2025年中考数学专题28 阿基米德折弦定理（原卷版）

模型介绍模型介绍【问题呈现】阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。​如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。【证明方法】方法1:补短法如图，延长DB至F，使BF=BA∵M是的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M、B、A、C四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵MB=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵MD⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截长法如图，在CD上截取DG=DB∵MD⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M是的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵MA=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。∵M是的中点∴MA=MC∵MD⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)∴AH=CD，MH=MD又∵MB=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD例题精讲例题精讲【例1】．已知M是的中点，B为上任意一点，B不与A、M重合，且MD⊥BC于D．BD＝2，CD＝6，求AB的长．变式训练【变式1-1】．如图，是劣弧，M是的中点，B为上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD＝DC．【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝°．【例2】．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC＝，AC＝3，则AF＝．【变式2-1】．如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为的中点．求证：AD2＝AC•BC+CD2．【变式2-2】．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（）A．10 B．8﹣3 C．6+3 D．3+52．在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圆上弧ACB的中点，AC上的点X使得MX⊥AC，AC＝10，XC＝3，则BC＝．3．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．4．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．5．已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD＝DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．6．如图，在⊙O中，AB＝AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合），连接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．（1）若AC＝4，求⊙O的半径；（2）写出DA、DB、DC之间的关系，并证明．7．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是上一点，（1）填空：∠APC＝度，∠BPC＝度；（2）若⊙O的半径为4，求等边△ABC的面积；（3）求证：PA+PB＝PC．8．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连接BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度．9．阅读理解：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∴M是弧ABC的中点，∴MA＝MC……．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝4，BC＝3，点D为弧AC上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，△BDC的周长为.（直接写出结果）10．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．11．在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．（1）如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？（3）如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF的值？12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴于C，D两点，其中A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）．（1）求圆心M的坐标；（2）点P为上任意一点（不与A、D重合），连接PC，PD，作AE⊥DP的延长线于点E．当点P在上运动时，的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请说明理由．（3）如图2，若点Q为直线y＝﹣1上一个动点，连接QC，QO，当sin∠OQC的值最大时，求点Q的坐标．13．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：，②，③；【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．14．先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF＝BE+DF．证明思路：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，点F、D、E′是一条直线．根据SAS，得证△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．（1）特例应用如图1，命题中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长．（2）类比变式如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长