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文档简介
北京市中央民族大学附中高三第7次月考新高考数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B. C. D.2.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象()A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位3.已知定义在上的偶函数,当时,,设,则()A. B. C. D.4.设,则A. B. C. D.5.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()A. B. C. D.6.()A. B. C. D.7.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙9.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()A. B.C. D.10.已知向量,,且与的夹角为,则()A. B.1 C.或1 D.或911.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.12.设a,b,c为正数,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不修要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知的展开式中含有的项的系数是,则展开式中各项系数和为______.14.设函数,若存在实数m,使得关于x的方程有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是______.15.在面积为的中,,若点是的中点,点满足,则的最大值是______.16.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.18.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.19.(12分)设函数,,(Ⅰ)求曲线在点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.20.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.21.(12分)在中国,不仅是购物,而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费,日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作,调查了腾讯服务的6000名用户,从中随机抽取了60名,统计他们出门随身携带现金(单位:元)如茎叶图如示,规定:随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”,其他为“非手机支付族”.(1)根据上述样本数据,将列联表补充完整,并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户,这3位用户中“手机支付族”的人数为,求随机变量的期望和方差;(3)某商场为了推广手机支付,特推出两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直减100元;方案二:手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优惠方案更划算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82822.(10分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
观察可知,这个几何体由两部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为,故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。2、C【解析】
根据正弦型函数的图象得到,结合图像变换知识得到答案.【详解】由图象知:,∴.又时函数值最大,所以.又,∴,从而,,只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象,故选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求.3、B【解析】
根据偶函数性质,可判断关系;由时,,求得导函数,并构造函数,由进而判断函数在时的单调性,即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数,所以所以;当时,,则,令则,当时,,则在时单调递增,因为,所以,即,则在时单调递增,而,所以,综上可知,即,故选:B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用,由导函数性质判断函数单调性的应用,根据单调性比较大小,属于中档题.4、C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.5、B【解析】
根据两个函数相等,求出所有交点的横坐标,然后求和即可.【详解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6、B【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.7、D【解析】
设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.8、A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.9、C【解析】
,将看成一个整体,结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知,,令,得.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题,在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法,结合三角函数的性质,是一道容易题.10、C【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式,求的值.【详解】解:由题意可得,求得,或,故选:C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式,属于基础题.11、D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.12、B【解析】
根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:,,为正数,当,,时,满足,但不成立,即充分性不成立,若,则,即,即,即,成立,即必要性成立,则“”是“”的必要不充分条件,故选:.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由二项式定理及展开式通项公式得:,解得,令得:展开式中各项系数和,得解.【详解】解:由的展开式的通项,令,得含有的项的系数是,解得,令得:展开式中各项系数和为,故答案为:1.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式,属于中档题.14、【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根,再将这四个根的平方和表示出来,利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意,当时,,此时,此时函数在单调递减,在单调递增,方程最多2个不相等的实根,舍;当时,函数图象如下所示:从左到右方程,有4个不相等的实根,依次为,,,,即,由图可知,故,且,,从而,令,显然,,要使该式在时有最小值,则对称轴,解得.综上所述,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识,但需要一定的逻辑思维能力,属于较难题.15、【解析】
由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB||AC|,再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化,最后由重要不等式求得最值.【详解】由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①与②的平方和得:|AB||AC|=,又点M是AB的中点,点N满足,所以,当且仅当时,取等号,即的最大值是为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量,进而由重要不等式求最值,属于中档题.16、【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数,然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数,这四个数的中位数为,则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算,侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)需要,见解析【解析】
(1)由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得;(2)由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【详解】(1),由于满足二项分布,故.(2)由题意可知不合格率为,若不检查,损失的期望为;若检查,成本为,由于,当充分大时,,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.18、.【解析】
根据特征多项式可得,可得,进而可得矩阵A的逆矩阵.【详解】因为矩阵的特征多项式,所以,所以.因为,且,所以.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解,是基础题.19、(1)(2)【解析】分析:(1)先断定在曲线上,从而需要求,令,求得结果,注意复合函数求导法则,接着应用点斜式写出直线的方程;(2)先将函数解析式求出,之后借助于导数研究函数的单调性,从而求得函数在相应区间上的最值.详解:(Ⅰ)当,.,当,,所以切线方程为.(Ⅱ),,因为,所以.令,,则在单调递减,因为,所以在上增,在单调递增.,,因为,所以在区间上的值域为.点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线在某个点处的切线方程的求法,复合函数求导,函数在给定区间上的最值等,在解题的过程中,需要对公式的正确使用.20、(1)(2)最大值;最小值.【解析】
(1)结合极坐标和直角坐标的互化公式可得;(2)利用参数方程,求解点到直线的距离公式,结合三角函数知识求解最值.【详解】解:(1)因为,代入,可得直线的直角坐标方程为.(2)曲线上的点到直线的距离,其中,.故曲线上的点到直线距离的最大值,曲线上的点到直线的距离的最小值.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题,椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先
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