2025年中考数学专题19 费马点最值专题（解析版）

模型探究模型探究费马点问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值.费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°.费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．R秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值例题精讲例题精讲【例1】．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数；（3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为．解：（1）如图1中，作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝PC，在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，∴PC＝AC•cos30°＝，∴BC＝2PC＝2．（2）如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴PA＝AQ＝2，PB＝QC＝，∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2+PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝30°+90°＝120°．（3）如图3中，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′，连接PP′，AB′，则∠ACB′＝90°．∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，∴当A，P，P′，B′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的长，由AB＝，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3，∴AB′＝＝．故答案为．变式训练【变式1-1】如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.过作的平行线分别交于点，易知.因为在和中，①，②。又，所以③.①+②+③可得，即.综上，的取值范围为.【变式1-2】．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝+1．解：如图：等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1，故cos30°＝，解得：PE＝PF＝＝，则PM＝，故DP＝1﹣，则PD+PE+PF＝2×+1﹣＝+1．故答案为：+1．【变式1-3】．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为______.解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值为+．【例2】.如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为________解：如图，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，∴AP＝AF，∠PAF＝60°＝∠EAD，AE＝AD，∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，作EH⊥BC于H，交AD于G．∴∠AEG＝30°，∴AG＝1，EG＝∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ，∴当点Q，点F，点E，点Q四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，∵GH＝AB＝2，∴EH＝2+，∴PA+PD+PQ的最小值+2变式训练【变式2-1】．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A．3+2 B．4+3 C．2+2 D．10解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3，∴MA+MD+ME的最小值为4+3．【变式2-2】．如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+，则这个正方形的边长为．解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝1+，∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝x，∴（1+）2＝（x）2+（x+x）2所以x＝，∴BC＝，即正方形的边长为，故答案为：．【变式2-3】．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm．解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，则DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC•DE＝AB•DF，∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点，则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C＝＝＝6（cm），因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，故答案为：6cm．1．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝，∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2．

2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3．解：设BM＝x，则BN＝6﹣x，∵MN2＝BM2+BN2，∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，∴当x＝3时，MN最小，此时Q点离AD最近，∵BM＝BN＝3，∴Q点是AC和BD的交点，∴AQ＝DQ＝AD＝3，过点Q作QM′⊥AD于点M′，在△ADQ内部过A、D分别作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，则∠APD＝∠APQ＝∠DPQ＝120°，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小，在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3，QM′⊥AD，∴AM＝QM′＝AQ＝3，故cos30°＝，解得：PA＝2，则PM′＝，故QP＝3﹣，同法可得PD＝2，则PA+PD+PQ＝2×+3﹣＝3+3，∴点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3，故答案为3+3．3．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里．解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，由旋转得：AB＝AH，AE＝AG，∠EAG＝∠BAH＝60°，BE＝GH，∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE＝EG，同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF＝FF'，FC＝F'M，∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，∵AH＝BH，DM＝CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB＝10，∴△ABH的高为5，∴EA+EB+EF+FC+FD＝EG+GH+EF+FF'+F'M＝HM＝15+5+5＝15+10，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公理．故答案为：（15+10）．4．如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°，PC＝5，PB＝12，求PA的长．解：如图1，连接PP′，将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置，由旋转的性质，得CP＝CP′，∴△PP′C为等边三角形，由旋转的性质可知∠AP′C＝∠BPC＝150°，∴∠AP′P＝150°﹣60°＝90°，又∵PP′＝PC＝5，AP′＝BP＝12，∴在Rt△APP′中，由勾股定理，得PA＝＝13．故PA＝13．5．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC＝30°，点P为平面内一点．（1）∠ACB＝度；（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；（3）AP+BP+CP的最小值为．解（1）∵点A在BC的垂直平分线上．∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝30°．故答案为30°．（2）如图△CA′P′就是所求的三角形．（3）如图当B、P、P′、A′共线时，PA+PB+PC＝PB+PP′+P′A的值最小，此时BC＝5，AC＝CA′＝，BA′＝＝．故答案为．6．如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点．（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为．（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为．（3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P．（1）解：延长AP，交BC于D，∵AB＝AC＝BC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴P为三角形的内心，∴AD⊥BC，BD＝CD＝2，∠PBD＝30°，∴BP＝＝，∴AP＝BP＝，∵AD＝＝2，∴PD＝AD﹣AP＝2﹣＝，故答案为：．（2）解：（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，∴＝，∴PB2＝PA•PC，即PB＝＝，故答案为：．（3）证明：在BB′上取点P，使∠BPC＝120°连接AP，再在PB′上截取PE＝PC，连接CE．∵∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE为正三角形．∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB′＝120°∵△ACB′为正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB′＝60°∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∠PCA＝∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，∴P为△ABC的费马点．∴BB′过△ABC的费马点P．

7．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P是（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．解：（1）如图1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中线，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的费马点．故答案为：是．（2）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP．（3）如图2所示：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF•CF＝DF•PF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P点为△ABC的费马点．8．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝12+；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AC＝，∴BD＝CD＝AD＝，∵∠DEC＝60°，∴DE＝＝4，∴AE＝AD﹣DE＝，CE＝BE＝2DE＝8，∴AE+BE+CE＝+8×2＝12+；故答案为：12+；（2）由题意可得：AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△EAF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∴AE+BE+CE＝EF+BE+GF，∵B、G两点均为定点，∴当B、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最小，∴∠AEB＝120°，∠AEC＝∠AFG＝120°，∴∠BEC＝120°，∴此时E点为等边△ABC的中心，∴AE+BE+CE＝3AE＝＝12，故等边三角形ABC的“最近值”为12；（3）如图，过点D作DM⊥AB于点M，∵∠BDA＝75°，AB＝AD，∴∠DAB＝30°，∴2DM＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴EF＝DM，∴2EF＝AB，∴AE＝BE＝EF＝3，∴△AEF与△BEF均为等腰直角三角形，∴△ABF为等腰直角三角形，设P为EF上一点，由（2）得：∠APF＝∠BPF＝∠APB＝120°时，PA+PB+PF最小，此时：EP＝＝，∴AP＝BP＝2EP＝，FP＝EF﹣EP＝3﹣，∴AP+BP+FP＝＝3+，∴（AP+BP+FP）2＝＝，∴三角形AFB“最近值”的平方为．9．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）连接MN．由（1）知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．10．问题提出（1）如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′．则BB′＝3；问题探究（2）如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；问题解决（3）如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）解：问题提出：（1）由旋转有，∠∠BOB′＝90°，OB＝3，根据勾股定理得，BB′＝3，故答案为：3；问题探究：（2）①∵△BDC是等边三角形，∴CD＝CB，∠DCB＝60°，由旋转得，∠PCQ＝60°，PC＝QC，∴∠DCQ＝∠BCP，在△DCQ和△BCP中∴△DCQ≌△BCP；②如图1，连接PQ，∵PC＝CQ，∠PCQ＝60°∴△CPQ是等边三角形，∴PQ＝PC，由①有，DQ＝PB，∴PA+PB+PC＝AP+PQ+QD，由两点之间线段最短得，AP+PQ+QD≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，∴当点A，P，Q，D在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值为AD的长，作DE⊥AB，∵△ABC为边长是4的等边三角形，∴CB＝AC＝4，∠BCA＝60°，∴CD＝CB＝4，∠DCE＝60°，∴DE＝6，∠DAE＝∠ADC＝30°，∴AD＝12，即：PA+PB+PC取最小值为12；实际应用：（3）如图2，连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E，∵△ADD′是等边三角形，∴EM＝AB＝500，∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，∴D′E＝AD＝400，∴D′M＝400+500，∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）万元；∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）万元．11．【问题情境】如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为5．【问题解决】如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【问题解决】如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．解：（1）如图1，作△ABC的外接圆O，作直径AD，连接OB，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OBA是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，设AD与BC交于点E，BE＝BC＝，在直角三角形ABE中，∵sin∠BAO＝，∴sin60°＝＝，∴AB＝5，∴OA＝5，故答案为：5；（2）如图2，∵∠BPC＝90°，∴点在以BC为直径的圆上，设圆心为点O，则OP＝BC＝2，∴O，P，A三点线时AP最小，在直角三角形ABO中，AO＝＝2，∵PO＝2，∴AP的最小值为：AO﹣PO＝2﹣2；（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径为＝2，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，过点N作NG⊥AB交BA的延长线于点G，连接AN，则△AND是等边三角形，过点O作OM⊥GN于M交BC于点H，连接OB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC∥GN，∴OH⊥BC，∵BE＝2，∴BH＝，∴OH＝＝1，∵AD＝DN，∠ADN＝60°，∴△AND是等边三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，∴∠GAN＝30°，∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，∴ON＝＝≈11，∴QA+QD+QP最小值为：11﹣2＝9（cm）．12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．解：（1）由已知得，x＝﹣＝1，则b＝1，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，∴A（0，4），令