小学奥数立体图形

第n讲立体图形

［内容概述】

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向

的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.

【典型问题】

1)@级数*

第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12题(略有改动)

1.用棱长是1厘米的立方块拼成如图11T所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?

图11-1

【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3X3=9个小正方形的面积,

朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都

等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)X2=46个小正方形的面积，而每个小正

方形面积为1平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米.

1993年全国小学数学奥林匹克•初赛A卷第10题

2.如图11-2,有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5,3,2的长方体,

那么它的表面积减少了百分之几？

【分析与解】原来正方体的表面积为5X5X6=150.

现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3X2)X2=12,12+150=0.08=8%.

即表面积减少了百分之八.

的曲级数：***

3.如图11-3,一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条,

每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

图11-3

【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.

现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积IX1=1（平方米），所以表面积增

加了9X2X1=18（平方米）.

原来正方体的表面积为6X1=6（平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方

米）.

嶙遒翔虹****,

也手”二届“迎春杯”数学竞赛•决赛第二题第1题

4.图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边

长1厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米？

【分析与解】原正方体的表面积是4X4X6=96（平方厘米）.

每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的

表面积的组成部分.总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形.

从而，它的表面积是96+4X6=120平方厘米.

跳）（©级数：**

192年全国小学数学奥林匹克•初赛第12题

5.图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方

体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，

2

边长为兴米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?

【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面.

所以，最后得到的立体图形的表面积是：

2X2X6+1X1X4+X-X-X4+-X-X4=29.25（平方厘米）.

2244

跳）励级数：*

6.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在

中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水

里，大水池的水面升高了多少厘米・

【分析与解】放在中水池里的碎石的体积为3X3X0.06：0.54立方米；

放在小水池里的碎石的体积为2X2X0.04=0.16立方米；

则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6X6=36平方米的大水池中，则

_770017

使大水池的水面升高0.7+36=——米=——厘米=1一厘米

36036018

跳（©级数：*

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•复赛第6题

7.如图11-6,从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后,

沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

【分析与解】容器的底面积是（13-4）X（9-4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器得体积为：

45X2=90（立方厘米）.

跳。级数：***

北京市第八届“迎春杯”少年数学邀请赛•决赛第二题第6题

8.今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切

下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大

的切下一个正方体.问剩下的体积是多少立方厘米？

【分析与解】本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4,为了叙述方便,

我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第

三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求.

于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体

的棱长为12厘米、9厘米、6厘米.

所以剩下的体积应为：

21X15X12-（123+93+63）=1107（立方厘米）.

@@级数：/

第四&'华罗庚金杯”少年数学邀请赛•初赛第3题

9.如图11-7,有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.那么，圆锥

体积与圆柱体积的比是多少？

图11-7

【分析与解】圆锥的体积是』x22x4x）=3肛，圆柱的体积是42X8X〃=128».

33

所以，圆锥体积与圆柱体积的比是3万：128万=1:24.

3

励励级数：**

第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛口试第23题

10.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年改用长3米宽2

米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤.问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？

333232

【分析与解】底面周长是3,半径是上-，万X（上-）2=2-所以今年粮囤底面积是二L,高是2.

214乃4万

同理，去年粮囤底面积是—，高是1.

4〃

3222

―2）+（「xl）=4.5.

4乃4乃

因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍.

线励级数：***

11.一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径

为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中.求这时容器的水深是多少厘米？

【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在

水中体积之和，因而水深为：

52X^-X15+22X^X18

=17.72（厘米）;

5?x%

它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中.此时容器与铁圆柱组成一个类似于下

图的立体图形.

底面积为524一22%=21万，水的体积保持不变为52%xl5=3154.

所以有水深为一±=17-（厘米），小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出

2E7

于是179厘米即为所求的水深.

7

级数：**

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•初赛第5题

12.如图11-8,用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问

这个物体的表面积是多少平方米？（%取3.14）

【分析与解】物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即

2x^-xl.52+2x%x1.5*1+2x乃x1x1+2x；rx0.5x1

=4.5万+3乃+2万+乃

=10.54

a32.97（平方米）

即这个物体的表面积是32.97平方米.

侬想级数*拳*

殳届“华罗庚金杯”少年邀请赛•决赛口试第8题

岖市第二十二届《中小学数学教学》“数学解题能力展示”读者评选活动小学高

年级组•初赛第9题（略有改动）

13.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上

加固.所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米.若每个尼龙条加固时接头处都重叠

5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？

【分析与解】长方体中,高+宽=+(365-5)=180,...............①

高+长=1(405-5)=200,.......................................②

2

长+宽(485-5)=240,.......................................③

2

②-①得长-宽=20,.........................................④

④+③得长=130,则宽=110,代入①得高=70,所以长方体得体积为：

70X110X30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米).

北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛•决赛第二题第5题

14.有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的,，乙的棱长是丙的棱长

2

2

的一.如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要

3

这3种木块一共多少块？

【分析与解】设甲的棱长为1,则乙的棱长为2,内的棱长为3.显然，大正方体棱长不可能是4,否则

无法放下乙和丙各一个.

于是，大正方体的棱长至少是5.事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，

其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：

5X5X5-1X3X3X3-7X2X2X2=42(ft).

因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块).

曲越级数：****

第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛二试第4题

15.有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得

有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，

有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的,

染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体.分割完毕后，恰有一面是红色的小正