2025年中考数学专题70 方程与不等式中的新定义问题（解析版）

例题精讲例题精讲考点1方程新定义问题【例1】．设m，n为实数，定义如下一种新运算：m★n＝，若关于x的方程a（x★x）＝（x★12）+1无解，则a的值是3．解：根据新运算，原方程可化为a×＝+1，ax＝12+3x﹣9，∴（a﹣3）x＝3．∵关于x的方程无解，∴a﹣3＝0．∴a＝3．故答案为：3．变式训练【变1-1】．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2．按照这个规定，方程（x≠0）的解为（）A．4 B．2 C．4或2 D．无解解：当＜﹣时，∵（x≠0），∴＝﹣1．∴x＝2．经检验，x＝2是方程的根．∵＞﹣，故x＝2不符合min的规定，所以x＝2不是方程的解．当＞﹣时，∵（x≠0），∴﹣＝﹣1．∴x＝4．经检验，x＝4是方程的根．∵＞﹣，故x＝4符合min的规定．所以x＝4是方程的解．故选：A．【变1-2】．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得最大值是2023．解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，∴，解得：，∴ax2+bx+2022＝﹣x2+2x+2022＝﹣（x﹣1）2+2023，∴当x＝1时，ax2+bx+2022取得最大值为2023．故答案为：2023．考点2不等式新定义问题【例2】．规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]＝2，则x的取值范围为2≤x＜3．解：∵规定[x]为不大于x的最大整数，∴x的取值范围为：2≤x＜3，故答案为：2≤x＜3．变式训练【变2-1】．已知对于任意两组正实数：a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn总有（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2．当且仅当＝＝…＝时取等号，据此我们可以得到，正数a，b，c满足a+b+c＝1，则++的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．12解：根据题意所给的不等式可得：++＝（a+b+c）（++）＝[][]≥（1+1+1）2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取得等号，∴++的最小值为9．故选：C．【变2-2】．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x≤n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x≤n+．例如，＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：①如果＜x﹣2＞＝3，则实数x的取值范围是4.5≤x＜5.5．②若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是1.25≤a＜1.75．解：①∵＜x﹣2＞＝3，∴2.5≤x﹣2＜3.5，∴4.5≤x＜5.5，故答案为4.5≤x＜5.5；②解不等式组得：﹣1≤x＜＜2a﹣1＞，∵不等式组有3个整数解∴1＜＜2a﹣1＞≤2，∴1.5≤2a﹣1＜2.5，解得1.25≤a＜1.75，故答案为1.25≤a＜1.75．1．定义[x]表示不大于x的最大整数，如：[3.2]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，[3]＝3，则方程[x]+2＝2x所有解的和为（）A． B． C． D．解：令[x]＝n，代入原方程得n+2﹣2x＝0，即x＝，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1，整理得2n≤n+2＜2n+2，即0＜n≤2，∴n＝1或n＝2，将n＝1代入原方程得：1+2﹣2x＝0，解得x＝，将n＝2代入原方程得：2+2﹣2x＝0，解得x＝2，故2+＝．故选：C．2．定义新运算：对于任意实数a、b都有：a⊕b＝（a+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2）⊕（2x﹣1）＝4的解为（）A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝0解：（x+2）⊕（2x﹣1）＝4，则（x+2+2x﹣1）÷（2x﹣1）＝4，＝4，解得：x＝1，检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，故x＝1是原方程的根．故选：C．3．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于x的方程x*（kx+2）＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k B．k C．k，且k≠0 D．k，且k≠0解：∵x*（kx+2）＝0，∴x（kx+2）+3＝0，整理可得kx2+2x+3＝0，又∵关于x的方程x*（kx+2）＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠0，故选：D．4．对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{﹣2，3}＝﹣2．按照这个规定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为（）A．x＝﹣ B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1或x＝﹣解：∵min{a，b}表示a、b两数中较小的数，∴min{x，﹣x}＝x或﹣x．∴﹣2x﹣1＝x或﹣x，（1）﹣2x﹣1＝x时，解得x＝﹣，此时﹣x＝，∵x＜﹣x，∴x＝﹣符合题意．（2）﹣2x﹣1＝﹣x时，解得x＝﹣1，此时﹣x＝1，∵﹣x＞x，∴x＝﹣1不符合题意．综上，可得：按照这个规定，方程方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为：x＝﹣．故选：A．5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若，则[x]＝n，如：[3.4]＝3，[3.5]＝4，若[x]＝3，则x应满足的条件是（）A．x＝3 B．3≤x＜3.5 C．2.5＜x＜3.5 D．2.5≤x＜3.5解：∵[x]＝3，∴n＝3，∴3﹣≤x＜3+，∴2.5≤x＜3.5，故选：D．6．对于任意实数a、b，定义一种运算：a*b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2*5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题，若不等式2*x＜6，则该不等式的正整数解有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意得，2x﹣2+x﹣2＜6，解得x＜3，∴该不等式的正整数解有1，2，3共3个，故选：C．7．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（）A． B． C． D．解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3﹣2x2+2x+1＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1＝x2+x﹣1＝（x+1）+x﹣1＝2x，∵x2﹣x﹣1＝0的根为x＝或x＝，∵x＞0，∴x＝，∴x3﹣2x2+2x+1＝1+，故选：B．8．阅读理解：a、b、c、d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，例如，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为，其中，，．用上面的方法解二元一次方程组时，下面的说法错误的是（）A．D＝8 B．Dx＝10 C．方程组的解为 D．Dy＝20解：由题意可知，＝＝3×3﹣1×（﹣1）＝10，＝＝1×3﹣7×（﹣1）＝10，＝＝3×7﹣1×1＝20，∵方程组的解为，即，故选：A．9．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是±2．解：∵y＝x3，y′＝12，∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2，故答案为：±2．10．定义一种新运算：a*b＝a﹣b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，则根据定义的运算求出x的值为5．解：根据题意，得，去分母，得3（x+3）﹣2（2x﹣1）＝6，去括号，得3x+9﹣4x+2＝6，移项，得3x﹣4x＝6﹣2﹣9，合并同类项，得﹣x＝﹣5，系数化为1，得x＝5．故答案为：5．11．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为a⊗b＝，这等式右边是实数运算．例如：1⊗2＝＝1．则方程2⊗（﹣x）＝的解是﹣．解：根据题意可知：2⊗（﹣x）＝，∴＝，﹣3x＝x+5，﹣4x＝5，x＝﹣．经检验x＝﹣是原方程的解．故答案为：﹣．12．m、n为正整数，1＝++++++++++++，1≤x≤m，1≤y≤n，m≤n，则代数式的最小值为．解：∵＝＝1﹣，∴1＝（）+，又m≤n，∴m＝13，n＝20，∴1≤x≤13，1≤y≤20，∴2≤x+1≤14，2≤y+1≤21，∴，∴，∴即，∴代数式的最小值为．故答案为：．13．新定义，若关于x，y的二元一次方程组①的解是，关于x，y的二元一次方程组②的解是，且满足||≤0.1，||≤0.1，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则m的取值范围是4.5≤m≤5．解：解方程组得，，解方程组得，，∵二元一次方程组的解是方程组的模糊解，∴||≤0.1，||≤0.1，解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案为4.5≤m≤5．14．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列结论：①（2.493）＝2；②（3x）＝3（x）；③若，则x的取值范围是6≤x＜10；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）；其中正确的是①③④（填写所有正确的序号）．解：①（2.493）＝2，故①符合题意；②（3x）≠3（x），例如当x＝0.3时，（3x）＝1，3（x）＝0，故②不符合题意；③若（x﹣1）＝1，则，解得：6≤x＜10，故③符合题意；④m为非负整数，故（m+2020x）＝m+（2020x），故④符合题意；综上可得①③④正确．故答案为：①③④．15．自然数1到n的连乘积，用n！表示，这是我们还没有学过的新运算（高中称为阶乘），这种运算规定：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问题：（1）计算5！＝120；（2）已知x为自然数，求出满足该等式的x：；（3）分解因式．解：（1）5！＝5×4×3×2×1＝120（2分）（只写出5×4×3×2×1得1分）（2）＝1，解得x＝6（2分）；（3）原式＝x2﹣x﹣＝x2﹣x﹣9900＝（x﹣100）（x+99）．（如结论不对，过程有＝100×99可得2分）16．（1）解方程组：．（2）对于实数a，b规定一种新的运算“☆”：a☆b＝．例如：4☆3＝＝5，2☆3＝2×3＝6．若x，y满足方程组，求y☆（x☆y）的值．解：（1），①×4得，8x﹣4y＝20③，②+③得，11x＝22，解得x＝2，将x＝2代入①得，y＝﹣1，∴方程组的解为；（2），①×2得，2x﹣8y＝﹣16③，②﹣③得，9y＝45，解得y＝5，将y＝5代入①得，x＝12，∴方程组的解为，∴y☆（x☆y）＝5☆（12☆5）＝5☆（）＝5☆13＝5×13＝65．17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有②③④（填序号）．①方程x2﹣4x+4＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m+n＝0；③若p、q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程；④若2b2﹣9ac＝0时，则方程ax2+bx+c＝0是倍根方程．解：①解方程x2﹣4x+4＝0得：x1＝2，x2＝2，∵x1≠2x2，∴方程x2﹣4x+4＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，故②正确；③∵pq＝8，∴q＝．∴方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）变为：px2﹣6x+＝0，即p2x2﹣6px+8＝0，∴（px﹣2）（px﹣4）＝0，∴px＝2或px＝4．∴，x2＝，∵x2＝2x1，∴关于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，∵2b2﹣9ac＝0，∴ac＝，∴＝＝﹣，＝＝﹣，∴x2＝2x1，∴若2b2﹣9ac＝0时，则方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，故④正确，故答案为：②③④．18．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程αx+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方程”．（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程﹣b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．解：（1）x﹣2＝3﹣x的解为x＝，y+2＝3（y+1）的解为y＝﹣，∵|﹣（﹣）|＝3，∴方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是“差3方程”；（2）3y+5＝y﹣1的解为y＝﹣3，∵关于x的方程﹣b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，∴|x+3|＝1，解得x＝﹣2或x＝﹣4，当x＝﹣2时，﹣3+﹣b＝2k﹣1，∴（a﹣4）k＝4+2b，∵k取任何有理数，∴a＝4，b＝﹣2，∴a+b＝2；当x＝﹣4时，﹣6+﹣b＝2k﹣1，∴（a﹣4）k＝10+2b，∵k取任何有理数，∴a＝4，b＝﹣5，∴a+b＝﹣1；综上所述：a+b＝2或a+b＝﹣1．19．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程的解，y0是关于y的方程的一个解，且x0，y0满足x0+y0＝424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x＝5x﹣400的解是x＝400，方程|y|＝24的解是y＝24或y＝﹣24，当y＝24时，满足x0+y0＝400+24＝424，所以关于y的方程|y|＝24是关于x的一元一次方程4x＝5x﹣400的“航天方程”．（1）试判断关于y的方程|y﹣1|＝20是否是关于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”？并说明理由；（2）若关于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是关于x的一元一次方程x﹣＝2a+1的“航天方程”，求a的值．解：（1）是，理由如下：x+403＝2x，解得：x＝403，|y﹣1|＝20，解得：y＝21或y＝﹣19，∵403+21＝424，∴关于y的方程|y﹣1|＝20是关于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”；（2）x﹣＝2a+1，解得：x＝4a+3，|y﹣1|﹣3＝13，解得：y＝17或y＝﹣15，∵关于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是关于x的一元一次方程x﹣＝2a+1的“航天方程”，①当4a+3+17＝424时，解得：a＝101；②当4a+3﹣15＝424时，解得：a＝109，综上，a的值为101或109．20．对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常数．如：当a＝1，b＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．（1）当a，b满足时，计算E（x）；（2）已知，请求出的值；（3）若当a＝3，b＝2时，关于x的不等式组恰好有5个整数解，求k的取值范围．解：（1）∵，0，|b+6|≥0，∴a﹣＝0，b+6＝0，∴，∴＝﹣6x2﹣x﹣24x﹣6＝；（2）∵E（2﹣3x）＝[a（2﹣3x）+2][2b（2﹣3x）﹣3]＝18abx2﹣[3a（4b﹣3）+6b（2+2a）]x+（2+2a）（4b﹣3）＝18abx2﹣（24ab﹣9a+12b）x+（8ab﹣6a+8b﹣6），∴18ab＝，﹣（24ab﹣9a+12b）＝﹣2，8ab﹣6a+8b﹣6＝﹣，∴ab＝，∴2﹣9a+12b＝2，∴﹣9a+12b＝0，∴3a＝4b．∴．（3）∵当a＝3，b＝2时，E（x）＝（3x+2）（4x﹣3）＝12x2﹣x﹣6，∴E（x）﹣2x（6x+3）＝﹣7x﹣6．∵当a＝3，b＝2时，4E（2+x）﹣E（2x﹣1）＝238x+153，∴原不等式组可化为：，解得：，∵不等式组恰好有5个整数解，∴，∴11≤k＜14.5．21．规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1，则称这两个数关于1的“刹那又一年”，例如：6﹣5＝1或|5﹣6|＝1，则称6与5是关于1的“刹那又一年”，请你尝试运用上述规定，解答下列问题：（1）填空：（在横线上填“是”或“不是”）①已知：P（2x+12，2y+10）在坐标系的原点上，那么x与y是否关于1的“刹那又一年”是；②已知不等式组的整数解为a，b，那么a与b是否关于1的“刹那又一年”是；（2）已知方程组：的解x和y是关于1的“刹那又一年”，求t的值；（3）已知：x＞y且中的x和y是关于1的“刹那又一年”，当m为正整数时，S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8满足条件0＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有8个，令t＝m+b2，化简．解：（1）①∵P（2x+12，2y+10）在坐标系的原点上，∴2x+12＝0，2y+10＝0，∴x＝﹣6，y＝﹣5，∵y﹣x＝﹣5﹣（﹣6）＝1，∴x与y是关于1的“刹那又一年”，故答案为：是；②，由①得x≥1；由②得x≤2，∴原不等式的解集为1≤x≤2，∴整数解为a＝1，b＝2，或a＝2，b＝1，∵a﹣b＝2﹣1＝1或|b﹣a|＝|1﹣2|＝1，∴a与b是关于1的“刹那又一年”，故答案为：是；（2），①+②得6x＝6t+6，∴x＝t+1，把x＝t+1代入①，2t+2﹣y＝6，解得y＝2t﹣4，∴这个方程组的解为，∵方程组的解x和y是关于1的“刹那又一年”，∴（t+1）﹣（2t﹣4）＝1或（2t﹣4）﹣（t+1）＝1，解得t＝4或t＝6；（3）∵中的x和y是关于1的“刹那又一年”，且x＞y，∴x﹣y＝（n﹣10）2﹣（b2+4）＝1，（b2+4）+1＝（n﹣10）2，即b2+5＝（n﹣10）2，∵S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8，∴|S1﹣S2|＝|（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）|＝|m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8|＝|2m﹣1|，∵m为正整数，∴2m﹣1＞0，∴|S1﹣S2|＝2m﹣1，且2m﹣1是整数，∵0＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有8个，即0＜n＜2m﹣1的整数n有且只有8个，∴2m﹣1＝9，解得m＝5，∵t＝m+b2，∴t＝5+b2，∵b2+5＝（n﹣10）2，∴t＝（n﹣10）2，∴＝＝|（n﹣10）|∵0＜n＜9，∴（n﹣10）＜0，∴|（n﹣10）|＝10﹣n，即＝10﹣n．22．我们把关于x，y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组．（1）若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则a＝﹣1，b＝1．（2）若二元一次方程x+ky＝b中x，y的值满足下列表格：x20y01则这个方程的共轭二元一次方程是2x+y＝2．（3）直接写出方程组的解：的解为；的解为；的解为．（4）发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是m＝n．（5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．解：（1）∵是共轭二元一次方程组，∴1﹣a＝2，b+2＝3，解得a＝﹣1，b＝1，故答案为：﹣1，1；（2）将x＝2，y＝0；x＝0，y＝1代入方程x+ky＝b中，∴2＝b，k＝b，∴k＝b＝2，∴二元一次方程是x+2y＝2，∴共轭二元一次方程是2x+y＝2，故答案为：2x+y＝2；（3），①×2得，2x+4y＝6③，②﹣③得，y＝1，将y＝1代入①，得x＝1，∴方程组的解为；，①×2得，6x+4y＝﹣20③，②×3得，6x+9y＝﹣30④，④﹣③得，y＝﹣2，将y＝﹣2代入①，得x＝﹣2，∴方程组的解为；，①×2得，4x﹣2y＝8③，②+③得，x＝4，将x＝4代入①得，y＝4，∴方程组的解为；故答案为：，，；（4）的解为，∴，①﹣②，得（1﹣k）m+（k﹣1）n＝0，∴（1﹣k）（m﹣n）＝0，∵k≠1，∴m＝n，故答案为：m＝n；（5），①×2，得2x﹣4y＝2③，②+③得，y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得，x＝﹣1，∴方程组的解为．23．阅读理解：定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．问题解决：（1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是③．（填序号）（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；（3）若方程2x+4＝0，＝﹣1都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围．解：（1）①3x﹣1＝0，解得：x＝，②，解得：x＝，③2x+3（x+2）＝21，解得：x＝3，，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤5，∴原不等式组的解集为：2＜x≤5，∴不等式组的“子方程”是：③，故答案为：③；（2），解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤3，∴原不等式组的解集为：＜x≤3，2x﹣k＝2，解得：x＝，∵方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，∴＜≤3，解得：3＜k≤4；（3）2x+4＝0，解得：x＝﹣2，＝﹣1，解得：x＝﹣1，，解不等式①得：x≥m﹣5，解不等式②得：x＜m﹣3，∴原不等式组的解集为：m﹣5≤x＜m﹣3，∵方程2x+4＝0，＝﹣1都是关于x的不等式组的“子方程”，∴，解得：2＜m≤3．24．定义一种新运算：对于实数x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝﹣8，L（，﹣）＝﹣；（2）已知L（5，）＝，L（2，）＝8．①若L（m﹣1，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格数对有哪些？②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．解：（1）∵L（x，y）＝2x+7y，∴L（3，﹣2）＝2×3+7×（﹣2）＝﹣8，L（，﹣）＝2×+7×（﹣）＝﹣，故答案为：﹣8，﹣；（2）∵L（5，）＝，L（2，）＝8，∴，∴，∴L（x，y）＝3x+5y，①∵L（m﹣1，m+2）为正格线性数，∴m＞1，∵66＜L（m﹣1，m+2）＜99，∴66＜3（m﹣1）+5（m+2）＜99，∴7＜m＜11，∴m＝8，9，10，11，∴满足条件的正格数对有L（7，10），L（8，11），L（9，12），L（10，13）共4对；②∵L（x，y）＝55，∴3x+5y＝55，∴y＝11﹣x，∵y＞0的整数，∴x＝5或x＝10或x＝15，∴y＝8或y＝5或y＝2，∴没有满足问题①的数对．25．阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…试解决下列问题：（1）①＜π+2.4＞＝6（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为2.5≤x＜3.5；（2）求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围．解：（1）由题意可得：＜π+2.4＞＝6；故答案为：6，②∵＜x﹣1＞＝2，∴1.5≤x﹣1＜2.5，∴2.5≤x＜3.5；故答案为：2.5≤x＜3.5；（2）∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，则x＝k，∴＜k＞＝k﹣1，∴k﹣1﹣≤k＜k﹣1+，k≥0，∴＜k≤，∴k的值为3、4