2025年中考数学专题33 两垂一圆构造直角三角形（解析版）

模型介绍模型介绍【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.例题精讲例题精讲【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是（3，），（9，6），（，）．解；当点C在C1处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（3，），当点C在C2处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（9，6）当点C在C3处时，△ABC为直角三角形，过C3作C3M⊥AB，设C3的横坐标是x，则C3M＝，AM＝x﹣3，BM＝9﹣x，∵△AC3B是直角三角形，∴△AMC3∽△C3MB，∴AM：C3M＝C3M：BM，∴C3M2＝AM•BM，∴（）2＝（x﹣3）（9﹣x），解得：x＝，点C的纵坐标是：﹣＝，∴点C的坐标是：（，）；故答案为：（3，），（9，6），（，）．变式训练【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，﹣8） B．（﹣8，0） C．（﹣16，0） D．（0，8）解：如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（﹣8，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝16，∴B（﹣16，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（0，﹣8）．故B点的坐标不可能是（0，8），故选：D．【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的坐标．解：设点C的坐标为（﹣1，b），AB2＝22+42＝20，AC2＝32+b2，BC2＝（4﹣b）2+12，当∠ABC＝90°时，（4﹣b）2+12+20＝32+b2，解得，b＝；当∠BAC＝90°时，（4﹣b）2+12＝20+32+b2，解得，b＝﹣；当∠ACB＝90°时，（4﹣b）2+12+32+b2＝20，解得b1＝1，b2＝3，∴△ABC为直角三角形时，点C的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，1），（﹣1，3）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（）．解：如图，当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CEA（AAS），∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，∴C（7，4），同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（，），综上所述，满足条件的点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）．故答案为：（7，4）或（3，7）或（，）．变式训练【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：点C的位置如图所示，共有3个．故选：C．

【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝2，BC＝4．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（4，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，∴CE＝4，∴AC＝＝＝2，BC＝＝4，故答案为：2，4；（2）当点C在OE上时，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（m，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，∴S△ABC＝×（AO+BE）×OE﹣×AO×OC﹣×BE×CE，∴S△ABC＝×（2+8）×8﹣×2×m﹣×8×（8﹣m）＝8+3m；当点C在线段OE的延长线上时，∵S△ABC＝×（AO+BE）×OE+×BE×CE﹣×AO×OC∴S△ABC＝×（2+8）×8+×8×（m﹣8）﹣×2×m＝3m+8，综上所述：S△ABC＝3m+8；（3）当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2+AC2，则64+（8﹣m）2＝64+（8﹣2）2+4+m2，解得m＝，∴S△ABC＝3×+8＝；当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，则64+（8﹣2）2＝4+m2+64+（8﹣m）2，解得m＝4，∴S△ABC＝3×4+8＝20；当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，则4+m2＝64+（8﹣2）2+64+（8﹣m）2，解得m＝14，∴S△ABC＝3×14+8＝50；综上所述：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个解：设点P的坐标为（x，y），当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，∵圆与双曲线无交点，∴点P不存在；当∠PAB＝90°时，x＝﹣3，y＝＝﹣3，∴点P的坐标（﹣3，﹣3）；当∠PBA＝90°时，x＝3，y＝＝3，∴点P的坐标为（3，3）．综上所述：满足条件的点P有2个．故选：A．2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个．A．6 B．7 C．8 D．9解：分三种情况考虑：①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．

3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），∴直线AB的表达式为y＝x+1，令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），即OC＝1＝OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°＝∠BCP，∴△BCP是等腰直角三角形，∴CP＝2BD＝2，∴OP＝1+2＝3，∴P（0，3）；如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），∴C为AB的中点，AB＝2，∴CP＝AB＝，∴OP＝1+，∴P（0，1+），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．故答案为：（0，3）或（0，1+）．4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．解：（1）如图所示：（2）满足条件的点有2个，C（0，﹣2）或（0，0）．5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为（﹣2，﹣2）；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为或7或3+或3﹣．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，∵点A坐标为（6，0），∴OA＝6，∴AC＝＝＝3；（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，∴D（﹣2，﹣2）；故答案为：（﹣2，﹣2）；②当∠ACE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，∴x＝﹣，∴E（，﹣2）；当∠CAE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，∴x＝7，E（7，﹣2）；当∠AEC＝90°时，如图，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，∵∠AEC＝90°，∴∠FEA+∠CEG＝90°，∵CG⊥FE，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∠GCE＝∠FEA，∵∠CGE＝∠AFE＝90°，∴△CGE∽△EFA，∴．由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，∴．∴AF＝﹣3．∴OF＝3+，∴E（3+，﹣2），同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣，﹣2）．综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为或7或3+或3﹣．故答案为：或7或3+或3﹣．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）解：（1）如图1：（2）如图2：7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A的坐标为（3，1），∴OC＝3，AC＝1，又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠OAC+∠AOC＝90°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，∴点B的坐标为（﹣1，3）；（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，由对称性可知BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），∵点B与B'关于x轴对称，∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∴P（2，0）；（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，∴∠FAO＝∠EOM，∵AO＝OM，∴△FAO≌△EOM（AAS），∴OF＝EM，OE＝FA，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（1，﹣3）；②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，∴∠AFO＝∠GAM，∴△FAO≌△GMA（AAS），∴AF＝GM，OF＝AF，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（4，﹣2）；③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，∴∠QOM＝∠AMP，∴△OQM≌△MPA（AAS），∴OQ＝MP，QM＝AP，∵A（3，1），∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，∴1+QO+OQ＝3，∴QO＝1，∴M（2，﹣1）；综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．8．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：（﹣8，0），B：（0，6）；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，直线y＝+6，当y＝0时，由0＝+6得，x＝﹣8；当x＝0时，y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），故答案为：（﹣8，0），（0，6）．（2）如图1，由折叠得，DB＝OB＝6，DC＝OC，∠BDC＝∠BOC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，AC＝8﹣OC，∵AB＝＝＝10，∴AD＝10﹣6＝4，∵CD2+AD2＝AC2，∴OC2+42＝（8﹣OC）2，解得，OC＝3．（3）如图2，作AG⊥EF于点G，GT⊥x轴于点T，∵OC＝3，∴BC＝＝＝，AC＝8﹣3＝5，由BC•AG＝AC•OB＝S△ABC得，×AG＝×5×6，解得，AG＝，∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EG＝FG，∴AG＝EF＝EG＝FG＝，∵∠AGC＝90°，∴CG＝＝＝，∴CE＝+＝，∴CE＝BC，∴点E与点B关于点C对称，∵C（﹣3，0），B（0，6），∴E（﹣6，﹣6）；由AC•GT＝AG•CG＝S△AGC得，×5GT＝××，解得，GT＝2，∵∠ATG＝90°，∴AT＝＝＝4，∴OT＝8﹣4＝4，∴G（﹣4，﹣2），∵CF＝FG﹣CG＝﹣＝，∴CF＝CG，∴点F与点G（﹣4，﹣2）关于点C（﹣3，0）对称，∴F（﹣2，2），综上所述，点F的坐标为（﹣6，﹣6）或（﹣2，2）．（4）存在．如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，设直线PC的解析式为y＝x+a，则×（﹣3）+a＝0，解得，a＝，∴y＝x+，∴P（0，）；∵M是AB的中点，∴M（﹣4，3），设直线CM的解析式为y＝kx+b，则，解得，，∴y＝﹣3x﹣9，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+，由得，，∴Q（﹣1，）；如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′＝CM＝PQ，∴∠BP′Q′＝∠BPQ，∠BQ′P′＝∠BQP，∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），∴BQ′＝BQ，∴点Q′与点Q关于点B（0，6）对称，∴Q′（1，）；如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q1，连接CQ1，∵∠LQ1M＝∠LPC，∠LMQ1＝∠MCP，ML＝CL，∴△LMQ1≌△LCP（AAS），∴Q1M＝CP，∵Q1M∥CP，∴四边形PMQ1C是平行四边形，∴点Q1与点P关于点L对称，∵L（，），P（0，），∴Q1（﹣7，），综上所述，点Q的坐标为（﹣1，）或（1，）或（﹣7，）．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）设点M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC为直角三角形，∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+2）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝；当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM＝∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（1）解：设二次函数的表达式为y＝a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得．∴二次函数的表达式为，即；（2）解：设直线OP为y＝kx（k≠0），将P（﹣6，3）代入y＝kx，解得，∴．当x＝﹣4时，y＝2．∴M（﹣4，2）．∵点M、N关于点A对称，∴N（﹣4，6）．∴MN＝4．∴S△PON＝S△OMN+S△PMN＝12；（3）①证明：设点P的坐标为，其中t＜﹣4，设直线OP为y＝k′x（k′≠0），将P代入y＝k′x，解得．∴．当x＝﹣4时，y＝t+8．∴M（﹣4，t+8）．∴AN＝AM＝4﹣（t+8）＝﹣t﹣4．设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，则B（﹣4，0），C．∴OB＝4，NB＝4+（﹣t﹣4）＝﹣t，PC＝﹣4﹣t，NC＝＝．则，．∴．又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，∴△NCP∽△NBO．∴∠PNM＝∠ONM．②△OPN能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM＝∠ONM＝45°，∴△PCN为等腰直角三角形，∴CP＝NC，即m﹣4＝m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16＝0，即（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2＝PN2，∵OP2＝m2+（﹣m2﹣2m）2，ON2＝42+m2，AN2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，∴m2+（﹣m2﹣2m）2+42+m2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，整理得：m（m2﹣8m﹣16）＝0，解得：m＝0或m＝﹣4﹣4或﹣4+4（舍去），当m＝0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，当m＝﹣4﹣4，即P（﹣4﹣4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM＝∠OBM＝90°，且∠PMN＝∠BMO，∴△PMN∽△BMO，又∵∠MPN＝∠OBN＝90°，且∠PNM＝∠OND，∴△PMN∽△BON，∴△PMN∽△BMO∽△BON，∴＝，即＝，整理得：（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m＝4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2．又二次过点C（0，﹣3），∴﹣3＝c，c＝﹣3．即二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点坐标D为：（1，﹣4）；（2）（2）解法一：设P（0，m）由题意，得PA＝，PD＝，AD＝2，∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（）2+（）2＝（2）2解得m1＝﹣1，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．∴P（0，﹣1）；解法二：如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，则由题意，得DE＝1，OE＝4…（1分）由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠EPD又∠AOP＝∠OED＝90°，∴△OAP∽△EPD∴＝，设OP＝m，PE＝4﹣m则＝，解得m1＝1，m2＝3（不合题意，舍去），∴P（0，﹣1）；（3）解法一：如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝，∠PAQ＝90°，∴四边形APDQ为正方形．由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3．∴Q（4，﹣3）；解法二：设Q（m，n），则AQ＝＝，QD＝＝，解得，（不合题意，舍去），∴Q（4，﹣3）．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（2，0）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+8；（2）存在，理由如下：如图1，过点P作