广西百色市普通高中2025届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

广西百色市普通高中2025届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a2+A．10 B．11 C．12 D．132．“”是“”成立的（）A．充分非必要条件. B．必要非充分条件.C．充要条件. D．既非充分又非必要条件.3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（）A． B． C． D．4．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31 B．15 C．8 D．75．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．4 B．-5 C．-6 D．-86．函数的一个对称中心是（）A． B． C． D．7．设全集，集合,,则（）A． B．C． D．8．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．设为等比数列的前n项和,若,,成等差数列,则()A．,,成等差数列 B．,,成等比数列C．,,成等差数列 D．,,成等比数列10．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是边长为23的等边三角形，其中PA=PB=12．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________．13．已知数列的前项和满足，则______．14．已知，且，则_____.15．若集合，，则集合________.16．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线与圆交于不同的两点（不在y轴上)．（1）若直线的斜率为3，求的长度；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；（3）设的中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．18．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.（1）若，求三棱柱的体积；（2）证明：平面；（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.19．已知函数.（1）求的最小正周期，并求其单调递减区间；（2）的内角，，所对的边分别为，，，若，且为钝角，，求面积的最大值.20．已知向量，．（I）若，共线，求的值．（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值．21．已知向量，，且（1）求·及；（2）若，求的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)【详解】∵S13=117，∴13a1+a132=117，∴a1【点睛】本题考查等差数列的性质求和前n项和公式及等差数列下标和的性质，属于基础题。2、A【解析】

依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题3、D【解析】

分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．【详解】，又>0，∴，∴∴当x∈（1，1）时，y＝[f（x）]＝1；当x∈[1，）时，y＝[f（x）]＝1．∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，1}．故选D．【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．4、B【解析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.【详解】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.故选：B.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.5、D【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.本题选择D选项.6、A【解析】

令，得：，即函数的对称中心为，再求解即可.【详解】解：令，解得：，即函数的对称中心为，令，即函数的一个对称中心是，故选：A.【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，属基础题.7、A【解析】

进行交集、补集的运算即可．【详解】∁UB＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁UB）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．8、B【解析】

利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.【详解】，因为为锐角三角形，所以，，，故,选B.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.9、A【解析】

先说明不符合题意，由时，成等差数列，算得，然后用表示出来，即可得到本题答案.【详解】设等比数列的公比为q，首项为，当时，有，不满足成等差数列；当时，因为成等差数列，所以，即，化简得，解得，所以，，，则成等差数列.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，计算出等比数列的公比是关键，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】

由已知中直线和互相平行，求出的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．【详解】∵直线和互相平行，则，将直线的方程化为，则两条平行直线之间的距离，＝＝＝.故选：D．【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、65π【解析】

本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果。【详解】如图所示，作AB中点D，连接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，过点E作平面ABC的垂线，在垂线上取一点O，使得PO=OC。因为三棱锥底面是一个边长为23的等边三角形，E所以三棱锥的外接球的球心在过点E的平面ABC的垂线上，因为PO=OC，P、C两点在三棱锥的外接球的球面上，所以O点即为球心，因为平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，D为AB中点，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P设球的半径为r，则有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面积为S=4πr【点睛】本题考查三棱锥的相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。12、【解析】

在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。【详解】如图所示：因为，又因为，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13、5【解析】

利用求得，进而求得的值.【详解】当时，，当时，，当时上式也满足，故的通项公式为，故.【点睛】本小题主要考查已知求，考查运算求解能力，属于基础题.14、【解析】

首先根据已知条件求得的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.【详解】由得，两边平方并化简得，由于，所以.而，由于，所以【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15、【解析】由题意，得，，则.16、1【解析】

由等差数列的性质可得a7+a9+a11＝3a9，而S17＝17a9，故本题可解．【详解】∵a1+a17＝2a9，∴S1717a9＝170，∴a9＝10，∴a7+a9+a11＝3a9＝1；故答案为：1．【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】

（1）求出圆心O到直线的距离，已知半径通过勾股定理即可算出弦长的一半，即可算出弦长。（2）设，直线的方程为，联立圆的方程通过韦达定理化简即可。（3）设点，根据，得，表示出，的关系，再联立直线和圆的方程得到，与k的关系，代入可解出k，最后再通过有两个交点判断即可求出k值。【详解】（1）由直线的斜率为3，可得直线的方程为所以圆心到直线的距离为所以（2）直线的方程为，代入圆可得方程设，则所以为定值，定值为0（3）设点，由，可得：，即，化得：由（*）及直线的方程可得：，代入上式可得：，可化为：求得：又由（*）解得：所以不符合题意，所以不存在符合条件的直线.【点睛】此题考查圆锥曲线，一般采用设而不求通过韦达定理表示，将需要求解的量用斜率k表示，起到消元的作用，计算相对复杂，属于较难题目。18、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.【解析】

（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，∴由三棱柱体积公式得：；（2）证明：取的中点，连接，，∵，分别为和的中点，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面；（3）连接，设，则由题意知，，∵三棱柱的侧棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又点是的中点，∴平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，∴，即，∴，则时，平面.【点睛】本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.19、（1）最小正周期；单调递减区间为；（2）【解析】

（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为；利用可求得最小正周期；令解出的范围即可得到单调递减区间；（2）由可得，根据的范围可求出的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出的最大值，代入三角形面积公式求得结果.【详解】（1）最小正周期：令得：的单调递减区间为：单调递减区间.（2）由得：，解得：由余弦定理得：（当且仅当时取等号）即面积的最大值为：【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期和单调区间的求解、解三角形中三角形面积最值的求解问题；涉及到二倍角公式和辅助角公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识；求解正弦型函数单调区间的常用解法为整体代入的方式，通过与正弦函数图象的对应关系来进行求解.20、（I）;（II）;（III）【解析】

（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值