第7.5讲正态分布（原卷版）-2023-2024学年新高二数学宝典（人教A版2019选修第三册）

第七章随机变量及其分布第7.5讲正态分布班级_______姓名_______组号_______1．了解二项分布与正态曲线的关系，掌握正态曲线的定义、性质；重点培养直观想象、数学抽象核心素养．2．掌握正态分布，标准正态分布的意义，理解“3σ”原理，并能解决一些相关的实际问题；重点提升数学运算、数学建模核心素养．1、正态曲线的应用2、与正态分布有关的概率计算3、正态分布的综合应用二项分布与正态曲线1．正态曲线函数φ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(x－μ2,2σ2).φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝eq\r(DX)，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图像称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x))．2．正态曲线的性质(1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高，两边低的特点；(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．正态分布、标准正态分布1．正态分布一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差．2．正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)则(1)P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%；(2)P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；(3)P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；(4)P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.3．“3σ原则”X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”．4．标准正态分布(1)μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果Y～N(μ，σ2)，那么令X＝eq\f(Y－μ,σ)，则可以证明X～N(0,1)，即任意正态分布通过交换都可以化为标准正态分布．(2)①如果X～N(0,1)，那么对任意a，通常记Φ(a)＝P(X＜a)，也就是说Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围成的面积，如图：②Φ(a)具有的性质：Φ(－a)＋Φ(a)＝1.题型1、正态曲线的应用1．随机变量服从正态分布，则标准差为（

）A．2 B．4 C．10 D．142．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（

）A． B．C． D．3．已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（

）A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和14．对甲，乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，乙地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（

）A． B．C． D．5．阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（

）

A．Y的数据较X更集中B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大D．要确定一个正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和函数的最大值有关．题型2、与正态分布有关的概率计算6．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.47．在如图所示的正方形中随机投掷20000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（

）附:若X~N(μ,σ2),P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544．A．4772 B．6826 C．3413 D．95448．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（

）（附：若随机变量服从正态分布，则）A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%9．已知随机变量服从正态分布，，则（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.210．某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（

）参考数据：A．0.6827 B．0.34135 C．0.3173 D．0.15865求解正态分布在等区间内概率问题的思路利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．常用结论如下：(1)对于正态分布N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知：①对任意的实数a，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．(2)对于μ＝0的正态分布，求X落在某区间的概率时常利用如下两个公式：①P(X＜－x0)＝1－P(X≤x0)；②P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．题型3、正态分布的综合应用11．某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（

）参考数据：，，．A． B． C． D．12．某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（

）A．350 B．400 C．450 D．50013．某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则（

）A．估计该校高二学生人数为520.B．估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280.C．估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170.D．在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率.14．重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩，那么D等级的原始分最高大约为（

）附：①若，，则；②当时，.A．23 B．29 C．26 D．4315．某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（

）A．2000 B．3000 C．4000 D．5000解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．在解答题中注重对3σ原则的实际实用．一、单选题1．随机变量服从正态分布．若，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.62．随机变量服从正态分布，，，则（

）A． B． C．1 D．3．若随机变量，且，则（

）A． B． C． D．4．棣莫弗拉普拉斯中心极限定理表明：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量来近似，且的期望和方差与的期望和方差相同，已知某运动员每次投篮的命中率为，则他在1800次投篮中，超过1180次命中的概率约为（

）（参考数据:若，则，，）A．0.65865 B．0.84135 C．0.97725 D．0.998655．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

A． B．C． D．6．设随机变量服从正态分布且，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.97．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（

）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人8．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（

）参考：A．456 B．558 C．584 D．6519．某校高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.84，则n的值约为（

）参考数据：①；②；③A．3 B．4 C．5 D．610．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（

）附：若：，则，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773二、多选题11．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（

）A． B． C． D．12．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（

）A． B．C．对任意正数， D．对任意正数，三、填空题13．已知随机变量服从正态分布，且，则.14．某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为.四、解答题15．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）．（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）；（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望．附注：若，则，．16．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.17．新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，