工程力学：力偶系

1力偶系§3-1力对点之矩矢§3-2力对轴之矩§3-3力偶矩矢§3-4力偶的等效条件§3-5力偶系的合成§3-6力偶系的平衡条件2平衡二力：大小相等，方向相反，共线A对刚体不产生作用效应力偶：大小相等，方向相反，不共线对刚体产生转动效应AB问题：如何描述力或力系对刚体产生的转动效应呢？3A§3-1力对点之矩矢平面上的力F对刚体产生的绕平面上某一点O的转动效应取决于两个要素：1.强弱程度：F

为作用于刚体上的一个力，O为位于F作用线外的一点——F

有使刚体绕O

转动的趋势（效应）2.转动方向：O称为矩心，O

到力F

的作用线的垂直距离h

称为力臂一、平面中力对点之矩逆时针为正顺时针为负力F与力臂h的乘积43.转动轴的方位（或者说力F与O所在的平面的法线方位）二、空间中力对点之矩的概念在一般情况下，力F对刚体产生的某一点O的转动效应取决于三个要素：1.强弱程度;2.转动方向;Frd1.力对点之矩矢的数学描述（1）力矩矢量表示式：

对应转动效应的强度

—矢量方向由右手定则确定，确定了转动方向—矢量作用在O点,垂直于

r和F

所在的平面，对应转动轴的方位5（2）力矩矢量解析表示式力对点之矩在轴上的投影：xyzijkrFxyz62.力对点之矩的基本性质

力对点之矩服从矢量的合成法则：作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点O的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对O点矩矢的矢量和：同样，由n个力组成的力系对刚体产生的绕任一点O的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于各力对O点矩矢的矢量和：73.力对点之矩的合力矩定理：则有，合力对任一点的矩矢等于各分力对同一点矩矢的矢量和：若作用在刚体上的力系存在合力8F§3-2力对轴之矩

定义:力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩。(代数量）力对轴之矩的实例思考：如果力与轴平行，会产生转动效应吗？9zodF力对轴之矩的计算方法一:将力向垂直于该轴的平面投影,力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积。代数量正负的判断：右手定则10xzijkyFyxz方法二:将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。力F对z轴之矩：力F对x轴与y

轴之矩：11力对轴之矩结论：力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影xyzOrF问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？=

(Fzy-Fyz)i+(Fxz-Fzx)j+(Fyx-Fxy)k力对点之矩特殊情形:当轴垂直于

r和F所在的平面时,力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。12将上式向x轴投影,可以得到结论:

力系的合力对某一轴之矩等于各分力对该轴之矩的代数和

力对轴之矩的合力矩定理力对点之矩的合力矩定理：13§3-3力偶、力偶系和力偶矩矢力偶与力偶系由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作

二力作用线之间的垂直距离——力（偶）臂

二力所在平面——力偶作用面FF’作用于刚体上的一群力偶——力偶系力偶只对刚体产生转动效应14ABFF’力偶矩矢—

力偶对刚体转动效应的度量FABF’dM注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关。O力偶矩矢力偶(F,F’)是特殊的力系，对O点

的合力矩为：151、力偶的等效条件(定理）两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等ABCD§3-4、力偶的等效条件和性质16性质一力偶不能与一个力等效2、力偶的性质MrF思考：主动力偶M

和主动力

F作用在可绕中心轴转动的轮上，如图所示。当力偶矩与力满足关系M＝Fr时，轮处于平衡状态。这不正说明力偶可以与一个力等效吗？F17ABAB性质二

力偶可在其作用面内任意平移和转动（或移到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应FFFF18性质三

只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d

可变），则力偶对刚体的作用效应就不变。AB19证：设物体的某一平面上作用一力偶(F,F')(1)沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q'),Q',F'合成R'，(2)再将Q,F合成R，得到新力偶(R,R'),(3)将R,R'分别移到A',B'点，则(R,R')与原力偶等效思考：如何证明力偶可在其作用面内任意转动F'FABQ'QR'R(4)最后将力偶(R,R')的力臂调整到与原力偶相等20§3-5、力偶系的合成设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2，结论：两个力偶的合成的结果是一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和总能将其等效为两个共力臂的力偶：21作用于刚体上的力偶系合成为一力偶任意个力偶的合成合力偶的大小：合力偶的方向：22平衡的充分必要条件:空间力偶系的平衡条件：平面力偶系的平衡条件：§3-6、力偶系的平衡条件可解三个未知量可解一个未知量23ABOABO（A）（B）例：结构如图所示，已知主动力偶M，哪种情况铰链的约束力较小,并确定约束力的方向（不计构件自重）1、研究OA杆2、研究AB杆24ABO思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶

M，确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）ABOFO令M’＝{FO,FB}FB25例：主动力偶M，确定支座A和杆AE上铰链E处的约束力（不计构件自重）。MEABC(1)选取整体为研究对象，确定FAyFBFAyD(2)选取AE杆为研究对象，确定FEFCDFAyFEFEFCDFAy26DB

研究BD研究ACCABD

例:求当系统平衡时,力偶应满足的关系。CAD272.画刚体所受的所有主动力偶和约束反力偶，并移动到O点例：轴线处于同一平面内的四根直杆OA,OB,OC,OD彼此刚性连接，与相连杆垂直的三个圆盘的直径分别为dA=60cm,dB=40cm,dC=

20cm,a=1200,求直杆D端受到的约束反力偶的大小和方向。解：3.平衡条件5N5NBOAC10N10N20N20NaD1.选取刚体整体为研究对象，建立坐标系yx28思考题：