高中数学第一讲坐标系二极坐标系学案含解析新人教A版选修

二极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))求点的极坐标已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线θ＝eq\f(π,2)的对称点．确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P，Q关于直线θ＝eq\f(π,2)对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．设点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：(1)点A关于极轴的对称点；(2)点A关于直线l的对称点；(3)点A关于极点的对称点．(规定ρ>0，－π＜θ≤π)．解：如图所示：(1)点A关于极轴的对称点为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,3))).(2)点A关于直线l的对称点为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2π,3))).(3)点A关于极点O的对称点为Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2π,3))).2．在极坐标系中，点A的极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，求点A关于直线θ＝eq\f(π,2)的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈)．解：作出图形，可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))关于直线θ＝eq\f(π,2)的对称点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5π,6))).点的极坐标与直角坐标的互化(1)把点A的极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,6)))化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，－eq\r(3))化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．(1)x＝2coseq\f(7π,6)＝－eq\r(3)，y＝2sineq\f(7π,6)＝－1，故点A的直角坐标为(－eq\r(3)，－1)．(2)ρ＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，tanθ＝eq\f(－\r(3),1)＝－eq\r(3).又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝eq\f(5π,3).因此点P的极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3))).(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．点P的直角坐标为(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的极坐标可表示为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,4)))解析：选B点P(－eq\r(2)，eq\r(2))在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为eq\f(3π,4).4．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A的极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,3)))，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x＝ρcosθ＝4coseq\f(5π,3)＝2.y＝ρsinθ＝4sineq\f(5π,3)＝－2eq\r(3).∴A点的直角坐标为(2，－2eq\r(3))．(2)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，tanθ＝eq\f(－2,2)＝－1.且点B位于第四象限内，∴θ＝eq\f(7π,4)，∴点B的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4))).又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝eq\f(3π,2).∴点C的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15，\f(3π,2))).课时跟踪检测(二)一、选择题1．在极坐标平面内，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，200π))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π,3)，201π))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－200π))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)，200π))中互相重合的两个点是()A．M和NB．M和GC．M和HD．N和H解析：选A由极坐标的定义知，M，N表示同一个点．2．将点M的极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(π,3)))化成直角坐标是()A．(5,5eq\r(3))B．(5eq\r(3)，5)C．(5,5)D．(－5，－5)解析：选Ax＝ρcosθ＝10coseq\f(π,3)＝5，y＝ρsinθ＝10sineq\f(π,3)＝5eq\r(3).3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．关于过极点垂直于极轴的直线对称D．两点重合解析：选A因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,6)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,6)π))6．在极坐标系中，已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))两点，则|AB|＝________.解析：|AB|＝eq\r(12＋22－2×1×2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,4))))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7．直线l过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，则直线l与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，所以∠OAB＝eq\f(π－\f(π,6),2)＝eq\f(5π,12)，所以∠ACO＝π－eq\f(π,3)－eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)三、解答题8．在极轴上求与点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))的距离为5的点M的坐标．解：设M(r,0)，因为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))，所以eq\r(4\r(2)2＋r2－8\r(2)rcos\f(π,4))＝5，即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(eq\r(3)，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝eq\r(\r(3)2＋32)＝2eq\r(3).tanθ＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).又因为点在第一象限，所以θ＝eq\f(π,3).所以点(eq\r(3)，3)的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,3))).(2)ρ＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，tanθ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝eq\f(5π,4).所以点(－1，－1)的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(5π,4))).(3)ρ＝eq\r(－32＋02)＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3))).(1)将极点移至O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))处极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动eq\f(π,6)角，求P点的新坐标．解：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝2eq\r(3)，|OP|＝4，∠POx＝eq\f(π,3)，∠O′Ox＝eq\f(π,6)，∴∠POO′＝eq\f(π,6).在△POO′中，ρ2＝42＋(2eq\r(3))2－2·4·2eq\r(3)·coseq\f(π,6)＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵eq\f(sin∠OPO′,2\r(3))＝eq\f(sin∠POO′,2)，∴sin∠OPO′＝eq\f(sin\f(π,6),2)·2eq\r(3)＝eq\f(\