河北景县梁集中学2025届数学高一下期末统考试题含解析

河北景县梁集中学2025届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列中，，则等于()A．2 B．18 C．4 D．92．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3，6，10记为数列，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测:（）A．1225 B．1275 C．2017 D．20183．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为()A． B． C． D．4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（）A． B． C． D．5．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，，，，则B．若，，，，则C．若，，，，，则D．若，，，则6．在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：①当时，若，则；②当时，若，则；③当时，M不可能等于3；④M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A． B． C． D．8．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A． B． C． D．或9．的值等于()A． B． C． D．10．已知向量，，则（）A．-1 B．-2 C．1 D．0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，正方体中，的中点为，的中点为，为棱上一点，则异面直线与所成角的大小为__________．12．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________13．已知正方形，向正方形内任投一点，则的面积大于正方形面积四分之一的概率是______．14．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.15．在中，，，面积为，则________．16．在矩形中，，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知三棱柱（如图所示），底面为边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）求三棱锥的体积.18．在中，角所对的边分别为，且.（1）求边长；（2）若的面积为，求边长.19．（1分）设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．20．从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如图所示的茎叶图.已知甲班成绩数据的中位数为13，乙班成绩数据的平均数为16.（1）求x，y的值；（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低.（注：方差，其中为的平均数）21．己知数列的前项和，求数列的通项.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用等差数列性质得到，，计算得到答案.【详解】等差数列中，故选：D【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.2、A【解析】

通过寻找规律以及数列求和，可得，然后计算，可得结果.【详解】根据题意可知：则由…可得所以故选：A【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到，属难题，3、C【解析】

将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.故选C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.4、C【解析】

根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案．【详解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；则S△ABCabsinC；故选：C．【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积计算公式，关键是利用余弦定理求出ab的值.5、D【解析】

逐一分析选项，得到答案.【详解】A.根据条件可知，若，不能推出；B.若，就不能推出；C.条件中没有，所以不能推出；D.因为，，所以，因为，所以．【点睛】本题考查了面面平行的判断，属于基础题型，需要具有空间想象能力，以及逻辑推理能力.6、B【解析】

作出直线，可得，，，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论．【详解】作出直线，可得，，，①当时，若，当圆与直线相切，可得；当圆经过点，即，则或，故①错误；②当时，若，圆，当圆经过O时，，交点个数为2，时，交点个数为1，则，故②正确；③当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，不可能等于3，故③正确；④的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.7、A【解析】

分别计算出每个面积，相加得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.8、B【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα••，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．9、A【解析】=,选A.10、C【解析】

根据向量数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量，，所以.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意得到直线MP运动起来构成平面，可得到面，进而得到结果.【详解】取的中点O连接，，根据题意可得到直线MP是一条动直线，当点P变动时直线就构成了平面，因为MO均为线段的中点，故得到，四边形为平行四边形，面，故得到，又面，进而得到.故夹角为.故答案为.【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.12、(-∞,1)【解析】

由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．【详解】两个正实数x，y满足2，则x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，由题意可得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点睛】本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．13、【解析】

向正方形内任投一点，所有等可能基本事件构成正方形区域，当的面积大于正方形面积四分之一的所有基本事件构成区域矩形区域，由面积比可得概率值.【详解】如图边长为1的正方形中，分别是的中点，当点在线段上时，的面积为，所以的面积大于正方形面积四分之一，此时点应在矩形内，由几何概型得：，故填.【点睛】本题考查几何概型，利用面积比求概率值，考查对几何概型概率计算.14、.【解析】

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.15、【解析】

由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】，，面积为,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16、【解析】

取的中点，连接，三棱锥外接球的半径再计算体积.【详解】如图，取的中点，连接.由题意可得，则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.故答案为【点睛】本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】

（1）在平面找一条直线平行即可．（2）在平面内找两条相交直线垂直即可．（3）三棱锥即可【详解】（1）连接，因为直棱柱，则为矩形，则为的中点连接，在中，为中位线，则平面（2）连接，底面底面底面①为正边的中点②由①②及平面（3）因为取的中点，连接，则平面，即为高，【点睛】本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的证明，以及三棱锥的体积公式，证明直线与平面平行往往转化成证明直线与直线平行．属于中等题．18、（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，又，所以，．因为，所以．…6分（Ⅱ）因为，，所以．据余弦定理可得，所以．…12分考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.19、（1）an=2×【解析】试题分析：（1）设出等比数列{an}的公比q，利用条件a1=4，a3﹣a4（4）数列{an+bn}是由一个等差数列和一个等比数列对应项相加得来的，所以可以采用拆项分组的方法，转化为等差数列、等比数列的前n项和问题来解决.试题解析：解：（1）设数列{an}的公比为q，由a1=4，a3﹣a4=1，得：4q4﹣4q﹣1=4，即q4﹣q﹣6=4．解得q=3或q=﹣4，∵q＞4，∴q=﹣4不合题意，舍去，故q=3．∴an=4×3n﹣1；（4）∵数列{bn}是首项b1=1，公差d=4的等差数列，∴bn=4n﹣1，∴Sn=（a1+a4++an）+（b1+b4++bn）=+=3n﹣1+n4．考点：等差数列与等比数列.20、（1），；（2）乙班的整体水平较高【解析】

（1）由茎叶图数据