初中数学几何模型大全

初中数学几何模型大全

几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察,而掌握几何模

型能够为考试节省不少时间

1、全等变换

平移:平行等线段（平行四边形）

对称:角平分线或垂直或半角

旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

角分线模型

过的分收臬点作金找

拉角姮边作■蟆

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15*及有一个角是30°直角三角形的

对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角:有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转:有一-对相邻等线段,需要构造旋转全等

共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等

中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

1、旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含-一个二分之一角，通过旋转将另

外两个和为二分之一-的角拼接在一起,成对称全等。

2、自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度,造等边三角形

遇90度旋90度,造等腰直角

遇等腰旋顶点,造旋转全等

遇中点旋180度,造中心对称

说明：旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过

"8"字模型可以证明。

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰

直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多

边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成

三角形证全等。

4、中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形-一个等腰直角三角形

及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角

形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一-直角边,转化成要证明的等腰

直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全

等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

HlItt2

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异侧两线段之基最小模型

轴对称模型

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

酸短模型最小模型最小模型

对称最值（点到直线垂线段最短）

说明:通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值（共线有最值）

B

PB

说明:找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,

定长线段的差为最小值。

剪拼模型

三角形一四边形

四边形一四边形

图II

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形一正方形

图13

正方形+等腰直角三角形一正方形

面积等分

旋转相似模型

DE

B

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成

旋转相似。推广:两个任意相似三角形旋转成一一定角度，成旋转相似。第三边

所成夹角符合旋转“8”.字的规律。

相似模型

说明:注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代

换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到--线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出

现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外,

相似、射影：定理、相交弦定理（可以推广到圆幕定理）之间的比值可以转换成

乘积,通过等线段、等比值、等乘积进行代换,进行证明得到需要的结论。

说明:相似证明中最常用的辅助线是做平行,根据题目的条件或者结论的比值来

做相应的平行线。

>模型一：手拉手模型-旋转型全等

>辘：①AO4C・SOBDf©LAEB-60°；0平分LAED,

（2）等股/〃A

>到hAOS均为等腰直角三角形

a结论：①・SOBI）；②LAEB-90°,

a③OE平分U冷

<3）任意等原三角胞

/1D

a条件:A0/8.A0CZ）均为等股三角形

>结论：①ACMC■AOBD.②LAEB-LAOB；

>③。£平分乙4£么

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

⑴一85«a

a条件：将旋转至右图位用

A结论：

a右图中A6UChOBDf

a②延长*C交加干点E,必有LBEC-LBOA

（2）特阚S况

*条件：CWAB,U0J9.9O。，将AtXD旗转至右图

位员

a结论；右图中①AOCQSAO/B>&OACAOBD3②

延长HC交口于点E,LBEC-LBOAI

—=1=—=tanZOC7)

③/COCOA；f$fBD!AC；

(M接mBC,必有皿+M+8\⑥鼠…13。(对角线互相垂直的幽物

A模型三：对角互补模型

(1)

AwJ

a条件：①LAOB-LDCE-90、②OC平分LAOB少,U

a结论：(£)CD=CE②OD+OE-41C)C.③/\

SOME・^UJLD+^MXA"Q(乂

A证理假示：

Of乍垂直，如图，证明ACOM-ACEN,.4

杰赞丁、,

②过点。作6,℃,如上图（右），证明A8C・AFEC；L

八B〃

a当LlXE的一边交A0的延长线于点D时：

山三悭论：©CD=CE（不变）j'也k

®OE-OD->/2OC,③-$历-产uH

此结论证明方法与前T幡况T,可自行尝试.

（2）全等型120°

a条件：①乙4O8-2Z2)C£・l20°,<\^/<

a©OC^LAOBi'\y

aSife：©CD-C£'j©OD^OE•OC',，Xy-

7H

QSE=Si+S…与OC)

/

»③4A\J人

»iiR眼示：①可参考“全等型证法-j\\

②如图：在。8上取一点F,使0F=0C,证明AOC尸

为等边二角形。q/)NG\»

+［模型四：角含半角模型90。

(1〉角含半角馍型90,-1

a条件：①正方形^CD,②LEAF-45",

a结论：①标・OF+8E,②\CEF的周长为正方形48co周长的一半,

也可以这徉：

a条件：①正方形ABCD,②EF-DF+BE

a结论：LEAF-45°

(2)甬含半角模型90°~2

a条件：①正方形^BCD；②LEAF-45°；吗’

a结论：EF-DF-BE

a£(!9j线如下图所示：

＞模型五：倍长中线类模型

,中

"(1)跳鸭浅蹦-J

a条件：臃形②8C・8E.③。尸・£尸，

a结论：AF1CF

模型提取：隔由亍线ADUBE；②曲亍线电艾段有中点DF-EF.

可以构芸“8”字全等MDF«MIEF.

（2）

a条件：呻行四边形A8CD,②BC-2孙③AM-D.W；@CEJLAD.

a芸论：LEMD-3LMEA

.4B//CD.有中点

见长.拘迨bWFMWIF.>14CM构

it**&EMC.AMCF

谟戊构逾8字£号愎戊ttit及GJt*累，角Ml大

小转化

A模型三：对角互补模型

⑴全等型好1

条件：①ZJ08・LDCE-90°,②0c平分LAOB

培论：OCD=CE,②。D+OE-6()(,)③

SoDCE"+Sw■力0€

＞聊际：

0乍垂直，如图，证明AC/）V・A（EVj

②过点C作CF1℃,如上图（右），证明A°DC■好EC

＞当LlKE的一边交AO的延长线于点。时：

为LE偿运®CD=CE（不变）f

®OE-OD-也OCj③§3-Sg0产

蝠论蹦方法与H幡况也可自彳旖&

(2)全等型-120°

>条件：①乙4。8・22次王・1201

>②。C物乙4。8；

>结论:①(0-CE,©()1)+OE•仇j

＞迪版示：①可替者“全等型-90。”证法一；

②如图：在08上取一点F,使OF=OC,硼A（"

为等边三龟形。

A模型六：相惧三角形36T旋转模班

,1)相贮角影《等例理语长中将法也”“初优〃;！

条件：①A〃止、MBCtu

为写服自角三角影J②

EF-CF

将论:①"F-RF,②

DF1BF

A条件：①&4O£,MSC均为答覆且角三甬形5

A结论：①。尸一即\

・劝0:构遣导etAU.A"〃

M劝N»』m：将【*鸟Hl”化到＜O与Ell

“"：MHHAG.ft.<；n«.Mt

a条ft：①M)AB^NOIXi®LOAB■LOIK■90*<T>%Hft.峥/MXiB,

③

BE-CE.a“为ast“恨曼.

a雌：①/A■DE1②LAE!)-1LABO

4Bif.・▲4”牝NJ£P

(S)任副Ml直角三角影360・施林II新借长法

MMn：<KMlJLW.KAM■/*.<M

a条件：①&OABS&ODCB②LOAB-LOCK：90°③★■向"”牝*M，\加九二

BE・CEQ

寿・，・#ZR〃MA.43dt"牝*as

a结论：①AE・DE.②UED-2UBO

X及S，Ad〃/・使用一力NtJL去・♦

A模型七：最短路程模型

思体：以上可圉%*IL的体吴*M珞我同®,

*后•：♦♦化，I:“图点之网，Aft*点””决

科点：①劝点aA愎上:②起&..忤点国之

<2）最短路程16型二（点的直叫1）

.,4/〃“财或：料作。美十a•时你4.0.#化

|/>1zy-n?.<AW»MH1U4

正然段斌短O0\tBMP+a-/V"UW（m.）

A条件：①比平分乙〃孙②“为“8上一定点,③P为℃上T］点，®。为08上一动点，

A求："P+P0最小时，八。的位置？

⑶（点至值峰2）

a条件：*0,48（-20）.?（0.〃）

PB^~PA

A问就：”为何值时，5最小

__nsini.OAC•-—•

»求解方法：①x轴上取0亿°）,使5।②过8作8dC,交V轴于点*艮防所求,

tanLEBO«tanLOAC

2,即£（0J）.

«）用融程帙整三《旄弼类最俗模型》

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收小他H

<t<lla<«4.OB-JdJ*Kn<x<«4.<w»2

♦内iCDltrVW'.Z/Mk-Mr

◎彳“•角3•”<AB.，彳r♦橙ti・

-11X-2；。川•"4"、*•，•▲

③▲，4角<><»)-A

M«t"•卜个，<S>.VAK・Jl。”

・女，"▲"，・<,，*◎，・・“・M4i・—・々SM。，“Ori

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夕/第・・卜0。1・"5.1

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■1■i<A4*<4Ii・小・13T中05$】

A模型八：二倍角模型

A模型九：相似三角形模型

(D相以三角形模里妻本型

4凶n'XI

条件，如左■一小rn・窗r

”地：.法X<6■<CXAD

*懵826面一小图/"无、■二

”言：.2■A£7B

姑论：—■———(金叁M应边费时应)

ABACBC%«M、国比介&AH*以-HC7C

第Q-HE-HA.CE；・RE-AE

♦件：左M:Z.4/W'-Z.4CZ-Z<7>A-*xrD

tre：zj/r「-N"为・/•?)£■〃尸条件：+1B.PA为I■的切想

*m：zuzrc-z,<ar-zcz)ir-45结论：左附：PA・I»B・PC„

抬论：绮才图"・奇也的结论

+m：PA2•PCKPB

力\1优5E7》：⑵.1〃"正,秋X7)

右用：PAKPB^IKKPD

一惺三等傅帽大电履翕用余KJL方崔人4代美

以上体论为可以通it帆似三角附遣仔泡明

初中数学11个黄金模型

初中数学11个黄金模型有数与式模型、方程模型、不等式模型、初等函数模型、

函数综合模型等等

1、初中数学11个黄金模型

2、1、数与式模型、

3、2、方程模型、

4、3、不等式模型、

5、4、初等函数模型、

6、5、函数综合模型、

7、6、辅助线模型、

8、7、几何变换模型、

9、8、圆模型、

10、9、概率统计模型、

11、10、开放探究模型、

12、11、阅读理解题模型。

2、初中数学几何变换模型

a牯论：①AtMC>kOBD,②LAEB-60°；0（无平分LAED,

（2）等腰*A

a斜hA。依A〃（7）均为等胜宜角三角形

a结论：①A"4c・AOBDj②UEB-90°,

a③OE平分工4ED.

<3）任意等腰三角形

*条件：A°'8.AOCC均为等腰三角形

a给论：①A"，・&OBD.②LAEB-LAOB.

a③"£平分乙"7，

a条件：①UOB-ZDC£-90°,②0c平分乙*OB

a结论：0CD=CE;②OD+OE-41CK')③

S3KLSg>+$5>■；仪"

*证摩假示：

啾垂直，如图，证明AC"H"A(EV,

®a点C作CFJ.OC.如上图〈右)，证明A00C-AF£C；

>当心"有的一边交x。的延长线于点口时：

见三福论：(S)CD=CE(不变”

LSjUKT——OCi

®OE-OD->/2OC,®旧s2

此结论ii明方法与防—种®况一致，可自行尝试•

(2)全等型-120。

a新：①ZJOB-2ZJX£・120",

a结论：①CD-CEf②OD+OE・(X.,

XvXT"S1110nt+S®,•--OC,

③4

AMW示：①可攀考“全等型-90°”证法一；

②如图：在OB上取一点F,使OF=OC,证明AOCF

为等边三角形-

/力,凶0