数学-九师联盟2023-2024学年高二下学期6月摸底联考试题和答案

考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分考试时间120分钟2.答题前考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3.考生作答时请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效在试题卷草稿纸上作答无效4.本卷命题范围高考范围一选择题:本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知复数（1十i1十ai）在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围为A.（1,十…）B.（-…,1）C.（-1,1）D.（-…,-1）2.对某批电子元件的使用寿命进行测试,从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验,测100120150165185200210230个数832453523261912估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为A.工-1B.>—-1C.工-D.>—-4.如图,在矩形ABCD中,过边AB上的点P1,P2分别作AB的垂线,分别交CD于P7,P8,过AD边上点P3作AD的垂线,分别交P1P7,P2P8,BC于P4,P5,P6,则集合{>>—AB.APi,i—1,2,3,…,8}中的元素个数为A.2B.4C.6D.85.已知aeR,集合A—{2,a十1,a十3},则“a—0”是“1eA”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【高二摸底联考.数学第1页（共4页）】6.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.若a—1,b2cOs2C十C2sin2B—（C2-1）,则cOsB的最小值为A.槡B.槡C.3D.2解集为A.[-2,0]U[2,十…）B.[-2,2]C.（-…,-2]U[2,十…）D.（-…,-2]U[0,2]8.已知点A（1,0）,B（4,0）,C（2,1）,动点P满足—,则PB十2PC取得最小值时,点P的坐标为槡61,槡61）二选择题:本题共3小题每小题6分共18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得6分部分选对的得部分分有选错的得。分9.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况,因此整个棋盘上有3361种不同的情况,下面对于数字3361的判断正确的是（参考数据:lg3~0.4771）A.3361的个位数是3B.3361的个位数是1C.3361是173位数D.3361是172位数f-f—4,则A.幼2 一11.如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱BC的中点,BP—λBD(λe（0,1]）,CQ—μCB1(μe（0,1]）,过点P,E,Q的平面截该正方体所得的截面为Ω,则A.不存在λ,μ,使得PQ」平面ACD1B.当平面EPQ/平面ACD1时,λ十μ—C.线段PQ长的最小值为4EQ\*jc3\*"Font:MicrosoftYaHei"\*hps20\o\ad(\s\up5(EQ),的)三填空题:本题共3小题每小题5分共15分22十a33十…十a8（8,则a5—.13.在三棱锥PABC中,PAPBPC2,AB1,人ACB,若该三棱锥的所有顶点均在球。的表面上,则球。的表面积为.【高二摸底联考.数学第2页（共4页）】14.已知F1,F2分别为椭圆E:十—1（a>2）的上、下焦点,A（-2,0）,直线l经过点F1且与E交于B,C两点,若l垂直平分线段AF2,则ΔABC的周长为.四解答题:本题共5小题共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15.（本小题满分13分）学生的安全是关乎千家万户的大事,对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假,某市教体局针对当前的实际情况,组织各学校进行安全教育,并进行了安全知识和意识的测试,满分100分,成绩不低于60分为合格,否则为不合格.为了解安全教育的成效,随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩,将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.[80,100]内的女生人数分别为6,24,48,12,完成2X2列联表,根据小概率值a—0.05的独立性检验,能否认为测试成绩与性别有关联？不合格合格合计男生女生合计（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换,“合格”记5分,“不合格”记0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈,再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为X,求X的分布列和数学期望.a0.10.050.005工a16.（本小题满分15分）【高二摸底联考.数学第3页（共4页）】17.（本小题满分15分）如图,在ΔABC中,D,E分别为边AC,AB的中点,将ΔADE沿DE折起到ΔPDE处,F为线段PB的中点.（1）求证:平面PBE」平面PBC；（2）若AC」BC,PC—槡2CD—槡2DE,求平面PCE与平面CEF的夹角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知双曲线Γ:-—1（a>0,b>0）的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,一条渐近线的倾斜角为,Γ的离心率为e,M（e,e十1）在Γ上.（1）求Γ的方程；OP OQ（2）过F的直线l交Γ于C,D两点（C在父轴上方）,直线AC,BD分别交>轴于点P,Q,OP OQ（O为坐标原点）是否为定值？若是定值,求出该定值；若不是定值,请说明理由.19.（本小题满分17分）对任意正整数n,定义n的丰度指数I（n）—,其中S（n）为n的所有正因数的和.）,求数列{nan}的前n项和Tn；【高二摸底联考.数学第4页（共4页）】——1.D因为（1十i1十ai）—1—a十（a十1）i,所以（1十i1十ai）在复平面内对应的点为（1—a,a十1）,由题意知（1—a>0,〈解得a<—1.故选D.（a十1<0,2.C因为200X60%—120为整数,所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数,由表知,第120个数据为165,第121个数据为185,所以第60百分位数为165185—175.故选C.3.D把C的方程化为标准方程为工2—>,所以焦点到准线的距离p—,且焦点在>轴的正半轴上,所以其准线方程为>——.故选D.4.BAPi（i—1,2,3,…,8）在AB上的投影向量仅有4种情况,由数量积的几何意义知AB.APi（i—1,2,3,…,8）也仅有4个不同的值,所以该集合中有4个元素.故选B.5.C若1eA,则a十1—1,或a十3—1,所以a——2,或a—0.当a——2时,a十3—a十1—1,不满足集合中元素的互异性,故a牛—2；当a—0时,A—{2,1,3},故由1eA,可得a—0；反之,当a—0时,显然1eA也成立.故“a—0”是“1eA”的充要条件.故选C.6.A因为a—1,b2cos2C十c2sin2B—（c2—1）,所以b2cos2C十c2sin2B—（c2—a2）,由正弦定理,得sin2Bcos2C十2Csin2B—（sin2C—sin2A）,所以sin2B—（sin2C—sin2A）,所以b2—（c2—a2）,所以cosB—a2十2c—b2—a2十c2—（c2—a2）a2十c22ac22ac值为槡.故选A.—十>2槡X—槡,当且仅当c—槡7a—槡7时等号成立,即cosB的最小7.A当工>0时,令g（工）—f）,则g,（工）—工f,（工f（工）<0,所以g（工）在（0,十…）上单调递减,因为f（2）ℴ上的奇函数,所以当工e（—2,0）时,f（工）<0,当工e（—…,—2）时,f（工）>0,f（0）—0,又f（—2）——f（2）—0,所以f（工）三0的解集为[—2,0]U[2,十…）.故选A.PAPB8.C设P（工,>）,由PAPB>2>2PAPB,化简得工2十>2—4,由—,得PB—2PA,PAPBPB十2PC—2（PA十PC）,故当且仅当P,A,C三点共线,且点P在A,C之间时,PB十2PC取得最小2十>2—4,（工—槡71,值,此时线段AC的方程为>—工—1（1三工三2）,由〈并结合1三工三2,解得〈故此时点P的坐标（>—工—1,（>—槡71,槡71,槡71.故选C.【高二摸底联考.数学参考答案第1页（共6页）】9.AC由31—3’32—9’33—27’34—81’35—243’…个位数分别为3’9’7’1’3’…以4为周期循环往复’因为361亡4的余数为1’故3361的个位数与31的个位数相同’即3361的个位数为3’故A正确’B错误；因为lg3361—361lg3~361X0.4771—172.2331’所以3361~10172.2331—100.2331X10172’因为100.2331e（1’2）’所以3361为173位数’故C正确’D错误.故选AC.f—f—4’得f（工）max—f’f（工）min—f’所以f（工）的最小正周期T三2—ℴπ’又f（工）在’内无极值点’所以T>2—ℴπ’所以T—π’所以幼——2’经验证幼—2符合条件’所以f（工）—2sin（2工十十1’故A正确’解’所以2a十>’解得a>’故C正确；将f（工）的图象向左平移个单位长度’得>—2cos2工十1的图象’显然>—2cos2工十1为偶函数’其图象关于>轴对称’故D正确.故选ACD.11.BCD当λ—μ—1时’P与D重合’Q与B1重合’易证B1D」平面ACD1’即存在λ’μ’使得PQ」平面ACD1’故A错误；若平面EPQ/平面ACD1’因为平面EPQn平面ABCD—PE’平面ACD1n平面ABCD—AC’所以PE/AC’设 14ACnBD—F’因为E为BC的中点’所以P为BF的中点 14’延长B1C1到C2’使得C1C2—B1C1’同理可得C2/EQ’又C2/BC1’所以EQ/BC1’又E为BC的中点’所以—’所以μ—’所以λ十μ—’故B正确；—2十十十2.十2BC.CQ十2CQ.PB—32λ2十16十32μ2—32λ—32μ十32λμ—32[(λ十μ)2—λμ—(λ十μ)]十16>32[(λ十μ)2—(λμ)2—(λ十μ)]十16—24(λ十μ)2—32(λ十μ)十16（当且仅当λ—μ时等号成立）ℴ24(λ十μ—2十>’当且仅当λ—μ—时等号成立’所以PQmin—槡—4’故C正确；当λ—μ—时’易 得Ω为正六边形（如图六边形EGHIJK）’其边长为2槡2’故Ω的面积为6X槡X（2槡2）2—12槡3’SΔPEQ—EP.EQsin—X（槡2）2X槡—槡’所以ΔEQ\*jc3\*"Font:MicrosoftYaHei"\*hps17\o\ad(\s\up4(EQ),的)积—’故D正确.故选BCD.【高二摸底联考.数学参考答案第2页（共6页）】12.—448由题意知a5为[—2十（工13.因为PA—PB—PC—2’所以点P在平面ABC上的射影为ΔABC的外心’又AB—1’人ACB—’所以ΔABC的外接圆的半径T——1’从而三棱锥PABC的高为槡22—12—槡3.设该三棱锥外接球的半径为R’则2十12—R2’解得R槡’故球。的表面积为4πR2—4π槡233AF2的中点为的斜率为—’所以l的斜率为’所以直线l的方l过槡’因为l垂直平分线段AF2’所以CF2—AC’BF2—AB’所以ΔABC的周长为CF2十BF2十BF1十CF1—4a—16.为108’……………………2分故2X2列联表为：不合格合格合计男生424890女生306090合计72108180………………………………3分零假设H0：测试成绩与性别无关联’根据2X2列联表中的数据’计算得X22—~3.333<3.841工0.05’……………5分根据小概率值a—0.05的独立性检验’没有充分的证据推断H0不成立’因此可以认为H0成立’即测试成绩与性别无关联.………………………6分X20）——’………………………11分【高二摸底联考.数学参考答案第3页（共6页）】故所求分布列为X05101520P 1210 435 37 821 114所以E（X）—0X0十5X十10X十15X十20X—12.…………………I0所以g（工）在[0,十…）上单调递减,……………………12分13分1分3分6分7分—1）,令fI（工）—0,得工1或工ln,…………8分①当a—时,fI（工）>0恒成立,所以f（工）在R上单调递增；……………………10分②当0<a<时,ln>1,令fI（工）>0,得工<1,或工>ln 1a,令fI（工）<0,得1<工 1a上单调递增,在1,ln上单调递减；…………………12分③当a>时,ln<1,令fI（工）>0,得工>1,或工<ln,令fI（工）<0,得ln<工<1,—…,ln,（1,十…）上单调递增,在上单调递减.上单调递增,在1,ln上单调递减；当a—时,上单调递减.……………………………15分17.（1）证明：取PC的中点G,连接DG,FG,则FG/BC,且FG—BC,………………1分由题意知DE/BC,DE—BC,…………………………2分所以FG/DE,且FG—DE,所以四边形DEFG为平行四边形,所以EF/DG,……………………………3分由题意知DP—DC,EP—EB,因为G,F分别为PC,PB的中点,所以DG」PC,EF」PB,…………4分因为EF/DG,所以EF」PC,……………5分因为PB,PC仁平面PBC,PBnPC—P,所以EF」平面PBC,………6分又EF仁平面PBE,所以平面PBE」平面PBC.………………………7分【高二摸底联考.数学参考答案第4页（共6页）】所以PC2—PD2十CD2,所以PD」CD,……8分因为在ΔABC中,AC」BC,所以DE」AD,DE」CD,所以DE」PD,DE」CD,……………………9分所以DE,DC,DP两两垂直,故以D为原点,直线DE,DC,DP分别为工轴,11分………………11分………一（n.PC—0,（S之0,（n.CE—0,（工S0,——一一——m.n11m.n11m.n所以平面PCE与平面CEF夹角的余弦值为.……………………15分18.解1）因为Γ的一条渐近线的倾斜角为,所以其斜率为tan——槡3,…………1分b22—2,…………………3分又M（e,e十1）,即M（2,3所以a—1,b—槡3,故Γ的方程为工2——1.…………7分F,S2）,由题意知l的斜率不为0,设l的方程为工—mS十2,……8分代入Γ的方程并整理,得（3m2—1）S2十12mS十9—0,十1）>0,10分………………10分………………,……11分0,1S2,……12分S1S2S1S2mS1S2十S1OPOQ S1 S2 mS1S2十3S2十S1 十S13十S1 十S1 13,OPOQ17分所以1……OPOQ17分所以1………………………【高二摸底联考.数学参考答案第5页（共6页）】2n共有n十1个正因数,它们是1,2,22,…,2n,……………1分所以an—I（2