中考数学-二次函数面积相关综合问题(函数)(含解析)

2019-2020全国各地中考数学压轴大题函数综合

二次函数面积相关综合问题

1.(2019•黄石)如图，已知抛物线>=工2+法+。经过点A(-1,0)、B(5,0).

.3

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标;

(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8,求四边形AM3C的面积;

(3)定点。(0,m)在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条

新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点。与动点P之间距离的最小值d(用含机的代数式表示)

—(x2-4x-5)=^x2-Ax--.

3333

点M坐标为(2,-3)；

(2)当x=8时，y=L(x+1)(x-5)=9,即点C(8,9),

,3

S四边形1AB(yc»)=L<6X(9+3)=36；

22

(3)y——(x+1)(x-5)—(x2-4%-5)(x-2)2-3,

333

抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,

则新抛物线表达式为：>=天

3

则定点D与动点P之间距离PDx2+(mVx2)2=得.)

•；L〉o,尸。有最小值，当幺=3加-2时,

92

1

即最小值4匹1=粤1

2.(2019•武汉)已知抛物线G：y=(x-1)2-4和。2：>=，

(1)如何将抛物线G平移得到抛物线G?

(2)如图1,抛物线Ci与x轴正半轴交于点A,直线y=经过点A,交抛物线Ci于另一点8.请

3

你在线段上取点尸，过点P作直线尸。〃y轴交抛物线Ci于点。，连接A。.

①若AP=AQf求点P的横坐标；

②若巩=尸。直接写出点尸的横坐标.

(3)如图2,ZiMNE的顶点M、N在抛物线。2上，点M在点N右边，两条直线ME、N£与抛物线。2

均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行.若△拉NE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为小

n,求相与〃的数量关系.

解：(l)y=(X-1)2-4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y=f；

(2)y=(x-1)2-4与x轴正半轴的交点A(3,0),

直线y=-经过点A,

3

；・。=4,

,・.y=-£+4,

3

y=--x+4与y=(x-1)2-4的交点为-£+4=(x-1)2-4的解,

33

・\%=3或x=——,

3

：.B(-工，旦)，

39

设尸0,-乡+4),且-2</V3,

33

・；尸。〃丁轴，

2

：.Q(t,产-2f-3),

①当AP=A。时，

|4-鱼|=|产-2t-3\,

3

贝！|有-4+£=P-2f-3,

3

•••l1一1—,

3

点横坐标为L；

3

②当4P=P。时，

PQ=-产+Z+7,PA=^.(3-t),

33

-尸+Z?+7=3(3_t),

33

'.t=-—■

3

；.尸点横坐标为-Z；

3

(3)设经过M与N的直线解析式为(x-m)+m2,

r-2

.y=x

y=k(x-m)+in2

则有x2-kx+km-川=0,

△=F-4^m+4m2=Qk-2m)2=0,

・・k=2m,

直线ME的解析式为y=2mx-m2,直线NE的解析式为y=2nx-n2,

...E(亚蛆_,mn),

2

222(m2-mn)x(m-业也)

/.—[(n-mn)+(m-mn)]x(m-n)--(n-mn)x(肘n_n)--L

22222

=2,

/.(m-n)3-11rl~"n)”=%

2

/.(m-n)3=8,

Am-〃=2；

3.(2019•十堰)已知抛物线(x-2)2+c经过点A(-2,0)和C(0,卷),与X轴交于另一点5,顶

3

点为D.

(1)求抛物线的解析式，并写出。点的坐标；

(2)如图，点E,尸分别在线段AB,BD上(E点不与A,8重合)，且则△OEF能否为

等腰三角形？若能，求出8E的长；若不能，请说明理由；

(3)若点尸在抛物线上，且■^理=根，试确定满足条件的点P的个数.

^ACBD

__3_

解得/方，

Lc=3

二抛物线的解析式为y=-磊■(x-2)2+3,

二顶点。坐标(2,3).

：.AB=8,AD=BD=5,

①当DE=DF时,ZDFE=ZDEF=ZABD,

：.EF//AB,此时E与2重合，与条件矛盾，不成立.

②当OE=E/时，

4

:.丛BEF空丛AED,

：.BE=AD=5

③当DF=EF时，ZEDF=ZDEF=NDAB=NDBA,

△FDEsADAB,

•EF=DE

"BDAB"

•••1—E—F_BD,_5,

DEAB8

LAEFsLBCE

•EB=EF=5

"ADDEW，

:.EB=^AD=2^,,

88

答：当BE的长为5或空时，ACFE为等腰三角形.

8

(3)如图2中，连接8。，当点尸在线段2。的右侧时，作于连接PD,PH,PB.设尸[小

贝U&PBD=S足PBW+SAPDH~SABDW=-^-X4X[-§-2)2+3]+-^-><3x(〃-2)--1_X4X3=-—(力-4)~+—,

2162282

."=4时，△PB3的面积的最大值为上，

2

・・•/「BD=小

^ACBD

3,

...当点P在2。的右侧时，冽的最大值=4=L,

13

2

观察图象可知：当。＜机＜工时，满足条件的点P的个数有4个,

3

当初=工时，满足条件的点尸的个数有3个，

3

5

当山＞工时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BO的左侧）.

3

4.（2019•荆门）已知抛物线尸五+法+。顶点（2,-1）,经过点（0,3）,且与直线y=x-1交于A,8两

点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点。，M,N,满足SA2AB=SAMO=SANAB=S,求S的值；

（3）在A,B之间的抛物线弧上是否存在点P满足/AP8=90。？若存在，求点尸的横坐标；若不存在,

请说明理由.

（坐标平面内两点M（尤1,%）,N（X2,＞2）之间的距离MN=J（X]-乂2）2+（了]-了2）2）

解：（1）:抛物线的顶点为（2,-1）

，顶点式为y=a（x-2）2-1

•..抛物线经过点C（0,3）

：.4a-1=3

解得：a=l

.•.抛物线的解析式为＞=（x-2）2-l=f-4x+3

⑵6x2-4x+3解得/xi=l,「2=4

Ly=x-1卜1=°1力=3

AA（1,0）,B（4,3）

**,AB=V（4-l）2+32=^[2

设直线y=x-1与y轴交于点E,则E（0,-1）

：.OA=OE=1

：.ZAEO=45°

•sAQAB=SAMAB=SANAB=S

・••点Q、M、N到直线A3的距离相等

如图，假设点M、N在直线AB上方，点。在直线A3下方

MN//AB时，总有SAMAB~S^NAB—S

要使只有一个点Q在直线AB下方满足$△QAB=S,则Q到AB距离必须最大

过点。作。。〃丁轴交A3于点CQDLA3于点。

：.ZCDQ=90°,ZDCQ=ZAEO=45°

6

，△CD。是等腰直角三角形

:.DQ=*CQ

设。。，［-4汁3)贝UC(f,t-1)

：.CQ=t-1-(产-4f+3)=-产+5f-4=-(f-51+③

24

.1=5时，c0最大值为2

24

:.DQ最大值为返

248

.，.S=SAQAB=^-AB'DQ=A-x3^2X—

2288

(3)存在点P满足NAP8=90。.

VZAPS=90°,AB=3A/2

:.AP2+BP2=AB2

设尸(p,p2-4p+3)(l<p<4)

.\AP2=Qp-l)2+(p2-4p+3)2=p4-8夕3+23夕2-26p+10,BP2=(p-4)2+(/-4P+3-3)2="_Sp3+17p2

-8P+16

.*.p4-8夕3+23,2-26〃+10+p4-8P3+1772-8P+16=(3^^)2

整理得：p4-8P3+20.2一I7p+4=O

夕2(p2-8p+16)+4p2-177+4=0

p2Qp-4)2+(4p-1)(72-4)=0

(p-4)[p2(p-4)+(4〃-1)]=0

\><4

：.p-4ro

：.p2(/?-4)+(4p-1)=0

展开得：p3~4p2+4p-1=0

(p3-l)-(4p2-4p)=0

(〃-1)(夕2+p+l)-4p(72-I)=0

(p-1)(p2+p+l-4p)=0

\>>1

：.p-1^0

7

，p2+p+i-4P=0

解得：pi=2巫，02=三豆(舍去)

22

二点P横坐标为3十遍时,满足NAPB=90。.

5.(2019•荆州)若二次函数y=a^+bx+c(际0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(^0)的图象上，则称y

—ar+bx+c("0)为〉=日+/(/#0)的伴随函数，如：＞=/+1是y=x+l的伴随函数.

⑴若＞=/-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若函数y=«u-36〃邦)的伴随函数＞=炉+2尤+〃与x轴两个交点间的距离为4,求加，〃的值.

解：：y=1-4,

；•其顶点坐标为(0,-4),

-4是y=-x+p的伴随函数，

(0,-4)在一次函数y=-x+0的图象上，

/.-4=0+p.

；・p=-4,

,一次函数为：-X-4,

・•・一次函数与坐标轴的交点分别为(0,-4),(-4,0),

・,.直线y=-工+'与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|-4|=4,

；・直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：A-x4X4=8,

(2)设函数y=f+2x+〃与x轴两个交点的横坐标分别为为，处则％1+、2=-2,x\X2=n,

2_=,

・•|x1-x2l^(x1+x2)4x1x2V4-4n

•・,函数+21+几与X轴两个交点间的距离为4,

V4-4n-4,

解得，n=-3,

・,・函数y=/+2x+"为：y=f+2x-3=(x+1)2-4,

8

，其顶点坐标为(-1,-4),

''y=j^+2x+ny=mx-36*0)的伴随函数，

-4=-m-3,

••Z7t=1.

6.(2019•衡阳)如图，二次函数y=/+bx+c的图象与无轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于

点N,以A8为边在x轴上方作正方形A2CD,点P是x轴上一动点，连接CP,过点尸作CP的垂线与

y轴交于点E.

(1)求该抛物线的函数关系表达式；

(2)当点P在线段08(点尸不与。、8重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个

最大值；

(3)在第四象限的抛物线上任取一点连接MN、MB.请问：AMBN的面积是否存在最大值？若存

在，求出此时点/的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)):抛物线〉=/+尿+。经过A(-1,0),B(3,0),

把43两点坐标代入上式，[lf+c=°,

[9+3b+c=0

解得：产-2,

lc=-3

故抛物线函数关系表达式为-2x-3；

(2)VA(-1,0),点8(3,0),

・・・A5=0A+08=1+3=4,

・・•正方形ABC。中，ZABC=90°,PCLBE,

；・NOPE+NCPB=90。,

NCPB+/PCB=90。,

：・/OPE=NPCB,

9

又；NEOP=NPBC=90°,

:ZOEsMBP,

-BC_0P

，'PB'=OE，

设OP=x,贝UPB=3-x,

•4_x

,•3-x=0E'

.*.O£=X(_X2+3X)__L2+卷

V0<x<3,

x/■时，线段。£长有最大值，最大值为a.

216

即。尸=3时，线段OE有最大值.最大值是a.

216

(3)存在.

如图，过点M作必/〃y轴交2N于点"，

•..抛物线的解析式为y=1-2尤-3,

X

/.x=0,y=-3,

・・・N点坐标为（0,-3）,

设直线BN的解析式为y=kx+b,

・j3k+b=0,

,lb=-3

・,・直线BN的解析式为y=x-3,

设M（a,a2-2a-3）,则〃（。，a-3）,

:・MH=a-3-（序-2〃-3）=-«2+3«,

10

.__1_12

==

S&MNB=S4BMH+SAMNHyMH'OByX(-a”+3a)X3

V4<0,

2

.•.a=3时，AMBN的面积有最大值，最大值是空，此时M点的坐标为(W,三立)

2824

7.(2019•常德)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于2、C、D三点,且B点

的坐标为(-1,0).

(1)求二次函数的解析式;

(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧，过M、N作无轴的垂

线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值;

(3)当矩形MM/G的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使△PNC的面积是矩形

面积的且？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由.

将点2的坐标代入上式得：0=4°+4,解得：a=-1,

故函数表达式为：y=-f+2x+3…①；

(2)设点M的坐标为(x,-/+2x+3),则点N(2-x,-/+2x+3),

贝I]MN=x-2+x=2尤-2,GM=-/+2x+3,

矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-/+2尤+3)=-2/+8x+2,

V-2<0,故当X=--L=2,C有最大值，最大值为10,

2a

此时x=2,点N(O,3)与点。重合；

(3)△PNC的面积是矩形MM/G面积的W,

16

贝USAPNC=&<MNXGM=-LX2X3=2L,

16168

连接DC,在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n,

11

过点P作y轴的平行线交。、直线"于点”、G,即P”=GH,

过点P作PK〃LCD于点K,

将C（3,0）、D（0,3）坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CD的表达式为：y=-x+3,

OC^OD,：.ZOCD=ZODC=45°=ZPHK,CD=3®

设点尸（x,-记+2云+3）,则点H（x,-x+3）,

S&/wc=Z^=L<PKxCr>=L<PHxsin45°x3&,

822

解得：PH="HG,

4

贝!]PH=-/+2无+3+x-3=2，

4

解得：X=—,

2

故点p（3,型），

24

直线n的表达式为：y=~x+3--=-x+?…②，

44

联立①②并解得：》=3±3二,

2

即点尸‘、尸"的坐标分别为（丝返，,136J2）、（空运，二3+6忆;

2424

故点P坐标为：（3,坨）或（3+3、②二3-6返）或（3-3、巨二科」返）.

242424

8.（2019•益阳）在平面直角坐标系尤0y中，顶点为A的抛物线与x轴交于8、C两点，与y轴交于点。，

已知A（1,4）,B（3,0）.

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1,连接04作。E〃04交BA的延长线于点E,连接OE交A。于点RM是8E的

中点，则是否将四边形08AD分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2,PCm,“）是抛物线在第四象限的图象上的点，且加+”=-1,连接E4、PC,在线

12

段PC上确定一点使AN平分四边形AOCP的面积，求点N的坐标.

提示：若点A、B的坐标分别为(为，?)、(&，y2),则线段的中点坐标为(其止丝,力+”).

解：(1)函数表达式为：y=a(%-1)2+4,

将点8坐标的坐标代入上式得：0=。(3-1)2+4,

解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-f+2%-3；

(2)0M将四边形0区4。分成面积相等的两部分，理由:

如图1,9,DE//AOySAODA~OEA，

SAODA+S^AOM=SAOEA+S^AOM，艮口：S四边形OMAD=SAOBM^

SAOME=SAOBM，

•,«S四边形OAMO=5\OBM;

(3)设点P(m,n),n=-m2+2m+3,而m+n=-1,

解得：加=-1或4,故点P(4,-5)；

如图2,故点。作QD〃AC交尸。的延长线于点Q,

图2

13

由(2)知：点N是尸。的中点，

将点C(-1,0)、P(4,-5)的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线PC的表达式为：y=-x-l…①，

同理直线AC的表达式为：y=2x+2,

DQ//CA,且直线。。经过点£>(0,3),

同理可得直线的表达式为：y=2尤+3…②，

联立①②并解得：x=-即点。(-2，1),

333

:点N是P。的中点，

由中点公式得：点N(2，-2).

33

9.(2019•湘西州)如图，抛物线>=加+加(。〉0)过点E(8,0),矩形A8CD的边A2在线段OE上(点

A在点8的左侧)，点C、。在抛物线上，NBAD的平分线AM交于点点N是CD的中点，已知

OA=2,且。A：A£)=l：3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F、G分别为无轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、尸构成四边形MNGF,求四边形MNGF周

长的最小值；

(3)在无轴下方且在抛物线上是否存在点P,使小ODP中OD边上的高为殳叵？若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)矩形A8C。不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L且直线KL

平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

解：(1)•.,点A在线段OE上，E(8,0),OA=2

AA(2,0)

\'OA：AD=1：3

14

：.AD=3OA=6

•••四边形ABC。是矩形

：.AD±AB

：.D(2,-6)

•抛物线丫=。/+版经过点。、E

(1

...[4a+2b=-6解得：a7

l64a+8b=0卜=-4

抛物线的解析式为y=»-4x

2

(2)如图1,作点M关于无轴的对称点点M1,作点N关于y轴的对称点点N,连接网卬、GN、MN

-4x=—(x-4)2-8

■22

抛物线对称轴为直线X=4

•.•点C、。在抛物线上，且C£)〃x轴，D(2,-6)

''yc—yD--6,即点C、。关于直线x=4对称

：即

.xc=4+(4-XD)=4+4-2=6,C(6,-6)

：.AB^CD=4,B(6,0)

：AM平分/BAO,ZBAD=ZABM=90°

：.NA4M=45°

：.BM=AB=4

：.M(6,-4)

•..点M、Af关于x轴对称，点厂在x轴上

：.M(6,4),FM=FM

为CO中点

：.N(4,-6)

,:点、N、N关于y轴对称，点G在y轴上

:.N(-4,-6),GN=GN

：.C四边形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF+FM

•.•当P、G、N在同一直线上时，NG+GF+FM^MN最小

12

C四边彩MNGF=MN+MN=y(6-4)2+(_4+6)2T(6+4)2+(4+6)2=2^2+10&=V2

15

四边形MNGF周长最小值为1272.

(3)存在点P,使△OOP中。。边上的高为$叵.

5

过点P作PE//y轴交直线OD于点E

,：D(2,-6)

•二OD=Q[2+62=2410,直线OD解析式为y=~3x

设点P坐标为(3X2-4r)(0<Z<8),则点E。，-3/)

2

①如图2,当0<f<2时，点尸在点。左侧

/.PE=yE-yp—~3t-(JL/2-4/)=-^-P+t

22

SAODP=SAOPE+SADPE~—PE*xp+—PE9(XD-xp)=—PE(%P+切-xp)=—PE*XD=PE=-

22222

△OOP中OD边上的高h=

5

**•SAODP=—OD*h

2

/.-=_Lx2</lQx^Zl2.

225

方程无解

②如图3,当2<f<8时，点尸在点。右侧

.'.PE—yp-yE—^-t2-4r-(-30—^-t2-t

22

SAODP=SAOPE_5ADPE=—PE*xp-—PE*(xp-XD)=—PE(xp-XP+XD)=—PEuXD=PE=^-i1-t

22222

.•工-口2工曳匝

225

解得：fi=-4(舍去)，々=6

：.P(6,-6)

综上所述，点P坐标为(6,-6)满足使△ODP中OD边上的高为殳叵.

5

(4)设抛物线向右平移机个单位长度后与矩形有交点K、L

,:KL平分矩形ABCD的面积

；.K在线段AB上，L在线段C£>上，如图4

：.K(m,0),L(2+徵,-6)

连接AC，交KL于点、H

16

**SAACD=S四边形A£)LK="^S矩形A5C。

2

*•SAAHK=S>CHL

：AK//LC

4AHKSACHL

.SAAHK悝)2=1

-SACHLCH

\AH=CH,即点”为AC中点

,.H(4,-3)也是KI中点

・m+2+m.

.^-=4

*.m=3

,•抛物线平移的距离为3个单位长度.

17

10.(2019•常州)如图，二次函数y=-x2+6x+3的图象与X轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标

为(-1,0),点。为0c的中点，点P在抛物线上.

(1)b=2；

(2)若点尸在第一象限，过点P作轴，垂足为“，PH与BC、8。分别交于点M、N.是否存在

这样的点尸，使得PM=MN=AW?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P的横坐标小于3,过点尸作PQVBD,垂足为Q,直线PQ与无轴交于点K,且SAP°B=2SA”小

求点P的坐标.

-1-b+3=0

解得：b=2

故答案为：2.

(2)存在满足条件呢的点尸，使得PM=MN=NH.

V二次函数解析式为y=-^+2了+3

当x=0时y=3,

：.C(0,3)

当y=0时，-e+2工+3=0

解得：尤i=-1,忿=3

.,.A(-1,0),B(3,0)

直线BC的解析式为y=-尤+3

•点D为OC的中点，

：.D(0,工)

2

直线BD的解析式为丫=-'x+y

18

设P(f,-1+2什3)(0<f<3),则-t+3),Nd,-L+S),HG,0)

22

:.PM=-P+2t+3-(-什3)=-尸+3r,MN=-f+3-(-Xr+A)=-L+旦，NH=-

222222

：.MN=NH

■:PM=MN

/.-於+3/=-Xr+J.

22

解得：n=—,f2=3（舍去）

2

:.P（-L,互

24

；.尸的坐标为（!，匹），使得PM=MN=NH.

24

（3）过点尸作P/U.X轴于尸，交直线8。于E

'：OB=3,OD=i,ZBOD=9Q°

2

**,SD=VOB2+OD2=

OB二3二2旗

/.cosZOBD=

而二道二5

2

-JPQLBD于点。，PF±x轴于点F

：.NPQE=/BQR=NPFR=90°

：.ZPRF+ZOBD=ZPRF+ZEPQ=90°

NEPQ=NOBD,即cosZEPQ=cosZOBD=

在R3PQE中，cos/E尸。=里/遥

PE-5

:.PQ=2辰PE

5

在RtAPFR中，cosZRPF^-2a^

PR-5

5

,:SXPQB=2SAQRB，5APQB=—BQ*PQ,QRB=—BQ*QR

22

:.PQ=2QR

设直线BD与抛物线交于点G

19

,/--Y+—=-^+2^+3,解得：龙i=3（即点B横坐标），X2=~—

222

.•.点G横坐标为-工

2

设尸（/,-产+2f+3）G<3）,贝！|£（t,-L+3）

22

：.PF=\-产+2什3|,PE=\--+2f+3-（-L+W）|=|-

2222

①若-L<r<3,则点P在直线8。上方，如图2,

2

:.PF=-产+2f+3,PE=-5+且+刍

22

,:PQ=2QR

；.尸。="|_尸7?

2娓PE=工叵PF,即6PE=5PF

532

/.6（-产+_^j+W）=5（-5+2/+3）

22

解得：0=2,亥=3（舍去）

：.P（2,3）

②若则点尸在x轴上方、直线2。下方，如图3,

2

此时，PQ<QR,即SAPQB=2SAORB不成立.

③若r<-l,则点尸在x轴下方，如图4,

：.PF=-（-产+2/+3）=--2f-3,PE=-L+乡-（-产+2f+3）=--乡-8

2222

,：PQ=2QR

：.PQ=2PR

.•.空巨PE=2•近_PF,BP2PE=5PF

52

.".2（p-N-W）=5（户-2f-3）

22

解得：tl=-t2=3（舍去）

3

：.p（-A,-11）

39

综上所述，点P坐标为（2,3）或（-鱼-11）.

39

20

11.(2019•苏州)如图①，抛物线y=-/+(a+1)x-a与x轴交于A,8两点(点A位于点8的左侧)，与

y轴交于点C.已知AABC的面积是6.

(1)求a的值;

(2)求△ABC外接圆圆心的坐标;

(3)如图②，尸是抛物线上一点，。为射线C4上一点，且P、。两点均在第三象限内，Q、A是位于直

线2尸同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,AOPB的面积为2d,且/以。=/4。2,求点。的

图①

".-y=-—+(fl+1)x-a

令y=0,即-r+(a+1)尤-a=0

21

解得修=〃，X2=l

由图象知：a<0

AA(m0),B(1,0)

•ABC=6

,•y(l-a)(-a)=6

解得：〃=-3,(a=4舍去)

(2)设直线ACy=kx+b,

由A(-3,0),C(0,3),

可得-3左+。=0,且。=3

/.k=1

即直线AC：y=x+3,

A、C的中点D坐标为(-S,W)

22

线段AC的垂直平分线解析式为：y=-尤,

线段AB的垂直平分线为工=-1

代入y=-x,

解得：y=l

.♦.△ABC外接圆圆心的坐标(-1,1)

图②

作PM_Lx轴，则

s为AP事WM、X4Xd

22

S-

■APQBSA.尸AC

；.A、。到PB的距离相等，J.AQ//PB

设直线尸8解析式为：y=x+6

•.•直线经过点8（1,0）

所以：直线尸3的解析式为>=尤-1

联立［J尸一X2-2x+3

.y=x-l

解得：卜二一4

ly=-5

；.点尸坐标为（-4,-5）

又•.•/B4Q=NAQB

可得：△PBQ出LABP（A4S）

：.PQ=AB^4

设。（”2,机+3）

由PQ=4得：

（irrl-4）2+（irrl-3+5）2=42

解得：m=-4,m=-8（舍去）

Q坐标为（-4,-1）

12.（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与无轴交于A、8两点，。为顶点，其中点B的坐标为（5,0）,

点。的坐标为（1,3）.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E是线段8。上的一点，过点E作无轴的垂线，垂足为尸，且ED=EF,求点E的坐标.

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得AAOG的面积是ABOG的面积的上？若存在，求出

5

点G的坐标；若不存在，请说明理由.

23

解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x-1）2+3

将点8代入得0=。（5-1）2+3,得

16

...二次函数的表达式为：y=-A（x-1）2+3

16

（2）依题意，点2（5,0）,点。（1,3）,设直线2。的解析式为y=fcv+6

代入得信心解得

线段BD所在的直线为y=等+竽，

设点E的坐标为：（尤，-X.r+Ai）

44

：.ED2=（x-1）2+（-当+至-3）2

44

EF=4X+T）2

•；ED=EF

：.（x-1）2+（-率+普-3）2=

整理得及+5%-25=0

解得制=a，x2=-5（舍去）

2

故点E的纵坐标为y=号x?■+"竽"=号

.•.点£的坐标为（5,至）

（3）存在点G,

设点G的坐标为（尤，r）

.点8的坐标为（5,0）,对称轴尤=1

.,.点A的坐标为（-3,0）

24

，设AD所在的直线解析式为y=kx+b

代入得｛鼠+b

直线AQ的解析式为y=,x居

：.AD的距离为5

点G到AD的距离为：%=Ax+ByK=红毒生

5

由（2）知直线3。的解析式为：y=至，

44

.•.2D的距离为5

...同理得点G至BD的距离为：4=A：+By+C=3x+4t+15

5

...S/kAPG_皿’力,2—3x-4t+9=3

S/kBDGBD»d23x+4t+155

整理得5x-32f+90=0

•.•点G在二次函数上，

',t=-T^-（X-1）2+3

16

代入得5x-32[-（x-1）2+3]+90=0

16

整理得6--7%=06（6x-7）=0

解得即=0，X2=—

6

此时点G的坐标为（0,驾）或（工，旦»）

166192

13.（2019•枣庄）已知抛物线尸加+*+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,8两点（点8在点A

右侧），与y轴交于点C.

25

yy

图1图2

（1）求抛物线的解析式和A,8两点的坐标；

（2）如图1,若点尸是抛物线上2、C两点之间的一个动点（不与2、C重合），是否存在点尸，使四边

形HBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形P80C面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N,当MN=3时，

求点M的坐标.

解：（1）•••抛物线的对称轴是直线x=3,

3_

-上―=3,解得a=-X,

2a4

.••抛物线的解析式为：>=-h+当+4.

42

当y=0时，-L2+当+4=0,解得xi=-2,必=8,

42

.,.点A的坐标为（-2,0）,点3的坐标为（8,0）.

答：抛物线的解析式为：y=-工『+工+4；点A的坐标为（-2,0）,点8的坐标为（8,0）.

42

（2）当x=0时，/=-工/+当+4=4,

42

.,.点C的坐标为（0,4）.

设直线BC的解析式为y=fcv+b（厚0）,将2（8,0）,C（0,4）代入y=fcr+6得

（1

件+b”解得卜二万

直线BC的解析式为y=-Xc+4.

假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，

设点尸的坐标为（尤，-打+工+4）,如图所示，过点P作尸D〃y轴，交直线BC于点则点。的坐

42

26

标为(x,-L:+4),