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文档简介
人教版高中数学(2019)必修第一册4.3.1对数的
概念教学设计
一、内容及其解析
i.内容:对数的概念、对数与指数之间的关系、对数的性质、对数的运算性质、对数的
换底公式。
2.内容解析:
内容的本质:对数是指数运算的逆运算,是一类重要的函数,在实际生活中有广泛的应
用。对数具有积的对数等于对数的和、商的对数等于对数的差以及一个数的〃次方的对数等
于这个数对数的〃倍的运算性质。
蕴含的数学思想和方法:在理解对数概念时,体会数学符号抽象的过程。对数教学中,
蕴含着类比转化的思想。
知识的上下位关系:“对数的概念一一对数与指数之间的关系一一对数的性质一一对数
的运算性质一一对数的换底公式”,通过对数与指数之间的关系,理解对数的概念,建立知
识之间的前后联系,接下来学习对数的性质为学习换底公式作铺垫。通过指数的运算推导对
数的运算性质,最后根据对数的定义推导换底公式。对数的运算性质和换底公式都是由对数
的概念推导得来,并且与指数的运算性质有密联系,知识环环相扣。
育人价值:对数式是数学学习中的重要知识点,为学习对数函数这一重要的初等函数夯
实基础。学习对数的概念要在掌握指数概念基础上进一步学习,注意指数和对数之间相互联
系和区别,引导学生对概念进行类别。同时,引导学生通过对数概念推导对数的运算性质,
学会灵活运用已学知识。培养学生从实际问题中抽象出数学符号的能力,使学生形成类比转
化意识,提高严谨的逻辑推理能力以及运算能力。
教学重点:理解对•数的概念,学会对数式与指数式之间的相互转化,利用对数的概念求
解对数式中的未知数。利用对数运算性质计算,综合利用换底公式和常用对数化简对数式。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
(1)了解对数的概念,理解对数与指数之间的关系,能利用对数的概念掌握对数与指
数之间的相互转化,并且了解常用的两个对数(常用对数和自然对数),利用对数的定义求
解对数式的值,通过对数与指数之间的关系求解对数式中的参数,掌握参数的取值范围。
(2)知道对数的运算性质是怎样由指数的运算推导得来,并灵活运用对数的运算性质
计算对数式的值。
(3)了解由对数与指数之间的关系推导换底公式的过程,学会利用换底公式化简对数
式,以及利用常用对数表示复杂的对数式。学会综合利用换底公式和对数的运算性质。
2.目标解析
达成以上目标的标志是:
(1)熟悉指数与对数运算之间互逆的关系,能根据对数的概念进行指数与对数之间的
互化并会对数式的计算(知二求一)。
(2)会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则,能用符号语言和文字语言描述对
数运算法则,并能利用运算性质完成对数运算。
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
(1)学生难以理解对数与指数符号之间的关系,在应用对数概念进行运算时,会出现
符号混乱的现象。这就要求教师在教学时首先要让学生清楚指数式中哪个是指数,哪个是底
数,再思考对数式中真数是指数式中的哪部分,避免当题目换成其它字母时,学生就不清楚
该如何进行指对互化,其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解,教师要引导学生思
考,引导学生与指数式进行联系,并加以证明。
(2)熟悉对数运算法则,首先类比指数运算法则对照记忆,其次强化法则使用的条件,
提醒学生注意对数式中每个字母的取值范围,最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级
的运算转化为低一级的运算,从而简化计算方法,加快运算速度,显示对数计算的优越性。
2.教学难点:对数概念的理解,综合利用对数的运算性质和换底公式。
四、教学支持条件分析
有了指数学习的积累,进一步认识对数的概念并理解对数与指数互逆的关系。通过生活
实际问题引出对数的概念。
五、课时教学设计
第1课时4.3.1对数的概念
(-)课时教学内容:
对数的概念,对数与指数之间的相互转化,利用对数的概念计算对数值以及应用指数与
对数互相转化解决对数中未知数求解问题。
(二)课时教学目标:
1.通过指数基运算,理解对数的概念,了解对数与指数之间的关系。让同学们体会指数
与对数之间相互转化的过程,培养学生等价转化的数学思想。
2.掌握对数与指数之间相互转化的过程,在理解对数概念的基础上,学会应用对数概念
解决指数式转化为对数式,对数式转化为指数式的问题。
3.熟练掌握对数的概念,运用对数的概念解决求真数、底数以及对数式的值的问题。树
立学生数学符号抽象的概念,提升学生的计算能力以及抽象思维能力。
(三)教学重点及难点
1.教学重点:
(1)对数的概念
(2)对数式与指数式之间的相互转化
2.教学难点:
(1)理解对数的概念
(2)利用对数式与指数式之间的相互转化计算求值
(四)教学过程设计
【问题1】截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能够将人口年平均增长率控
制在现,设x年后我国人口数为1999年底人口数的y倍,建立y与x之间的关系。
师生活动:
1.学生独立思考并回答。
2.教师指明学生回答中不完善的地方。预设学生可能回答y=1.01",教师请同学们思
考应该补充什么条件,学生回答补充条件x>0。教师进行说明倍数应该用正数进行表达,
并且此函数为指数函数。
设计意图:
对数函数与指数函数有密切联系,通过情境设置,让学生回顾指数函数。
追问:如何计算10年、20年、30年后人口数分别可达到1999年底人口数的多少倍?
要想求塞的值,应已知什么条件?
师生活动:
1.学生列出指数函数关系式并思考教师提出的问题,回顾指数的概念,再根据所列函数
说明这类问题属于已知底数和指数,求幕值的问题。因此要想求幕的值应已知底数和指数。
2.教师指明,指数与对数存在相互转化的关系,接下来让我们探究对数的概念。
设计意图:
回顾指数式中的底数、指数、基的概念,为讲解对数的概念作铺垫。
【问题2]那么,请同学们思考经过多少年后,人口数可达到1999年底人口数的2倍、
3倍、4倍?
师生活动:
1.学生根据题意列出表达式:2=1.01*,3=1.01*,4=1.01x
2.教师引导学生思考如何求解表达式中的未知数,为后面的学习埋下伏笔,启发学生思
考并产生学习兴趣,培养学生的探究意识。
设计意图:学生通过思考在心中产生疑问,从而带着问题学习下面的内容,可以更顺利
地理解下面所学的知识。提高学生发现问题、解决问题的能力。
追问1:此类问题的特点是什么?
学生回答:此类问题为已知底数和幕的值,求指数。
追问2:怎样求指数呢?一般地,在优=773>0,。/1)中,已知a,N,则x=?
设计意图:学生思考如何求指数的问题,从而顺利地引入对数的概念,同时使学生在学
习过程中有意识地将对数和指数的概念形成对比。同时,这也是一个从具体到抽象的过程,
对培养学生抽象素养起着重要的作用。
【问题3]请同学们阅读课本第122页并思考指数式与对数式之间的关系?
师生活动:
学生自主学习,形成对对数概念的认识。
设计意图:
学生通过自主学习,形成认识,教师再进行引导,树立学生是学习的主体。
【问题4]从运算的角度来看,对于乘方运算x”,设其结果是即x"=a。已知〃,
a,求x,则x=?;在优=N(a>0,aw1)中,已知N,a,求x,则x=?
师生活动:
教师指明,通过上述问题引入符号log。N,相应的把a叫做对数的底数,N叫做真数。
阐述对数运算是乘方运算的一种逆运算;log,N是一个确定的数,是表示数的一种方式;
log(,N是优=N中的x相对应的那个数,即相对应的指数。
设计意图:帮助学生理解对数的概念。
一般地,如果优=N(a>0,a工1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log”N,
其中。叫做对数的底数,N叫做真数。当。〉0且aHl时,我们把/=N称作指数式,把
log“N=x称作对数式。
【问题5】根据对数定义,思考指数式与对数式之间的关系?
师生活动:
1.学生思考、交流、发言。
2.教师进行总结:对数式和指数式是表示a,x,N三者之间同一关系的两种表达形
式,可相互转化。当。>0,。工1时.,a'=N=x=logaN。让学生了解指数与对数的关
系,明确对数式与指数式形式的区别,a,x和N位置的不同以及它们的含义、互化,体现
了等价转化数学思想。
3.巩固练习(1):把下列对数式化为指数式,指数式化为对数式:
①夕=625②2-6=-!-③(与"=5.73©log,16=-4
6432
设计意图:体会定义中指数式和对•数式的关系,掌握指对互化思想,加深对对数概念的
理解。
【问题6】将指数式IO"=o.oi化为对数式。
师生活动:
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,并把log1°N记作IgN。在科学技术中常
使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把log,N记
为InN。
追问:说出下列各式的意义,并将其转化为指数式。
①IglOO=2(2)1g100=4.606
设计意图:介绍常用对数和自然对数,检验学生对特殊对数的理解情况,为解题以及换
底公式作铺垫。
【问题7】对数式log“N=x中a,x,N相应的取值范围?任何实数都有对数吗?
师生活动:
学生回答:ae(O,l)U(l,-H»)-XGR,NW(0,+8)
设计意图:正确理解对数定义中底数的限制,为以后对数函数定义域的确定做准备,同
时注意对数的书写格式,避免因书写不规范而产生的错误。
追问:负数和零为什么没有对数?
设计意图:体会对数与指数之间的关系。
【问题8】a0=l,4=〃3>0且aHl)把它们化为对数式会得到什么呢?
学生回答:log。1=0,log.。=1
设计意图:理解和掌握对数的性质,培养学生类比、分析、归纳能力。
【问题9】求下列各式中x的值
2
©log^x=:--②log<8=6③lgl00=x@-lne2=x
师生活动:学生练习并在黑板展示结果,若学生无思路,教师指导考虑对化指。教师规
范解题过程。总结应用指对互化解决对数中未知数的问题(知二求一):首先将对数化为指
数式,再求解x的值。
设计意图:指导学生在互化时要注意参数的取值范围,培养学生严谨的思维品质。
【课后作业】
第123页练习1,2、3
设计意图:巩固对数的概念以及熟练掌握指对互化的应用。发现学生在学习过程中存在
的问题,弥补教学中的不足。
(五)目标检测设计
目标检测题:
1.将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式。
(1)3r=1(2)x=logs27
检测目标:检测指对互化的应用,检测学生对对数概念的掌握情况。
2.求下列各式的值
(1)log927(2)log5125
检测目标:检测利用对数概念计算对数式的值。
3.求下列各式中x的值
3
x=
(1)logv16=2(2)log8,~~
检测目标:利用指对互化解决对数中未知数求解问题。
第2课时4.3.2对数的运算
(-)课时教学内容
对数的运算性质和对数的换底公式
(二)课时教学目标
1.通过对数与指数之间的关系,利用指数塞运算性质推出相应的对数运算的性质,落实
类比转化思想.
2.理解记忆并正确书写出对数运算性质,能灵活应用对数运算性质进行化简求值.
3.会根据对数的定义,推导出对数的换底公式运用的条件;会迁移运用到生活实际问题
中,使运算更简便,使对数运算性质使用更熟练;提高学生的计算、推导和证明的能力,发
展数学运算素养.
(三)教学重点与难点
1.教学重点:对数的运算性质与换底公式
2.教学难点:对数运算性质与换底公式及其拓展公式的推导与应用
(四)教学过程设计
【问题1]大家还记得之前学过的指数靠运算的性质吗?
师生活动:
1.学生独立回顾指数塞运算性质,默写在草稿纸上并在课堂上回答老师.
2.教师与同学们一起回顾并板书,并指明,我们知道了对数可以看做是指数运算的逆运
算,那么是否可以利用指数暴运算性质得出相应的对数运算性质,为此,我们需要进一步探
讨,这就是我们这节课要学习的一个内容.
设计意图:师生一起互动回顾已学知识,了解本课时所学内容以及探讨的方向.
【问题2]我们学习了,那么指数加+“如何表示,能用对数来运算吗?
师生活动:
1.教师引导并带领学生利用对数与指数的关系a'=N=log“N=x进行转化计算.
解:设a"'=M,a"=N
则有log“M=九log“N=n
又a"'•a"W=MN
所以a"""=MN
则log“(A/N)-m+n=log“M+log,,N
(积的对数=对数的和)
2.学生结合指数暴乘法运算性质,跟紧老师的思维和推到节奏,理解转化关系的灵活性
和巧妙性.
设计意图:教师演示转化、类比过程,学生能够理解其中的道理,培养学生数学逻辑和
数学运算能力.
【问题3】请大家仿照老师刚刚演示的推导过程,由am^an=a'"-n和(a"')"=anm
推出对数运算的其他性质.
(1)知道a'"+an=am-n,用对数式表示m-n.
(2)知道("")"=腔",用对数式表示相〃.
师生活动:
1.教师布置任务,让学生自己动手,尝试推导对数运算其他的性质.这部分教师可巡堂
指导,并请先写完的学生上黑板展示.
2.学生仿照推导性质1的过程,分析问题(1)、(2)进行类比,独立写出帆-〃和机〃
的对数式表达形式,即对数的另外两个运算性质.
设计意图:教师与学生充分互动,展现学生主体性的地位,培养学生独立思考和动手能
力,使思维更清晰,更容易理解和记忆该性质.
解:⑴设d"=M,a"=N
由于对数的定义,log“M=/〃,log“N=〃
m
EI±Ma.M
则有——=—=a=>m—n=log„—
Na""N
B|JlogflM-log(,^=logfl—
(商的对数=对数的差)
(2)设a'"=M,则M"=(a™)"=amn
由对数的定义,log«M,lognM"=mn
所以log"M"=mn=nlog“M
即logaM"=〃log“M
(一个数的〃次方的对数=这个数对数的〃倍)
追问:你知道使用对数运算性质时a,M,N需要满足怎样的条件吗?
师生活动:
1.学生思考回答各自不同的答案.
2.教师点评并给出准确条件a>(),且aw1,〃>(),N>0.
【巩固练习I]
1.求下列各式的值
(1)IgVlOO
75
(2)log2(4x2)
(3)log35-log315
(4)Ig5+lg2
r;
2.用lnx,lny,Inz表示In―
yjz
设计意图:使学生可以掌握并灵活选择对数运算性质进行计算.
【问题4】你可以利用计算工具直接算出In2/n3的近似值吗?
师生活动:
1.学生使用课前准备好的计算工具,可以直接计算出In2,In3的近似值.是因为计算工
具上有In按键,故可直接进行计算.
2.追问①:那可以直接计算出log23的值吗?
学生进行回答.
追问②:那么你可以根据对数的定义,利用In2,In3的值求log?3的值吗?
教师提示:对数定义:a'=NoTog.N=x
解:设In2=a,ln3=b,k>g23=x
根据对数定义有=2,/=3,2"=3
代入整理得:(e")'=/
b
则有ax=b=>x=—
a
即1%3=当
追问③:那么,请问在此基础上,你可以根据对数定义,利用log,a,log,b表示log“b
(a>O,且awl;A>O,c>(),且cNl)吗?
教师提示:类比追问②
解:设log“b=x,则
于是log,优=log,。(等式两边同时取以c•为底的对数)
根据性质3可得log,/=/*
log,,a
教师指明,该公式即为对数换底公式.
追问④:除了利用对数的定义进行换底公式的推导,你还有其他方法吗?
设计意图:从借助计算工具到利用对数定义进行推导,是让学生体会从特殊到一般的推
导过程,培养学生发散思维,加强对该公式的理解.
【巩固练习2]
1.P125例5
2.化简下列各
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