方形的性质.

【分析】先设乙第一次追到甲时，用了t分钟，此时乙比甲多走300米，列方程

为300+82t=90t,t=37.5,此时甲乙第一次相遇，再继续行走，当乙第二次追到甲

时，乙比甲多走一圈，即多走400米，列方程：400+82x=90x,

x=50,再计算乙所行走的总路程，除以400后，看余数为多少，从点B开始计算,

是哪一条边，最后作出判断.

【解答】解：设乙第一次追到甲时，用了t分钟，

根据题意得：300+82t=90t,

t=37.5,

设乙第一次追到甲后又开始出发，乙第二次追到甲时，又用了x分钟,

根据题意得：400+82x=90x,

x=50,

，乙行使的路程为：（37.5+50）X90=7875,

7875・400=19…余275,

...当乙第二次追到甲时，他在正方形广场的AD边，

故选：D.

15.（2016・广东）如图，正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF

为边正方形EFGH的周长为（）

A----------------D

F

H

A.V2B.2&C.V2+1D.2扬1

【考点】LE：正方形的性质.

【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=Ji=l,ZBCD=90°,CE=CF=L

2

得出4CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得

出正方形EFGH的周长.

【解答】解：•••正方形ABCD的面积为1,

ABC=CD=V1=1>ZBCD=90°,

；E、F分别是BC、CD的中点，

，CE=LBC=LCF」CD=L,

2222

；.CE=CF,

/.△CEF是等腰直角三角形，

/.EF=岳E=返，

2_

，正方形EFGH的周长=4EF=4X返=2\历；

2

故选:B.

16.（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在

AD上.若NECD=35。，ZAEF=15°,则NB的度数为何？（）

【考点】LE：正方形的性质；L5：平行四边形的性质.

【分析】由平角的定义求出/CED的度数，由三角形内角和定理求出/D的度数,

再由平行四边形的对角相等即可得出结果.

【解答】解：•••四边形CEFG是正方形，

/.ZCEF=90°,

ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

，ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

•.•四边形ABCD为平行四边形，

.•.NB=ND=70。（平行四边形对角相等）.

故选：C.

17.（2016•呼和浩特）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,

其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=F£则小正方形的周长为（）

ABc口]

'~3~'~6~',3

【考点】LE：正方形的性质.

【分析】先利用勾股定理求出DF,再根据△BEFs^CFD,得里典求出EF即可

DFDC

解决问题.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，面积为24,

，BC=CD=2遥，ZB=ZC=90°,

•.•四边形EFGH是正方形，

.,.ZEFG=90°,

VZEFB+ZDFC=90°,ZBEF+ZEFB=90°,

/.ZBEF=ZDFC,VZEBF=ZC=90°,

.'.△BEF^ACFD,

•EF_BF

••犷而，

vBF=2^.,CF=2Z1,

V6

._EL__V

・・迈y

2

...EF=5福,

8_

正方形EFGH的周长为&

2

故选：C.

18.（2017•广丰区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2,延长AB至点E,使

得BE=1,EF1AE,EF=AE.分别连接AF,CF,M为CF的中点，则AM的长为（）

E

A.2&B.3J2C.红D.2/26

42

【考点】LE：正方形的性质；KP：直角三角形斜边上的中线.

【分析】连接AC,易得AACF是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得

出结论.

【解答】解：连接AC,

...四边形ABCD是正方形，

/.ZBAC=45O.

VEF±AE,EF=AE,

.".△AEF是等腰直角三角形，

/.ZEAF=45°,

/.ZCAF=90o.

VAB=BC=2,

•，.AC={22+2*2

VAE=EF=AB+BE=2+1=3,

•*,AF=V32+32=3^

*#,CF=QAC2+梗44（2破产+（3板）8倔。

•.•M为CF的中点，

.*.AM=1JCF=^26_.

22

故选：D.

19.（2011•云阳县校级模拟）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E,

F,使DE=AD,DF=BD,连接BF分别交CD,CE于H,G下列结论：

①EC=2DG；②NGDH=NGHD；③SMDG=SGHGE;④图中有8个等腰三角形.其中

正确的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【考点】LE：正方形的性质；KH：等腰三角形的性质.

【专题】14：证明题；16：压轴题.

【分析】根据己知可证明aCHG段aEGD,则NEDG=NCGB=NCBF,ZGDH=ZGHD

(等角的余角相等)，SACDG=SCDHGE;故正确的是②③.

【解答】解：•.'DF解D,

/.ZDFB=ZDBF,

VAD/7BC,DE=BC,

，NDEC=NDBC=45°,

/.ZDEC=2ZEFB,

，/EFB=22.5。，ZCGB=ZCBG=22.5°,

CG=BC=DE,

VDE=DC,

AZDEG=ZDCE,

VZGHC=ZCDF+ZDFB=90o+22.5o=112.5°,

ZDGE=180°-(ZBGD+ZEGF),

=180°-(NBGD+NBGC),

=180°-(180°-ZDCG)4-2,

=180°-(180°-45°)4-2,

=112.5°,

，NGHC=NDGE,

.,.△CHG^AEGD,

，NEDG=NCGB=NCBF,

/.ZGDH=ZGHD,

SACDG=SCDHGE-

故②③正确，

故选：D.

20.（2017・济南）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=3&,

E为OC上一点，OE=1,连接BE,过点A作AFJ_BE于点F,与BD交于点G,则

BF的长是（）

D•岁

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAOgAEBO,得到

OG=OE=1,证明△BFGs^BOE,根据相似三角形的性质计算即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，AB=3加,

，NAOB=90°,A0=B0=C0=3,

VAF±BE,

.,.ZEBO=ZGAO,

在△GAO和△EBO中,

rZGAO=ZEBO

<AO=BO，

LZAOG=ZBOE

.,.△GAO^AEBO,

AOG=OE=1,

/.BG=2,

在RtZ\BOE中，BE=,y0B2+QE^V^i，

VZBFG=ZBOE=90°,NGBF=/EBO,

/.△BFG^ABOE,

ABF_BG,即BF=2,

OBBE3V10

解得，BF=沂,

5

故选：A.

二.填空题（共12小题）

21.（2016•沈河区一模）如图，AC是四边形ABCD的对角线，ZB=90°,ZADC=

NACB+45。，BC=AB+«,若AC=CD,则边AD的长为—退

【考点】LG：正方形的判定与性质；KQ：勾股定理.

【分析】作NDCH=NACB,并过D作DH_LCH于H,延长HD交BA延长线于K,

由AAS证明aABC乡△DHC,得出BC=HC,AB=DH,证出四边形BCKH是正方形，

得出NK=90°,BK=HK,由已知条件得出AK=DK=BC-AB=我，ZSADK是等腰直角

三角形，由勾股定理求出AD即可.

【解答】解：作NDCH=NACB,并过D作DH_LCH于H,延长HD交BA延长线

于K,如图所示：

设NDCH=NACB=x,

VAC=CD,

；.NDAC=NADC=x+45",

/.ZACD=180°-2（x+45°）=90°-2x,

，NBCH=90°,

在^ABC和△DHC中，

，ZACB=ZDCH

<NB=/DHC=90°，

AC=DC

.△ABC^ADHC(AAS),

/.BC=HC,AB=DH,

，四边形BCKH是正方形，

/.ZK=90°,BK=HK,

.\AK=DK=BC-AB=«,

...△ADK是等腰直角三角形,

*',AD=VAK2+DK2=^-

22.（2017秋•商城县校级期中）如图，AD是^ABC的角平分线，DE,DF分别是

△BAD和4ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②ADLEF；③当NA=90。

时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE.其中正确的是②③④（填序

号）.

【考点】LG：正方形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平

分线的性质.

【专题】1:常规题型.

【分析】①如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形，ZA=90°,不符合题意，所以

①不正确；

②首先根据全等三角形的判定方法，判断出4AED丝Z\AFD,AE=AF,DE=DF；然

后根据全等三角形的判定方法，判断出AAE0之△AFO,即可判断出ADLEF；

③首先判断出当NA=90。时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩

形，然后根据DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形即可；

④根据4AED之ZXAFD,判断出AE=AF,DE=DF,即可判断出AE+DF=AF+DE成立.

【解答】解：如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形，没有说NA=90。，不符合题

意，故①错误；

•.•AD是4ABC的角平分线，

/.ZEAD=ZFAD,

在4AED和"FD中,

'NEAD=/FAD

<NAED=NAFD=90°

AD=AD

/.△AED^AAFD(AAS),

，AE=AF,DE=DF,

，AE+DF=AF+DE,故④正确；

•.,在△AEO和△AFO中，

'AE=AF

-NEA0=NFA0，

,A0=A0

.'.△AEO^AAFO(SAS),

.*.EO=FO,

又•.•AE=AF,

AAO是EF的中垂线，

，AD_LEF,故②正确；

•.•当NA=90。时，四边形AEDF的四个角都是直角，

...四边形AEDF是矩形,

又：DE=DF,

...四边形AEDF是正方形，故③正确.

综上可得：正确的是：②③④，

故答案为：②③④.

23.(2017•兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,要使四

边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.下面给出了四组条件：®AB±AD,且

AB=AD；②AB=BD,且AB_1_BD；③OB=OC,JIOB±OC；④AB=AD,且AC=BD.其

中正确的序号是①③④.

【考点】LF：正方形的判定；L5：平行四边形的性质.

【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,

二四边形ABCD是菱形，

XVAB1AD,

四边形ABCD是正方形，①正确；

,四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,AB±BD,

•••平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；

•四边形ABCD是平行四边形，OB=OC,

，AC=BD,

二四边形ABCD是矩形，

又OBLOC,即对角线互相垂直，

•••平行四边形ABCD是正方形，③正确；

•四边形ABCD是平行四边形，AB=AD,

二四边形ABCD是菱形，

又•.•AC=BD,...四边形ABCD是矩形，

•••平行四边形ABCD是正方形，④正确；

故答案为：①③④.

24.（2014秋•永新县期末）如图，在aABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、

CA上，且DE〃CA,DF〃BA.下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果NBAC=90。，那么四边形AEDF是矩形；

③如果AD平分NBAC,那么四边形AEDF是菱形；

④如果NBAC=90。，AD平分NBAC,那么四边形AEDF是正方形.

其中，正确的有①②③④（只填写序号）

E.

BDC

【考点】LF：正方形的判定；L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩

形的判定.

【专题】2B：探究型.

【分析】分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及

正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可.

【解答】解：；DE〃CA,DF〃BA,

四边形AEDF是平行四边形，故①正确；

•四边形AEDF是平行四边形，ZBAC=90°,

四边形AEDF是矩形，故②正确；

「AD平分NBAC,四边形AEDF是平行四边形，

二四边形AEDF是菱形，故③正确；

•.•若AD平分NBAC,则平行四边形AEDF是菱形，

.•.若NBAC=90。，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确.

故答案为：①②③④.

25.（2017•郑城县一模）如图，以^ABC的三边为边分别作等边AACD、AABE>

△BCF,则下列结论：：①4EBF四△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当

AB=AC,NBAC=120。时，四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是①②.（请

写出正确结论的序号）.

【考点】LF：正方形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的

性质；L6：平行四边形的判定.

【分析】利用SAS得到4EBF与4DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到

EF=AC,再由aADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD,AE=DF,

利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC,N

BAC=120°,只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项.

【解答】解：•.•△ABE、ZXBCF为等边三角形，

；.AB=BE=AE,BC=CF=FB,ZABE=ZCBF=60°,

/.ZABE-ZABF=ZFBC-ZABF,即NCBA=NFBE,

在AABC和AEBF中，

fAB=EB

<NCBA=NFBE，

BC=BF

/.△ABC^AEBF(SAS),

，EF=AC,

又•••△ADC为等边三角形，

，CD=AD=AC,

/.EF=AD=DC,

同理可得AABC丝△DFC,

，DF=AB=AE=DF,

四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；

/.ZFEA=ZADF,

/.ZFEA+ZAEB=ZADF+ZADC,即/FEB=/CDF,

在^FEB和4CDF中，

'EF=DC

<NFEB=NCDF-

EB=FD

.,.△FEB^ACDF(SAS),选项①正确；

若AB=AC,ZBAC=120°,则有AE=AD,ZEAD=120°,此时AEFD为菱形，选项③

错误，

故答案为：①②.

26.(2017•齐齐哈尔)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,请你添加一个

适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）

【考点】LF：正方形的判定；LB：矩形的性质.

【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正

方形的判定方法即可得出结论.

【解答】解：添加条件：AB=BC,理由如下：

,四边形ABCD是矩形，AB=BC,...四边形ABCD是菱形，

二四边形ABCD是正方形，

故答案为：AB=BC（答案不唯一）.

27.（2013•开福区校级自主招生）按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸

片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为20爽.

【考点】LE：正方形的性质；KQ：勾股定理.

【分析】延长BG,交AE与点C,则易证^ABC是等腰直角三角形，因而AB=AC,

则CE=5,ZSCED是等腰直角三角形，则CD=5&,根据CD=GF,即中间的小正方

形的边长是5m，因而周长是20a.

【解答】解：延长BG,交AE与点C,

VZABC=45°

...△ABC是等腰直角三角形,

/.AB=AC

/.CE=5

VACED是等腰直角三角形，

CD=5&

VCD=GF,

二中间的小正方形的边长是5近,因而周长是20&.

故答案为2072

28.（2014•渝中区校级三模）如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE±

PD的延长线于点E,连接AE、BE、FALAE交DP于点F,连接BF,FC.若AE=2,

则FC=2出.

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】根据正方形的性质可得AB=AD,再求出NBAE=NDAF,ZABE=ZADF,

然后利用"角边角"证明4ABE和4ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得

AE=AF,从而判断出aAEF是等腰直角三角形，根据AE的长度求出EF,过点A

作AHLEF于H,连接BH,根据等腰直角三角形的性质可得AH=EH=FH,利用"角

边角"证明4APH和4BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AH,然后

求出aBEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NEHB=45。，然

后求出NAHB=NFHB,再利用“边角边"证明^ABH和△FBH全等，根据全等三角

形对应边相等可得AB=BF,再根据全等三角形对应边相等求出BE=DF,全等三角

形对应角相等求出NBAH=NBFE,然后求出NBFE=NADF,根据等角的余角相等

求出NEBF=NFDC,再利用“边角边"证明aBEF和ADFC全等，根据全等三角形对

应边相等可得FC=EF.

【解答】解:在正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90°,

VFA1AE,

.•.ZEAF=90°,

/.ZBAE=ZDAF,

*/ZABE+ZBPE=ZADF+ZAPD=90°,

ZABE=ZADF,

在4ABE和4ADF中，

fZBAE=ZDAF

AB=AD，

IZABE=ZADF

.,.△ABE丝"DF(ASA),

，AE=AF,BE=DF,

；FALAE,

.,.△AEF是等腰直角三角形，

EF=MAE=2&,

过点A作AH_LEF于H,连接BH,

则AH=EH=FH,

•••P为AB的中点，

.♦.AP=BP,

在aAPH和ZXBPE中，

rZAPH=ZBPE

<NAHP=/BEP=90°，

,AP=BP

/.△APH^ABPE(AAS),

；.BE=AH,

；.BE=EH,

.••△BEH是等腰直角三角形，

/.ZEHB=45°,

ZAHB=ZFHB=135°,

在△ABH和△FBH中,

(AH二FH

\NAHB=/FHB，

IBB=BH

.,.△ABH^AFBH(SAS),

，AB=BF,NBAH=NBFH,

VAB=CD,

.".BF=CD,

,/ZBFH=ZBAH=ZPBE=ZADF,

/.