2024届吉林省十校联考最后数学试题含解析

2024届吉林省十校联考最后数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列计算正确的是（）

A.x2x3=x6B.（m+3）2=«?2+9

C.。1°+“5=“5D.（xj2）3—xy6

2.不等式5+2x<1的解集在数轴上表示正确的是（）.

3.计算一5x2-3x2的结果是（）

A.2x2B.3x2c.—8x2D.8X2

4.若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3,则这两个三角形的面积比为（）

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

5.2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别

为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）

A,~=L.?+B.二口二j+三/7j汽，

C二=二（1+£.哂（7一25㈤D.二=二1+£⑦：（?+”匍

6.如图，在矩形ABCD中，AB=2a,AD^a,矩形边上一动点P沿C—Z）的路径移动.设点P经过的路径

7.已知二次函数y=ax2+bx+c（arl）的图象如图所示，给出以下结论：@a+b+c<l；②a-b+cVl；③b+2aVl；@abc

>1.其中所有正确结论的序号是（）

C.①④D.①②③

8.如图，四边形ABCD是菱形，ZA=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分的面积是

D.71—y/3

2

^^=仁3成立的x的取值范围在数轴上可表示为（

9.等式)

Jx+lVx+1

10.下列事件中为必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放茂名新闻B.早晨的太阳从东方升起

C.随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D.下雨后，天空出现彩虹

11.下列各数：1.414,j,0,其中是无理数的为（）

1

A.1.414B.72C.--D.0

3

12.估计血-1的值在（）

A.0到1之间B.1到2之间C.2到3之间D.3至4之间

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是。

14.如图，在△ABC中，NACB=90。，NA=30。，BC=4,以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分

别以点B和点D为圆心，大于‘BD的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为

2

15.化简：千字十（--1）=

16.将一个含45。角的三角板ABC,如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C顺时针旋转75。，点3的对应点8,恰

好落在轴上，若点C的坐标为（L0）,则点8'的坐标为.

17.分解因式：3m2-6mn+3n2=.

18.计算：（-工）"-2cos60°=.

2

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的

组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30。，底端B的俯角为10。，请你根据以上数据，求出楼AB的高度.（精确

到0.1米）（参考数据：sinl0°-0.17,cosl0°-0.98,tanl0°=0.18,亚-1.41,6«1.73）

20.（6分）列方程解应用题:某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年

增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长

率为多少？

21.（6分）2019年1月，温州轨道交通S1线正式运营，S1线有以下4种购票方式:

A.二维码过闸B.现金购票C.市名卡过闸D.银联闪付

某区居艮购票方式

磨形统计图

某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已

知选择方式D的有200人，求选择方式A的人数.小博和小雅对A,B,C三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一

种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.

22.（8分）已知，关于x的方程X?-mx+Lm?-1=0,

4

⑴不解方程，判断此方程根的情况；

⑵若x=2是该方程的一个根，求m的值.

23.（8分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图1中，AF,BE是△ABC的中

线，AF±BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当NABE=45。，c=2夜时，a=,b=

如图2,当NABE=10。，c=4时，a=,b=：

归纳证明

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a?,b2,c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关

系式；

拓展应用

(1)如图4,在口ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE1EG,AD=26,AB=1.求AF的长.

24.（10分）某保健品厂每天生产A,B两种品牌的保健品共600瓶，A,B两种产品每瓶的成本和利润如表，设每天

生产A产品x瓶，生产这两种产品每天共获利y元.

（1）请求出y关于x的函数关系式；

（2）如果该厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？

（3）该厂每天生产的A,B两种产品被某经销商全部订购，厂家对A产品进行让利，每瓶利润降低——元，厂家如

100

何生产可使每天获利最大？最大利润是多少？

AB

成本（元/瓶）5035

利润（元/瓶，）2015

25.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=1,BC=一二，在AC边上截取AD=BC,连接BD.

（1）通过计算，判断AD?与AC・CD的大小关系;

（2）求NABD的度数.

26.（12分）下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式:

收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min）

A30250.05

B50500.05

C120不限时

设上网时间为t小时.

（I）根据题意，填写下表:

月费/元上网时间/h超时费/（元）总费用/（元）

方式A3040

方式B50100

（II）设选择方式A方案的费用为门元，选择方式B方案的费用为y2元，分别写出yi、y2与t的数量关系式；

（III）当75ct<100时，你认为选用A、B、C哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）？

27.（12分）在AABC中，已知AB=AC,ZBAC=90°,E为边AC上一点，连接BE.如图1,若NABE=15。，O为

BE中点，连接AO,且AO=L求BC的长；如图2,D为AB上一点，且满足AE=AD,过点A作AFLBE交BC于

点F,过点F作FGLCD交BE的延长线于点G,交AC于点M,求证：BG=AF+FG.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

根据乘方的运算法则、完全平方公式、同底数塞的除法和积的乘方进行计算即可得到答案.

【详解】

x2*x3=x5,故选项A不合题意；

（m+3）2=m2+6m+9,故选项5不合题意;

a^a5=a5,故选项C符合题意；

（孙2）3=*316,故选项。不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查乘方的运算法则、完全平方公式、同底数■的除法和积的乘方解题的关键是掌握乘方的运算法则、完全平方

公式、同底数幕的除法和积的乘方的运算.

2、C

【解析】

先解不等式得到x<-L根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边.

【详解】

5+lx<l,

移项得lx<-4,

系数化为1得xV-1.

故选C.

【点睛】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值

范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心.

3、C

【解析】

利用合并同类项法则直接合并得出即可.

【详解】

解：-5X2-3X2=-8X2.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了合并同类项，熟练应用合并同类项法则是解题关键.

4、C

【解析】

由AABC与ADEF相似，相似比为2：3,根据相似三角形的性质，即可求得答案.

【详解】

1•△ABC与ADEF相似，相似比为2：3,

这两个三角形的面积比为4：1.

故选c.

【点睛】

此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.

5、C

【解析】

根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,求出2014年我省财政收入，再根据出2015

年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元，

即可得出a、b之间的关系式.

【详解】

V2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,

.•.2014年我省财政收入为a(1+8.9%)亿元，

V2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元，

.,.2015年我省财政收为b=a(1+8.9%)(1+9.5%)；

故选C.

【点睛】

此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题.

6、D

【解析】

解：(1)当0<Z<2a时，>/PZ)2=AD2+AP2，AP=x,：.y=/+/；

(2)当2°<姓3a时，CP=2a+a-x=3a-x,PD1—CD2+CP2>y-(3a-x)~+(2tz)2=%2-6ax+13a1;

(3)当3a<在5a时，PD=2a+a+2a-x=5a-x,Vpjjr=y,y—(5a—x)2=(x-5tz)2；

x2+o2(0<x<2a)

综上，可得y=<—-6ax+l3a2(2a<xV3a),.•.能大致反映y与*的函数关系的图象是选项D中的图象.故选D.

Cx-5a)2(3a<x<5a)

7、C

【解析】

试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x

轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：①当x=l时，y=a+b+c=L故本选项错误；

②当x=-l时，图象与x轴交点负半轴明显大于-1,；.y=a-b+cVl,故本选项正确；

③由抛物线的开口向下知a<l,

•••对称轴为I>x=-?>1,

2a

.\2a+b<l,

故本选项正确；

④对称轴为

2a

...a、b异号,即b>l,

•".abc<l,

故本选项错误；

•••正确结论的序号为②③.

故选B.

点评:二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>l；否则aVl；

(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-b2a判断符号；

(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>l；否则cVl；

(4)当x=l时，可以确定y=a+b+C的值；当x=-l时，可以确定y=a-b+c的值.

8、B

【解析】

根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG之△DBH,得出四边形GBHD的

面积等于AABD的面积，进而求出即可.

【详解】

•••四边形ABCD是菱形，ZA=60°,

.\ZADC=120°,

.,.Zl=Z2=60°,

/.△DAB是等边三角形，

VAB=2,

/.△ABD的高为出，

•.•扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，

/.Z4+Z5=60°,N3+N5=60°,

:.Z3=Z4,

设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H,

在小ABG和ADBH中，

ZA=Z2

{AB=BD,

Z3=Z4

/.△ABG^ADBH(ASA),

二四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

二图中阴影部分的面积是：SEBF-SAABD=607R><2---x2x73

3602

=边—6

3

故选B.

9、B

【解析】

根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围.

【详解】

_%-3>0

由题意可知：\,C，

%+1>0

解得：x..3,

故选：B.

【点睛】

考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

10、B

【解析】

分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：

A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误;

B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；

C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；

D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误.

故选B.

11>B

【解析】

试题分析：根据无理数的定义可得.，二是无理数.故答案选B.

考点：无理数的定义.

12、B

【解析】

试题分析：；2V&<3,

即瓜-1在1到2之间，

故选B.

考点：估算无理数的大小.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、0.1

【解析】

频数

根据频率的求法：频率=,即可求解.

数据总和

【详解】

解：根据题意，38-45岁组内的教师有8名,

即频数为8,而总数为25；

Q

故这个小组的频率是为—=0.1；

故答案为0.1.

【点睛】

频数

本题考查频率、频数的关系，属于基础题，关键是掌握频率的求法：频率=

数据总和

14、1；

【解析】

分析：根据辅助线做法得出CF1AB,然后根据含有30。角的直角三角形得出AB和BF的长度，从而得出AF的长度.

详解：•.,根据作图法则可得：CF1AB,VZACB=90°,ZA=30°,BC=4,

1

.\AB=2BC=8,VZCFB=90°,ZB=10°,/.BF=-BC=2,

2

/.AF=AB-BF=8-2=1.

点睛：本题主要考查的是含有30。角的直角三角形的性质，属于基础题型.解题的关键就是根据作图法则得出直角三

角形.

15、-

【解析】

直接利用分式的混合运算法则即可得出.

【详解】

原式=解0♦百

=二(匚+2).匕司

(二7；/£+A

-C(Z+2)I二

=-.

故答案为：-.

【点睛】

此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.

16、(1+72,0)

【解析】

先求得NACO=60。，得出NOAC=30。，求得AC=2OC=2,解等腰直角三角形求得直角边为0,从而求出卬的坐标.

【详解】

解：*/ZACB=45°,NBCB，=75°,

...NACB'=120°,

•,.ZACO=60°,

...NOAC=30°,

/.AC=2OC,

•••点c的坐标为(1,0),

/.OC=1,

.*.AC=2OC=2,

,•,△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=BC=4I

BC=AB=^2

OB'=1+42

••B点的坐标为(1+0,0)

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关

线段的长度，即可解决问题.

17、3(m-n)2

【解析】

原式=3(根2-2mn+n2)=3(m-n)2

故填：3(m-n)2

18、3

【解析】

按顺序先进行负指数塞的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.

【详解】

(---)-2-2cos60°

2

1

=4-2x—

2

=3,

故答案为3.

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了负指数塞、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、30.3米.

【解析】

试题分析：过点D作DELAB于点E,在RtAADE中，求出AE的长，在RtADEB中，求出BE的长即可得.

试题解析：过点。作于点E,

*-AE

在RtAAOE中，ZAED=9Q°,tanZl=——，Zl=30°,

DE

：.AE=DExtanZl=40xtan300=40x2^1=40xl.73x-=：23.1

33

*»BE

在RtAOEB中，ZDEB=9d°,tanZ2=——，Z2=10°,

DE

，BE=DExtanZ2=40xtanl0°=40x0.18=7.2

：.AB=AE+BE~23.1+7.2=30.3米.

20、从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

【解析】

设年平均增长率为x,根据：2016年投入资金x（1+增长率）2=2018年投入资金，列出方程求解可得.

【详解】

解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为X.

根据题意得：1280（1+X）2=1280+1600.

解得xi=0.5=50%,汹=-2.5（舍去）,

答:从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键.

21、（1）600人（2）-

3

【解析】

（1）计算方式A的扇形圆心角占D的圆心角的分率，然后用方式D的人数乘这个分数即为方式A的人数；

（2）列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两

名同学恰好选中同一种购票方式的概率.

【详解】

120

(1)200x4-八、=6°°(人)一•.最喜欢方式A的有600人

(JoU—9U—11U)

(2)列表法:

ABC

AA,AA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

树状法:

V：

C

:,P(同一种购票方式)=-

3

【点睛】

本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题

的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22、(1)证明见解析；(2)m=2或m=l.

【解析】

(1)由4=(-m)2-4xlx(—m2-l)=4>0即可得；

4

(2)将x=2代入方程得到关于m的方程，解之可得.

【详解】

(1),.，△=(-m)2-4xlx(—m2-1)

4

=m2-m2+4

=4>0,

...方程有两个不相等的实数根；

(2)将x=2代入方程，得：4-2m+—m2-1=0,

整理，得：m2-8m+12=0,

解得：m=2或m=l.

【点睛】

本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)

将x=2代入原方程求出111值.

22

23、(1)2石，275?2而，2不；(2)a~+b=5C;(DAF=2.

【解析】

试题分析:⑴；AF_LBE,NABE=25。,.,.AP=BP=*AB=2,YAF,BE是小ABC的中线,.，.EF〃AB,EF=^AB=vC，

:.NPFE=NPEF=25。,.・.PE=PF=1,在RtAFPB和RtAPEA中,AE=BF=]2+？2=诋,AC=BC=2芯；.a=b=2遍,

如图2,连接EF,同理可得：EF=—x2=2,VEF/7AB,.,.△PEF〜△ABP,在RSABP中，

2APPBAB2

AB=2,ZABP=10°,/.AP=2,PB=2«,；.PF=1,PE=«,在RtAAPE和RtABPF中，AE=>/7,BF=713,/.3=2713,

b=2、R,故答案为2灰，2灰，2A/13，2、万；

(2)猜想：a2+b2=5c2,如图1,连接EF,设NABP=a,AP=csina,PB=ccosa,由(1)同理可得，PF=—PA='"S^n>

22

1a222.2

PE=—PB=C3=J-,AE2=AP2+PE2=c2sin2a+ccos,BF2=PB2+PF2=cs^n+c2cos2a.

2244

,222c22.2r.2.22.22„

(2)-c2sin2«+CCOSCl(a)=cSina+c2cos2%^_+——=csina+c2cos2a+c2sin2a+ccosa,

4444

•*.a2+b2=5c2；

(1)如图2,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,•点E、G分别是AD,CD的

中点，.•.EG〃AC,VBE±EG,/.BE±AC,.四边形ABCD是平行四边形，.•.AD〃BC,AD=BC=2代，

/.ZEAH=ZFCH,VE,F分另lj是AD,BC的中点，/.AE=yAD,BF=-^BC,AE=BF=CF=^AD=&,；AE〃BF,

2EAH=NFCH

二四边形ABFE是平行四边形，；.EF=AB=1,AP=PF,在AAEH和ACFH中，JZAHE=ZFHC»AAAEH^ACFH,

AE=CF

2222

；.EH=FH,，EQ,AH分别是△AFE的中线，由(2)的结论得：AF+EF=5AE,/.AF=5_EF2=16).•.AF=2.

考点：相似形综合题.

24、(1)j=5x+9000；(2)每天至少获利10800元；(3)每天生产A产品250件，3产品350件获利最大，最大利润

为9625元.

【解析】

试题分析：(1)A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒(600-x)瓶;利润=人种品牌白酒瓶数xA种品牌白酒一瓶的利润

+B种品牌白酒瓶数xB种品牌白酒一瓶的利润，列出函数关系式；

(2)A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒(600-x)瓶；成本=4种品牌白酒瓶数xA种品牌白酒一瓶的成本+B种品牌

白酒瓶数xB种品牌白酒一瓶的成本，列出不等式，求x的值，再代入(1)求利润.

(3)列出y与x的关系式，求y的最大值时，x的值.

试题解析：

(1)j=20x+15(600-x)=5x+9000,

'•y关于x的函数关系式为j=5x+9000；

(2)根据题意，得50x+35(600-x巨26400,

解得迂360,

•/j=5x+9000,5>0,

'.y随x的增大而增大，

当x=360时，y有最小值为10800,

二每天至少获利10800元；

(3)y=120—吉卜+15(600—x)=—+(x—250『+9625,

£^<0,...当x=250时，y有最大值9625,

...每天生产A产品250件，3产品350件获利最大，最大利润为9625元.

25、(1)AD2=AC«CD.(2)36°.

【解析】

试题分析：(1)通过计算得到二二,亍，再计算ACCD,比较即可得到结论；

(2)由二二.=ZZZZ,得到二二=二二二二即能二亚,从而得到△ABCS/\BDC,故有三二三，从而得到

BD=BC=AD,故NA=NABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,贝！J/BDC=2x,ZABC=ZC=ZBDC=2x,由三角形内角和等于180。，解得：x=36。，从而得到结论.

而T

试题解析：(1)；AD=BC=1，

VAC=1,.-.£0=7-.=,,

(2)V__：--__即三三,XVZC=ZC,AAABC^ABDC,Aee-兰,又；AB=AC,

；.BD=BC=AD,/.ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,贝！|NBDC=NA+NABD=2x,AZABC=ZC=ZBDC=2x,AZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,解

得：x=36°,.,.ZABD=36°.

考点：相似三角形的判定与性质.

26、(I)见解析；(II)见解析；(III)见解析.

【解析】

(I)根据两种方式的收费标准分别计算，填表即可；

(II)根据表中给出A,B两种上宽带网的收费方式，分别写出yi、y2与t的数量关系式