广西桂林、来宾、北海2024届高三年级下册三模数学 含解析

2024年高考第三次联合模拟考试

数学试卷

（考试用时120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若集合A={—2,—1,3,5},B={X\X2<4小则AB=()

A.{—1}B.{3}C.{-2,-1}D.{-2,-

2.已知l+zi=3i,则2=()

A.3+iB.3-iC.—3+iD.l-3i

若6〃212+.6

3.(1)3+(x-l)=%+qx+••+a6x,则。2=()

A.18B.-18C.12D.-12

4.具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据（七,》）（%,=2z-l,z=l,2,5）,其经验回归

5

方程为g=1.2x+2,则£%=（）

i=\

A.40B.32C.8D.12.8

5.某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不

一样的分法共有（）

A.45种B.90种C.180种D.270种

6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖腌，在鳖腌尸-ABC中，尸51.平面ABC,

BCLCA,且？B=BC=C4=2,M为总的中点，则异面直线8M与AC所成角的余弦值为（）

A变B且cBD正

3434

22

7.已知椭圆C：L+2L=1的右焦点为R过尸的直线与c交于A、B两点，其中点A在x轴上方且

43

AF=2FB,则B点的横坐标为（

8.已知函数〃x)=cosa)x-2sin269%sin>0)在(0,2兀)上有最小值没有最大值，则①的取值范

围是()

A.

4J2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

C1

9.在AABC中，sin—=BC=1,AC=5,贝I()

22

A.cosC=—B.AB=V21

2

C.A4BC的面积为3D.AABC外接圆的直径是2j7

2

10.小明计划高考结束后，从广西自然生态类的3处景点、历史文化类的4处景点中随机选择一处开始旅

游，要求所有景点全部游玩且不重复，记“第上站游玩自然生态类的景点”为事件k=l,2,…，7,

贝I()

A.P(A)=|B.P(A|A)=|c.P(A+A)=|D.=K

11.如图，已知圆锥尸。的底面半径为JL高为48为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，

则()

9J33\/11

A.当C为弧AB的三等分点时，AR4c的面积等于土或步一

44

B.该圆锥可以放入表面积为14兀的球内

C.边长为之的正方体可以放入到该圆锥内

4

D.该圆锥可以放入边长为2点的正方体中

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.抛物线C：9=―2"(0>0)经过点？(—1,2),则点P到C的焦点的距离为.

13.在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线/与圆C相切，直线/

在两坐标轴上的截距均为9,圆C的半径为9,点C到无轴的距离为9,则圆C的一个方程为.

k%

14.若—x）（左〉0）对任意的尤e（O,a）恒成立，则左的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.（本小题满分13分）

年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，

某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在

[0,14]内（单位：百元），按照[0,2）,[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12）,[12,14]分组，得到如

下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.

（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数（精确到0.1）；

（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布N（〃,3.24z）,其中〃近

似为样本平均数.用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率.

参考数据：若则尸（〃一crWXW〃+cr）NO.68,P（//-2cr<X<//+2cr）«0.95.

16.（本小题满分15分）

已知数列｛%｝的前n项和为S”，目4q—3s.=*.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）设包="。“，且数列｛2｝的前〃项和为「，若X/〃eN*都有不等式+”恒成立，求丸的

取值范围.

17.（本小题满分15分）

如图，在直三棱柱ABC—44cl中，ABLAC,AB=AC=\,三棱锥4—ABC的体积为变，点。

6

为B片的中点.

（1）求证：平面ACD，平面A/C；

（2）求直线C。与平面A/C所成角的正弦值.

18.（本小题满分17分）

22

双曲线C：5-方=19〉0）的左、右焦点分别为耳、F2,过及且倾斜角为60°的直线为/],过招且

倾斜角为60℃的直线为《，已知之间的距离为4月.

（1）求C的方程；

（2）若过点心的直线/与C的左、右两支分别交于M、N两点（点M、N不在无轴上），判断是否存在实

数上使得=若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分17分）

已知/（x）=（x-l-a）e'-x+（l+Q）ln（x+l）.

（1）讨论/（X）的单调性；

⑵若a>0且4％）有2个极值点再，入2（石〈工2），求证：/（石）+/（%2）v21n3—4（%+%2）・

2024年高考第二次联合模拟考试・数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

题号12345678

答案BACABCDD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABDABABD

1.B

因为A={—2,—1,3,5},5={%,2<4%}={%0<%<4},所以4B={3},故选B.

2.A

因为l+zi=3i,所以z=士次=3+i,故选A.

i

3.C

4=C；(-1)+C：(-1)4=12,故选C.

4.A

_=l+3+5+7+9=5>由点(元了)在回归直线上得了=12X5+2=8,所以£%=5歹=40.

5i=i

5.B

C2C2A3

6:3=90.

A；

6.C

取PC的中点N,连接MN、BN,如图所示：

三.

；M、N分别为E4、PC的中点，则MN,CA且MN=；CA=1,

.♦.异面直线与AC所成的角为或其补角.

平面ABC,3。匚平面48。，；.依，3。，PC7PB2+BC。=2及,

：.BN=-PC=4I,同理可得=LPA=6，：.BN2+MN2=BM2,

22

MNx/3

：.BNLMN,贝UcosN3MN=——=—.故选C.

BM3一

7.D

7

由题意得T。,。），设A（ApyJ,5（%2，%）,由AT=2EB得到=一2%，1-玉=2（x2-1）,xr=3-2x2,

（3-24J-2%）1i

7

所以《43,由点A在x轴上方，y=-2y>0,即%<0，解得3—

22x2

三+匹=1

[43

故选D.

8.D

/（x）=cos（2a>x-69ix）-2sin2Gxsincox=cos（2s+s）=cos3a）x，当x£（0,2兀）时，

3Gx£（0,6S）,若在（0,2兀）上有最小值没有最大值，则兀<6师42兀，所以故选

63

D.

9.ABD

「11

对于A,cosC=l-2sin2—=l-2x-=-,故A正确；

242

对于B,由A选项知cosC=工，由余弦定理得

2

AB2=BC2+AC2-2BC-ACcosC=1+25-2x5x-=21.故43=后，故B正确;

2

所以sinC=Jl—cos2c=<八二=也

对于C,由于在△ABC中,CG（0,7T）,故sinC>0,

V42

S^ABC=-BC-ACsinC=-x5x^=^-,故C错误；对于D，设△ABC外接圆半径为R,

△ABC2224

2R=*里

=2币，故D正确.故选ABD.

sinCv3

2

10.AB

C1A63C1A63A2A51

由题意可得P（A）=\^=1,A正确；p（A）=比骨=,,p（4A）=卡=1

1

p（&la）=P（X）=?=J.,故B正确；由于

LTP（4）33

7

P（A+4）=P（A）+P（4）—p（"==c错误;尸（4可）=笑感=枭）,

Illi/\.-y4//

所以D错误.故选AB.

11.ABD

对于A,取AC的中点。，连接。。，PD,0C,则ODLAC,PD1AC,如图1,当C为弧AB的三

等分点时，/40。=120。或40。=60°,当NAOC=120。时，。。=!。。=且，

22

PD=y]P02+0D2=J（V6）2+与=¥，DC=$OC=jAC=2DC=3,所以△物C的

面积为LAC・PD=LX3X^=述，当ZAOC=60°时，OD=—OC=~,

222422

PD7P。2+OD?=J（府+[I]=孚，AC=OC=6,所以△物C的面积为

1“DC1W屈3旧,,A工施

—AC-PD——Xyj3x------=-------,故A正确；

2224

对于B,因为圆锥的底面半径为高为胸，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半

径为R,过点A的轴截面如图2,。|为外接球球心，则（、/£-/?『+（退『=/?2,解得R=乎，外接球

9727

的表面积为4兀火2=—兀，一兀＜14兀，故B正确；

22

对于C,设放入圆锥内最大的正方体边长为历沿着正方体对角面的轴截面如图3,因为圆锥的底面半径

\f2a____

为6高为"，所以g=二一，所以PH=a,所以2a=JS,a=—,因为9=，运＞，6,

V6PH2422

所以C不正确；

对于D,过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4,此平面到顶点尸的距离为体对角线的一

半，即为;+卜⑹2+仅=戈,平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的

内切圆的半径为g,以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥.故D正确.故选ABD.

12.2

把P（—1,2）代入丁=一2内得p=2,C的焦点为——1,0），|班1=2.

13.(X-90J+"_9)2=81(答案不唯一)

|a±9-9|

由题意可得直线I的方程为x+y—9=0,设C（a,±9）,由直线/与圆C相切，得=9,所以

a=±90或a=18土9行，所以圆C的一个方程可以为（x—9亚丁+（>—9,=81.

14.（0,e]

氏％kkkkk

由x-e22（左Inx—x）得二一1221n工,即二一21n±—120,设/=工，贝〃一21nf—120,

e%e%eAeAeAe'

设/⑺=f—21nt—1,则/•'⑴=1—:=[土，所以/⑺在（0,2）上单调递减，在（2,长。）上单调递增，

kk

且/（l）=o,/（2）=l-21n2<0,又%—收时/=[-0,所以0<fWl,即0<一<1,e1'>xk,

ee

x>^Inx,设/z（x）=x—左In%,则/z'（x）=l-K,/z（x）2/z（左）=左一左In左20,In左Wl,Ov左<e.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.解：（1）根据频率分布直方图，可得（0.04+0.08+0.12+0.10）x2=0.68<0.75,

(0.04+0.08+0.12+0.10+0.08)x2=0.84>0.75,

所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是8+875—U68,89……6分

0.08

(2)由〃=0.08x1+0.16x3+0.24x5+0.20x7+0.16x9+0.10x11+0.06x13=6.48,……9分

所以X~N(6.48,3.242),

所以尸(X〉9.72)J一尸(〃一b；XW〃+a)=T=0]6,

故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16.13分

16.解：(1)因为4al—3S“=击，

当〃=1时可得4囚—3al=1,即6=1/0,3S〃=4—击①，……2分

当心2时，3sM=4-贵②,

3分

由①-②得3a“=白■—又％=1也满足，...5分

所以a”=6分

(2)因为d7分

所以4=1x（；）+2x（；）+3x［；］+---+nx

9分

「1丫

IH---F（n-l）x+MX—,.......10分

3

两式相减得，-T=

4〃n加小扑…+小明”

1-

3:则/=:4

即产nn+—

71--^--——I3

4

n

故（=更44

n-\...........12分

"933

叱雪+34得nln4

++32，BPA>-----------，........13分

ZI-y927

*n4

依题意，XMeN不等式22—2—二恒成立,

927

n4

因为y=—----随着〃增大而减小,14分

927

777)

所以几2-----,即4的取值范围为----,+8.15分

272277)

17.(1)证明：在直三棱柱ABC—451cl中，AC

因为ACLAB,AB朋=4,

所以AC,平面A331A，

因为ABu平面A54A，所以AC，48,……2分

由得凡=&.……3分

在矩形A34A中，tanZABA=^=42,tanZADB=—=72,

所以/4网=NA£>8,

因为ZADB+N^&WngO。，所以/43+/&4。=90。，

所以……5分

因为AOAC=A,所以A3_L平面ACD.

因为48u平面A}BC,

所以平面AC。，平面ABC.……7分

(2)解：因为AB,AC,AM两两垂直，以点A为坐标原点，以AB,AC,AA1所在直线分别为无轴，y

轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,1,O),4(0,0,⑹,D

所以BC=(—1,1,0),=(-1,0,72),CD=|1,-1,^……9分

I2J

,.n-BC=0

设平面的法向量为〃=(x,y,z),则有＜，

[〃•班=0

-x+y=0

得

—x+A/2Z=0

取z=l,得"=（0,后」），……12分

设直线CD与平面ABC所成角为。，

1x+（一1）x6+x1

CDn\____1

贝（Jsin6=

CDn

仔+（-1）+12

所以直线CO与平面ABC所成角的正弦值为……15分

18.解：（1）设c=，4+Z?2,

因为/],。之间的距离为46，所以2csin60°=4g,c=4,……2分

则廿=02-4=12,

22

所以C的方程为三一上=1.……4分

412

（2）由（1）知耳（4,0）,设直线/：x=my+4（/n^0）,

|22

土-匕=1

,消去无，得（3加2—i）y2+24my+36=0,

联立方程组《412

x=my+4

3m2-1^0

A=144（m2+l^>0

所以24m7分

%+%=一^~7

3m-1

36

3m-1

因为|哂『=（不—4）2+y；=+1y；，

所以|沙|=，•+1闻,同理|叫|=，苏+1昆卜9分

因为直线/过点心且与C的左、右两支分别交于M,N两点,

所以ALN两点在x轴同侧，〉0，此时3“—1>0,即加2〉；.

所以口MH叫1।1________2_

I\MF2\\NF2\J\MF2f|N闾2

=—1—+—1_____2

"+l)y；(疗+1)|%%|

1(J_+J____21(X+%『-4%%

/+iGi2yl/+1(%%『

1m2+11八

--------------=—，……14分

m2+199