湖北省武汉市2024届高三年级下册四月调考数学试卷（含答案解析）

湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数2=三+刀则目=（）

A.1B.6C.V3D.75

2.已知集合&={刀|*2-2》一3<。},3={彳|尤2-4x<0,xeZ},则AB=（）

A.{2,3,4}B.{1,2}C.{0,1,2}D,{1,2,3}

3.设加，〃是两条不同的直线，"是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若。_L△根则根_L£

B.若a_L尸，机uc,则机_L，

C.若加a,n-La,则相_L〃

D.若m_L〃,相。，则〃_La

4.（2尤-3）（彳-1）5的展开式中V的系数为（）

A.-50B.-10C.10D.50

5.记〃=302/=0.342,c=logo2（）.3,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

6.记等比数列{风}的前〃项和为S“，若S8=8,SK=26,贝1184=（）

A.1B.2C.3D.4

7.点。是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则P4.P3的最大值为（）

A.2B.—C.3D.—

44

22

8.已知双曲线E:=-2=1（。>0,6>0）的右焦点为尸，其左右顶点分别为过下且与

ab

X轴垂直的直线交双曲线E于",N两点，设线段血厂的中点为P,若直线3尸与直线AN的

交点在y轴上，则双曲线"的离心率为（）

A.2B.3C.V2D.4

二、多选题

9.已知函数"x）=sin2x+sin（2x+gj,则（）

A.函数（印是奇函数B.函数小+总是偶函数

C.“X）的最大值是6D.小）在区间。口上单调递减

10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图

（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是

（）

A.图（1）的平均数=中位数=众数

B.图（2）的平均数〈众数〈中位数

C.图（2）的众数〈中位数〈平均数

D.图（3）的平均数（中位数（众数

11.定义在R上的函数〃尤）与g（x）的导函数分别为尸（x）和g'（x）,若g（x）-〃3-x）=2,

r（x）=g©-l）,且g（—x+2）=—g（x+2）,则下列说法中一定正确的是（）

A.g（尤+2）为偶函数B./'（x+2）为奇函数

2024

C.函数/（X）是周期函数D.»伏）=°

k=\

三、填空题

22

12.设椭圆会+%=1的左右焦点为々，匕椭圆上点尸满足归司：|P周=2:3,则笆的

面积为.

13.已知圆台。。2的体积为14兀，其上底面圆。半径为1,下底面圆。2半径为4,则该圆

台的母线长为.

14.设A,8,C是一个三角形的三个内角，则cosA（3sinB+4sinC）的最小值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知ABC三个内角A氏C所对的边分别为a也c,且皿=用.

c3b-a

⑴求sinC的值;

⑵若,ABC的面积S=50，且c="(a-6),求，ABC的周长.

16.已知函数/(x)=lnx-«x+x2.

⑴若a=—l,求曲线y=/(x)在点(I"⑴)处的切线方程；

⑵讨论〃元)的单调性.

17.如图，三棱柱ABC-AB|G中，侧面48耳4,底面ABC,AB=BBQ,AC=2^,

/耳区4=60。，点。是棱A片的中点，BC=4BE，DE1BC.

(1)证明：AC1BB｝；

(2)求直线BBi与平面DEA所成角的正弦值.

18.已知抛物线E:y=f,过点T(L2)的直线与抛物线£交于A,3两点，设抛物线E在点

AB处的切线分别为4和12,已知4与x轴交于点MJ?与x轴交于点N,设4与/②的交点为P.

(1)证明：点尸在定直线上；

⑵若APMN面积为0,求点尸的坐标；

⑶若P,M,N,T四点共圆，求点P的坐标.

19.已知常数pe(0,1),在成功的概率为P的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验

次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布.

_co(_n、

⑴对于正整数3求产(X=左)，并根据E(X)=£kP(X=幻=lim£kP(X=幻，求矶X)；

(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为P的伯努利试验中，记首次出现连续两次成

功时所需的试验次数的期望为现提供一种求生的方式：先进行第一次试验，若第一次

试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是与，

即总的试验次数为(用+1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，

试验停止，此时试验次数为2,若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为

3+2).

(i)求；

(ii)记首次出现连续〃次成功时所需的试验次数的期望为纥，求纥.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】结合复数的四则运算法则与模长定义计算即可得.

【详解】z=—+i=\<+i=l+2i,则回=后=逐.

1+1(1+1)(1-1)I1

故选：D.

2.B

【分析】先求解集合A3,再利用交集运算进行求解.

【详解】A=W尤2—2尤一3<。}={尤|—l<x<3},B={x\x2-4%<0,xeZ}={l,2,3},

所以AB={1,2}.

故选：B

3.C

【分析】根据已知条件及借助正方体，结合点线面的位置关系即可求解.

【详解】如图所示

对于A,设平面a为平面ABCZ),平面0为平面BCC}B^m为，则ea,则mu#,

故A错；

对于B,设平面a为平面ABCD,平面"为平面BCG耳，加为AO,则,则［},

故B错；

对于C,过机作平面7与平面a交于直线6,加a,则加》，”_La,可得〃_!_》，则根_!_〃，

故C正确；

对于D,设平面a为平面ABCD,A耳为优，4cl为"，则帆a,则〃〃故D

错.

答案第1页，共14页

故选：c.

4.A

【分析】根据二项式定理得出(尤-1)5展开式的通项，求出乙，74,进而得出V的系数.

【详解】(x-1)5展开式的通项为加=C；?-r(-l)r,贝=1。/,7；=-10x2,故(2X-3)(X—1)5

展开式中V的系数为2x(―10)+(-3)xl0=-50.

故选：A

5.D

【分析】对于。，6可化成同指的两个指数再利用暴函数单调性比较大小，对于。和匕的大小

关系利用中间值法即可.

【详解】因为匕=0.3一°2幕函数>=》。2在(o,+8)上单调递增，

又?>3,所以1］：2>3°2>3°=1,

所以匕>〃>1,

又对数函数y=logo.zX在(0,+8)上单调递减，所以c=log020.3<log020.2=1,

故

故选：D.

6.B

【分析】利用等比数列的性质，邑,Sg-S4，S12-Sg成等比数列，可解出儿.

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，且等比数列｛%｝的前项和为5.，

所以$4,$8-$4,&-S8成等比数列，则(以-邑)2=S4-(S12-S8),

2

BP(8-S4)=S4.(26-8),解得S4=32或J=2.

设等比数列｛%｝公比为q,则

券=旦=1+/>1，贝”8消>0,得邑=2.

S4l-q

故选：B

7.C

答案第2页，共14页

【分析】借助A8中点。和平方差公式得尸4.尸2=(尸0+%).(尸0-24)=加2一；，再探究

PQ的最大值即可.

【详解】分别取AB,DE中点。，R,连接PQ,QR,

则由题QA=；,5D2=DC2+BC2-2DCxBCxcosZBCD=l+l-2xlxlxcosl20-3,即

BD=6,

所以QD=7QB、BD2

作图如下，由图可知当P运动到。或E时P。最大,

所以=（尸Q+QA）•（尸Q+2B）=（PQ+QA）•（尸Q_QA）

.2-2-21-21

=PQ-QA=PQ——<QD——=3,

44

所以P4PB的最大值为3.

故选：C.

8.B

h2h2

【分析】根据题意可得A(-a,O),8(。,0),F(c,0),M(c,—),JV(c,-—),P(c,—),分别

aala

求出直线的和AN的方程，从而得到直线族和AN与丁轴的交点坐标，即可求出答案.

/〃J2

【详解】由题可得：4—a,0),3(〃,0),F(c,0),N(C-—),尸(。,幺)，

aa2a

答案第3页，共14页

c+a

所以2ac+a,直线3尸的方程为：y=(x—a),

=2a

c-a2a

y=—所以直线的与y轴交点为［o,-c+a

令x=0,解得:

2

b2

由于c-a,则直线AN的方程为：y=--{x+d),

------a

c+aa

令x=0,解得：y=a~c,所以直线4V与y轴交点为(O,a-c),

c+a

因为直线族与直线AN的交点在y轴上，所以c=-,解得：c=3a，

2

所以双曲线E的离心率0=£=3,

a

故选：B

9.BD

【分析】化简/'(x)解析式，由此结合三角函数的性质对选项逐一分析，得到正确答案.

、

•与.(c27兀r।♦c1♦c

【详解】由〃%)=sm2x+sin2x-\-----=sin2x+——sin2x+——cos2x

322

7

」sin2尤+走7C

cos2x=sin2x+一,

223

x71

对于A,g(x)=f=sin2^~~H—=sin2x----,

3I3

因为g(-x)=sin1-2x-gj=-sin[2x+gjw-g(x),故A错误;

3

对于>=小+点.c7171.c兀71

B,=sin2x-\----+—=sin2x+—=cos2x是偶函数，故B正确;

1232

答案第4页，共14页

对于C,由“x)=sin[2x+g],最大值为1,故C错误；

对于D,刍〈尤〈女，则=<2x+W<"，由正弦函数的单调性知，

612332

函数〃x)=sin(2x+3在高上单调递减.故D正确.

故选：BD.

10.ACD

【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.

【详解】图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；

图(2)众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；

图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函

数性质逐项判断即可得.

【详解】对A：由g(—x+2)=—g(x+2),故g(x+2)为奇函数，

若g(x+2)为偶函数，则g(x)=0,与条件不符，故A错误；

对B：由g(x)—"3—x)=2,则g，(x)+「(3—x)=。，

又r(x)=ggl),即r(x+l)=g<x)—),

即f,(x+2)=-f,(2-x),又以x+2)定义在R上，

故/'(x+2)为奇函数，故B正确；

对C：由g(-x+2)=-g(x+2),则一g1-x+2)=-g1x+2),

即g'(r+2)=g1x+2),又尸(x)=g，(x-1),

则r(-x+3)=g'(-x+2)，f(x+3)=gr(x+2),

故/(—x+3)=/(x+3),X/(x+2)=-r(2-x),

贝U_f(x+3)=-/”T)=r(一x+3),即一1f(x+l)=/，(x+3),

贝|一/'(龙+3)=/'(%+5)=尸(％+1),

答案第5页，共14页

故函数/'（X）是周期函数4的周期函数，

则函数是周期函数4的周期函数，故C正确；

对D：由g（x）-/（3-x）=2,BPg（x）=/（3-x）+2,

又函数是周期函数4的周期函数，故g（x）是周期函数4的周期函数，

由g（-x+2）=-g（x+2）,令x=0,则g⑵=-g（2）,即g⑵=0,

令x=l,则g⑴=-g⑶，即g（l）+g（3）=0,

由g,x）+r（3-x）=。，-（T+3）=g，（T+2）,

贝Ug'（x）=-g'（r+2）,则g'（x）关于。,0）对称，则g（x）关于x=l对称，

又g（x+2）为奇函数,即g（x）关于（2,0）中心对称,

故g（x）关于x=3对称，贝i]g（4）=g（2）=0,

2024

贝IJ£g（幻=506[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）]=506x0=0,故D正确.

k=l

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

（1）关于对称：若函数/（X）关于直线x轴对称，则/'（x六/Qa-%）,若函数“幻关于

点（。向中心对称,则f（x）=26-/（2a-x）,反之也成立；

（2）关于周期：若/'（*+。）=-/（无），或/'（x+a）=/,或/5+。）=一1，可知函数/（尤）

/（x）

的周期为2a.

12.12

【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得.

【详解】由椭圆定义可得怛司+「闾=2a=10,

则有卷b=1即阀卜"|%=6，

又忸国=2c=2^25-12=2>/13,

由42+62=52=（2屈『，故/耳尸8=90。，

答案第6页，共14页

故sPFlF2=；X4X6=12.

故答案为：12.

13.历

【分析】由圆台的体积求得圆台的高/，，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.

【详解】圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,设圆台的高为Zz,

贝U该圆台的体积为丫=：兀x02+42+lx4)/7=7无/7=14无，贝1"?=2,

作出圆台的轴截面如图所示，

AMD

BNEC

上底面圆心为“，下底面圆心为N,MD=1,NC=4,

过。作DE_LNC,贝！]EC=4—1=3,又DE=h=2,

所以圆台的母线长为£>C==12?+32=.

故答案为：V13.

141256

108

【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到

/(。=25»+24/，再运用导数的性质进行求解即可.

【详解】

cosA(3sin6+4sinC)=cosA^3sinB+4sin(兀一A-5)]=cosA(3sinB+4sinAcosB+4cosAsinB)

=cosA[(3+4COSA)sinB+4sinAcosB],

令3+4cosA=a,b=4sinA,

所以cosA(3sinB+4sinC)=cosA(asinB+bcosB)=y/a^+b2cosAsin(6+B),

要想cosA(3sinB+4sinC)有最小值，显然A为钝角，即cosA<0,

于是有y/a2+b2cosAsin(^+B)>yja2+b2cosA,

设/(A)=cosA-V9+24cosA+16cos2A+16sin2A=cosA-j25+24cosA,

答案第7页，共14页

因为cosA<0,

所以/(A)=-J25cos2A+24cos3A

令cosA=《一1<r<0),即/«)=25?+24/,—1<r<onr«)=50/+72/=2《25+36。，

当时，r«)>0,函数/⑺单调递增，

36

当-时，r«)<o,函数/⑺单调递减，

36

因此当时，函数〃。有最大值《―||]=妥与，

36I36J36x3

所以“A)的最小值为-一”还，

V362X3108

“242571437r2J671

此时cosA=一--^>—<A<—,〃=3+4cosA=—,b=^-----，

362499

即存在tane=®>l,ee[p,p],显然存在B,使得2+。=三，

2142)2

即cosA(3sinB+4sinC)的最小值为一"生^,

故答案为：8

108

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题,

最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值.

15.(l)sinC=—;

3

(2)8+2卡.

【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化，结合正弦函数的和差角公式代入计算，即

可得到结果；

(2)根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)由正弦定理可得，----=----------，得：3sinBcosC-sinAcosC=cosAsinC.

sinC3sinB-sinA

所以3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C).

Xsin(A+C)=sin(7i-B)=sinB,且sinBwO,所以cosC=；.

由sinC>0,故sinC=Ji-cos2c=2叵.

3

答案第8页，共14页

(2)S=-absinC=5s/2,所以必=15.

2

由余弦定理，°?^a2+b2-2abcosC=a2+b2-10.

又c2=6(a—6)2=6(/+62)780.

联立得：a1+b2=34,c=2A/6.

a+b=yja2+b2+2ab=8-

所以ABC的周长为a+b+c=8+2遥.

16.(l)y=4x-2

(2)答案见解析

【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；

（2）结合二次函数的性质，对。分类讨论计算即可得.

【详解】（1）a=-l时，/（x）=lnx+x+尤2,/（力=工+1+2尤，

/（1）=4,/（1）=2,

所求切线方程为y=4（x-l）+2,整理得：y=4x-2;

“、,,12x2-ax+l

(2)jIx)A=a+2x=---------

XX

因为x>0,故aWO时，尸（x）>0,〃x）在（0,+巧上单调递增,

当〃〉0时，对于y=2x2-6zx+l,A=tz2-8,

若0<〃42五，则A«0,此时/'（%）之。"（九）在（。,+8）上单调递增,

若a>2>/2，令2x2-依+1=0，得了=—-——>0，

0<X<"-'"2-8时,尸(x)>0J(x)单调递增;

尤>“+以上时,/'（x）>0"（x）单调递增；

4

时,尸（x）<o,〃x）单调递减;

44

综上所述：aW2立时，〃x）在（0,+e）上单调递增;

答案第9页，共14页

a8

a>20时，在0,-JA。+-8,+/上单调递增,

在］一,，"手且）上单调递减.

17.（1）证明见解析；

⑵*

【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明D4_LAB,再由面面垂直的性质定理得到八4_1平

ABC,从而ZMJ_3C；根据题目条件解得BE=1,由勾股定理AC_LAB；利用线面垂

直的判定定理得证AC，平面AB与A,所以ACL8耳.

（2）建立合适的空间直角坐标系，分别求出直线2瓦的方向向量和平面。%的法向量，利

用公式求出直线8耳与平面皿叫所成角的正弦值为姮.

10

【详解】（1）连接。A,EA,。4=1，M=2,ZZ）AA=60,

由余弦定理可得DE=>/12+22-2-1-2-COS60=后■

满足D42+D4”.，所以DA，D41,即D4J.A5.

因为平面ABB|A，平面A3C，且交线为AB,由A4_LAB,QAu平面AB瓦A，得平

面ABC.

由BCu平面ABC,得ZM_L5C,DA±AC.

因为DE_L3C,DAcDE=D,且ZM,DEu平面ZME,

所以3c1平面D4E.由AEu平面D4£,得BCLAE.

设BE=t,CE=3t,BA2-12=AC2~(3t)2,解得：t=l,即跳;=1.

所以3c=4,满足2A?+AC2Ube?,即AC_LAB.

答案第10页，共14页

又因为DAoAB^A,且D4,ABu平面A84A，

所以AC,平面

由B岗u平面AB耳A，得AC，5用.

(2)以A为坐标原点，AB,AC,A£＞分别为MV*轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

E(超44(-1,0,73),

设平面。时的法向量”=(x,y,z),

-x=0

n•D4j=0

由，，即＜573r，

n•EA—0——x----y+y(3z=0

XI22

取z=1,得到平面尸3D的一个法向量”=(0,2,1).

又24=朋=卜1,0,6)，

设直线BB］与平面DEA,所成角的大小为0,

BB

则sine=|cosn,BB\=V'\=J=姮.

1I|讣网|BEio

所以直线BB｝与平面DEA所成角的正弦值为姮.

18.(1)证明见解析

(2)(0,-2)或(2,2)

【分析】⑴设4(和片),33芯),P(x"p),利用导数求乙和4的方程，进而可得点P的

答案第11页，共14页

坐标，再联立直线AB、抛物线的方程，利用韦达定理分析求解;

（2）根据面积关系可得（占）2）2=32,结合韦达定理分析求解；

（3）可知抛物线焦点尸分析可得尸尸是外接圆的直径，结合垂直关系分析求

解.

【详解】（1）由y=Y,得y'=2x,

设A（士,团,3（孙考）尸（马,力）.

所以4方程为：y=2x1（x-xl）+^,整理得：）；=2尤小-尤;.

同理可得，4方程为：y=2x2x-X2.

y=2xx—xf_X+%2

联立方程{解得与=2.

y=2x2x-xl_

yP=v2

因为点T（l,2）在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，且与抛物线必相交,

设直线A3的方程为丁=左（犬-1）+2,与抛物线方程联立得：尤2-日+左-2=0,

故无1+九2=k,%工2=k—2,

k

所以%=],%=%一2,可知yp=2xp-2.

所以点P在定直线y=2x-2上.

⑵在伉的方程中，令k0,得/母用卜仁,。］,

所以,PMNmS=^\MN\-\yP\=^xi-x2）xix2\=^.

故（再-/J（占％2J=［（占+々J-4再%］（占尤2y=32,

1

代入西+/=左,王/=左一2可得：（k—4左+8）（左2—4左+4）=32.

答案第12页，共14页

整理得[("2)2+8][(左-2)2_4]=0,解得：%=0或%=4.

所以点尸的坐标为(0,-2)或