第21章 二次函数与反比例函数 章节测试卷-2024-2025学年沪科版九年级数学上册

第21章《二次函数与反比例函数》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．反比例函数y=k−2x过点1，A．不过第一象限B．y随x的增大而增大C．一次函数过点2，2．一次函数y=cx−b与二次函数y=axA．

B．

C．

D．

3．已知抛物线y=x2+m+1x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A．2+5 B．2−5 C．2 4．已知点A(a,y1)，B(a+2,y2)，在反比例函数y=|k|+1A．a<0 B．a<−2 C．−2<a<0 D．a<−2或a>05．已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在A．−4或−12 B．4或−12 C．−4或6．已知二次函数y=−x+m−1x−m+1，点AA．若x1+x2>1，则yC．若x1+x2>−1，则y7．如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（A．mn=−2 B．mn=−4 C．n=−2m D．n=−4m8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A1，0和点A．0<m<3 B．−6<m<3 C．−3<m<6 D．−3<m<09．如图是抛物线y=ax2+bx+ca≠0的部分图象，其顶点坐标为1，n，且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点m，0在A．①②③ B．①④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C、D，若点C的横坐标为6，BE=2DE

A．372 B．725 C．96二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，则关于x

12．将二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为213．抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B(1)则点C的坐标为；(2)若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE∥AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作菱形DPEQ，点P在x轴上，若PQ=115．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B

16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB是等边三角形，且点B的坐标为4，0，点A在反比例函数（1）反比例函数y=kx的表达式为（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：kk1（填“②当函数y=kx的图象经△O1三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，一次函数y=x−2与反比例函数y=kxk>0相交于点A3，(1)求反比例函数解析式(2)点P是y轴上一动点，连接PA，PB，当PA+PB的值最小时，求(3)在（2）的条件下，C为直线y=x−2的动点，连接PC，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点D，在C运动过程中，求PD的最小值．18．（6分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．19．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx−52

(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−32,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点21．（8分）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A

(1)求这两个函数的表达式；(2)当y1随x的增大而增大，且y1<(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的右边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−4a≠0的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点

(1)求直线CA的表达式；(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n0<n<4．当△PCA的面积取最大值时，求点P(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．23．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C4,m，D

(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F2,n，交y轴于点G，点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标；并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程．答案解析选择题1．B【分析】把点1，2代入反比例函数y=k−2x，求出k的值，再把【详解】解：∵反比例函数y=k−2x过点∴2=k−2，解得k=4，∴一次函数y=kx+k−5的解析式为y=4x−1，∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意；∵4＞∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；∵当x=2时，y=4×2−1=7，∴一次函数不过点2，∵y=4x−1与坐标轴的交点为0，∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为12故选：B．2．D【分析】先假设c<0，根据二次函数y=ax2+bx+c再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx−b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=ax【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象与y若c>0，b<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=−b2a故选：D．3．D【分析】当x=0时，可求得B为0，−14m2−1，由OA=OB可得A为−【详解】解：当x=0时，y=−1∴抛物线与y轴的交点B为0，∵OA=OB，∴抛物线与x轴的交点A为−14m∴−14∴−14∴−14m2−1=0或−解得：m=22+2或m=−22∵m为整数，∴m=−2，故选：D．4．D【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．【详解】解：∵|k|+1>0，∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，∵y1∴y1＞y2，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，∵y1＞y2，i.当在第一象限时，∴0<a<a+2，解得a>0；ii.当在第三象限时，∴a<a+2<0，解得a<−2；综上所述：a<−2或a>0；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，∵y1＞y2，∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，故选：D．5．B【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数y=mx∴对称轴为直线x=1，①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=−m+2=−2，解得：m=4；②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在−2≤x<2时有最小值∴x=−2时，有最小值y=9m−m+2=−2，解得：m=−1故选：B．6．A【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x=1【详解】解：∵y=−(x+m−1)(x−m)+1=−∴函数图像开口向下，对称轴为x=当x1+x2=1时，A当x1+x2>1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A当x1+x2<1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；7．B【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC=OA，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出ΔAOE≅ΔCOF，根据全等三角形的性质，可得出A(−m,n)，进而得到−mn=4【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于∴AO=BO，又∵AC⊥BC，AC=BC，∴CO⊥AB，CO=1∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴Δ∴OE=OF，AE=CF，∵点C(m,n)，∴CF=−m，OF=n，∴AE=−m，OE=n，∴A(n,−m)，∵点A是反比例函数y=4∴−mn=4，即mn=−4，故选：B．8．B【分析】由顶点在第三象限，经过点A1，0和点B0，−3，可得出：a>0，−b【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c过点1,0∴c=−3，a+b+c=0，即b=3−a，∵顶点在第三象限，经过点A1，0∴a>0，−b∴b>0，∴b=3−a>0，∴a<3，∴0<a<3∵m=2a−b+c=2a−3−a∵0<a<3，∴0<3a<9∴−6<3a−6<3，∴−6<m<3．故选：B．9．D【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为1，n，则其对称轴为即−b2a=1②当x=1时，y=n，所以a+b+c=n，因为b=−2a，所以c−a=n，所以②正确；③因为抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一个交点在点3，0和所以抛物线另一个交点m，0在−2到④因为ax2+根据图象可知：把抛物线y=ax2+bx+c即可得抛物线y=ax所以当x<0时，ax即ax⑤一元二次方程axΔ=因为根据图象可知：a<0，c>0，所以−4ac>0，所以Δ=所以一元二次方程ax所以⑤正确．综上，正确的有②③⑤，故选：D．10．C【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理构造方程求出DE=125，BE=DF=245，再根据反比例函数图像同时经过顶点【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵点C的横坐标为6，，∴BC=6．∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=6．C∵BE=2DE，∴设DE=x，则BE=2x．∴DF=BE=2x，BF=DE=x，FC=BC−BF=6−x．在Rt△DCF∵DF∴2x2解得：x1=0（不合题意，舍去），∴DE=125，设OB=a，则D125∵反比例函数y=kxk≠0,x>0的图像同时经过顶点C∴k=125×∴k=6a=96故选C．二．填空题11．x<2或x>4【分析】根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+ℎ时，则a【详解】解：根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+ℎ由图象可得：关于x的不等式ax2+b−kx+c>ℎ故答案为：x<2或x>4．12．−8【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1【详解】∵二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x∴翻折前两交点间的距离不变，设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1则x∴∴∴∴∴又∵y=4x2+mx+n∴即该二次函数图像顶点纵坐标为−8故答案为：−813．(2,4)(0,2)，(0,12【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=−1∴y=4，∴C(2,4)，故答案为：(2,4)；（2）令y=0，则−1解得：x=4或x=−2．∵抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B∴B(4,0)．∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，

过点C作CD⊥OB于点D，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CD=4，OB=4，OD=2，∴CD=OB．在Rt△BPO和RtBP=BCOB=DC∴Rt∴OP=BD．∵OB=4，OD=2，∴BD=OB−OD=2，∴OP=BD=2，∴P(0,2)；②当BP=PC时，如图，

过点C作CE⊥y轴于点E，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CE=2，OE=4，OB=4，设点P(0,a)，∵点P为y轴的正半轴上的一点，∴OP=a,EP=4−a，∵BP=PC，∴BP∴EP∴4−a2解得：a=12∴P(0,12)综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0,12)故答案为：(0,2)或(0,12)14．1+652【分析】设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM=12PQ，设点D的横坐标为t，由此表示出DE的长，PM的长，进而可得PQ的长，根据PQ=12【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y=x2设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM=12PQ∵点D是抛物线上的一个点，且DE∥AB，设点D的横坐标为t，∴Dt∵DE∥AB，∴点D，点E关于对称轴对称，∴点P和点Q在对称轴上，∴E(2−t，∴DE=(2−2t)，∴PQ=2PM=2t∵PQ=1∴2t解得t1=5−654，t2=5+654(舍去)，∴DE=2−2t=1+652或故答案为：1+652或15．0,2【分析】如图，过A1作A1H⊥y轴于H，求解A11,1，结合题意，△OA1B1，△B1【详解】解：如图，过A1作A1H⊥y∵y=1xy=x解得：x=1y=1，即A∴OH=A∴∠A∵B1∴△OA∴OB同理可得：△B1A

同理设A2∴m2+m解得m=2∴OB同理可得：OB⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴OB∴Bn故答案为：0,2n16．y=43x<【分析】（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A2（2）求出A12+a，23，由a>0（3）分当函数y=kx的图象经过O1A1【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，∵4，∴OB=4，∵△AOB是等边三角形，∴OC=BC=1∴AC=O∴A2∵点A在反比例函数y=k∴23∴k=43∴反比例函数y=kx的表达式为故答案为：y=4（2）①∵把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O∴A1∵反比例函数y=k1x∴23∴k1∵a>0，∴2+a>2，∴k1故答案为：<；（3）当函数y=kx的图象经过∵O1∴函数y=kx的图象经过点∴3=∴a=3；当函数y=kx的图象经过∵B1∴函数y=kx的图象经过点∴3=∴a=1，故答案为：1或3．三．解答题17．（1）解：∵点A3，n∴n=3−2=1，∴点A3∵点A3，1∴k=3×1=3，∴反比例函数解析式为y=3（2）解：作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于点P令y=0，则0=x−2，解得x=2，∴点B2，0设直线AB'的解析式为∴3k+b=1−2k+b=0，解得k=∴直线AB'的解析式为令x=0，则y=2∴P点坐标为0，（3）解：由旋转的性质知PC=PD，当PC⊥AB时，PC有最小值，此时PD的值最小，设直线AB交y轴于点E，令x=0，则y=0−2=−2，，点E0∴OE=2，OB=2，∴BE=2∵S△PBE∴PC=2∴PD的最小值为6218．（1）解：当b=−2，c=3时，y=−x∴此时该函数图象的顶点坐标为−1,4；（2）解：∵该函数图象经过点(1,−3)，∴−1+b+c=−3，则c=−2−b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=−b2×−1∴b=2m，c=−2−2m，∴n=−2−2m+4m2（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=−x2+∵0≤x≤2，∴当0≤c+12≤2即−12解得c1=−1+35当c+12<0即c<−12时，0≤x≤2∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；当c+12>2即c>32时，0≤x≤2∴当x=2时，y有最大值为−2解得c=2，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．19．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−52∴a−b−解得：a=12，∴此拋物线的解析式为y=1（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，

∵拋物线的解析式为y=1∴其对称轴为直线x=−b当x=0时，y=−5∴C0,−又∵B5,0∴设BC的解析式为y=kx+bk≠0∴5k+b=0解得：k=12，∴BC的解析式为y=1当x=2时，y=2×1∴P2,−∴PA+PC=−1−2（3）存在，如图所示：

①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为x=2，C0,−∴N②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x在△AN2D∠N∴△AN2∴N2D=OC=5∴1解得：x=2+14或x=2−∴N22+综上所述符合条件的N的坐标有4,−52，2+1420．（1）解：设抛物线的解析式为y=将0,0代入解析式得：a∴抛物线的解析式为y=−令y=−10，则−10=−解得：x∴入水处B点的坐标4（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5−将x=72∵−∴该运动员此次跳水失误了（3）解：∵EM=212，EN=272∴点M、N的坐标分别为：9,−10∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）y=a(x−∴当抛物线经过点M时，把点M9,−10代入得：a=同理，当抛物线经过点N12,−10时，a=由点D在MN之间可得：121．（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1∴−32−3m+1=1，解得m=3，k=−3，∴二次函数的解析式为y1=x（2）∵二次函数的解析式为y1∴对称轴为直线x=−3由图象知，当y1随x的增大而增大，且y1（3）由题意作图如下：

∵当x=0时，y1∴A0,1∵B−3,1∴△AC