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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是()A. B. C. D.2.若复数满足(是虚数单位),则()A. B. C. D.3.已知与函数和都相切,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为()A. B. C. D.4.已知函数(,且)在区间上的值域为,则()A. B. C.或 D.或45.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.6.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()A. B. C. D.7.A. B. C. D.8.已知边长为4的菱形,,为的中点,为平面内一点,若,则()A.16 B.14 C.12 D.89.刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到的近似值为()A. B. C. D.10.已知集合,,则等于()A. B. C. D.11.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.12.已知函数的图象在点处的切线方程是,则()A.2 B.3 C.-2 D.-3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.14.设α、β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m∥n,则m∥α;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,m⊥n,则n⊥β;其中正确命题的序号为_____.15.曲线f(x)=(x2+x)lnx在点(1,f(1))处的切线方程为____.16.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有人,其中男生人,女生人,乙组一共有人,其中男生人,女生人,现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件发生的概率;(2)用表示抽取的人中乙组女生的人数,求随机变量的分布列和期望18.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;(2)求的值.20.(12分)已知圆M:及定点,点A是圆M上的动点,点B在上,点G在上,且满足,,点G的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点,与直线和分别交于P、Q两点.当时,求(O为坐标原点)面积的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若关于的不等式的解集包含,求实数的取值范围.22.(10分)已知抛物线上一点到焦点的距离为2,(1)求的值与抛物线的方程;(2)抛物线上第一象限内的动点在点右侧,抛物线上第四象限内的动点,满足,求直线的斜率范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.【详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D.【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.2、B【解析】
利用复数乘法运算化简,由此求得.【详解】依题意,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.3、B【解析】
根据直线与和都相切,求得的值,由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆,由此求得正确选项.【详解】.设直线与相切于点,斜率为,所以切线方程为,化简得①.令,解得,,所以切线方程为,化简得②.由①②对比系数得,化简得③.构造函数,,所以在上递减,在上递增,所以在处取得极小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即,画出其对应的区域如下图所示.圆可化为,圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示,不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为,直线的斜率为.所以,所以,而圆的半径为,所以阴影部分的面积是.故选:B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数,考查不等式组表示区域的画法,考查圆的方程,考查两条直线夹角的计算,考查扇形面积公式,考查数形结合的数学思想方法,考查分析思考与解决问题的能力,属于难题.4、C【解析】
对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知,.讨论:当时,,所以,,所以;当时,,所以,,所以.综上,或,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.5、D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.6、C【解析】
作,;,由题意,由二倍角公式即得解.【详解】由题意,,准线:,作,;,设,故,,.故选:C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.7、A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.8、B【解析】
取中点,可确定;根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得,利用可求得结果.【详解】取中点,连接,,,即.,,,则.故选:.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题,涉及到平面向量的线性运算,关键是能够将所求向量进行拆解,进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.9、A【解析】
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.10、A【解析】
进行交集的运算即可.【详解】,1,2,,,,1,.故选:.【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.11、B【解析】
根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.12、B【解析】
根据求出再根据也在直线上,求出b的值,即得解.【详解】因为,所以所以,又也在直线上,所以,解得所以.故选:B【点睛】本题主要考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由已知得即,,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【详解】由已知得,又,,所以,解得或,由在双曲线C上,所以或,所以或(舍去),因此双曲线C的方程为.又,所以线段的方程为,与双曲线C的方程联立消去x整理得,所以,,所以点A坐标为,所以.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.14、④【解析】
根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①,当m∥n时,由直线与平面平行的定义和判定定理,不能得出m∥α,①错误;对于②,当m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β时,由两平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②错误;对于③,当α∥β,且m⊂α,n⊂β时,由两平面平行的性质定理,不能得出m∥n,③错误;对于④,当α⊥β,且α∩β=m,n⊂α,m⊥n时,由两平面垂直的性质定理,能够得出n⊥β,④正确;综上知,正确命题的序号是④.故答案为:④.【点睛】本题考查了直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.15、【解析】
求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程.【详解】解:∵,
∴,
则,
又,即切点坐标为(1,0),
则函数在点(1,f(1))处的切线方程为,
即,
故答案为:.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.16、【解析】
利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析,.【解析】
(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求.(Ⅱ)先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】(Ⅰ)(Ⅱ)可能取值为,,,,,的分布列为0123.【点睛】本题主要考查古典概型的计算,考查随机变量的分布列和期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)利用平行四边形的方法,证明平面.(2)通过证明平面,由此证得.【详解】(1)设是中点,连接,由于是中点,所以且,而且,所以与平行且相等,所以四边形是平行四边形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)连接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四边形是矩形且,所以四边形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1):,:;(2)【解析】
(1)根据点斜式写出直线的直角坐标方程,并转化为极坐标方程,利用,将曲线的参数方程转化为普通方程.(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,结合直线参数的几何意义以及根与系数关系,求得的值.【详解】(1)的直角坐标方程为,即,则的极坐标方程为.曲线的普通方程为.(2)直线的参数方程为(为参数,为的倾斜角),代入曲线的普通方程,得.设,对应的参数分别为,,所以,在的两侧.则.【点睛】本小题主要考查直角坐标化为极坐标,考查参数方程化为普通方程,考查直线参数方程,考查直线参数的几何意义,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)根据题意得到GB是线段的中垂线,从而为定值,根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,即可求出曲线C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详解】(1)为的中点,且是线段的中垂线,,又,∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设椭圆方程为(),则,,,所以曲线C的方程为.(2)设直线l:(),由消去y,可得.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以,.①又由可得;同理可得.由原点O到直线的距离为和,可得.②将①代入②得,当时,,综上,面积的取值范围是.【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题,轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹,直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可,属于一般性题目.21、(1)(2)【解析】
(1)按进行分类,得到等价不等式组,分别解出解集,再取并集,得到答案;(2)将问题转化为在时恒成立,按和分类讨论,分别得到不等式恒成立时对应的的范围,再取交集,得到答案.【详解】解:(1)当时,等价于或或,解得或或,所以不等式的解集为:.(2)依题意即在时恒成立,当时,,即,所以对恒成立∴,得
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