山西省运城市空港新区某中学2024届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

山西省运城市空港新区一中2024届高一数学第二学期期末教学

质量检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷

上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非

选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.在等比数列｝中，a=4,a=16,则。9等于（）

n3

A.256B.-256C.128D.-128

2.等差数列但〃/中，若,,则()

A.2019B.1C.1009D.1010

3.两条平行直线2九一》一/=0与4x—2y+36=O间的距离等于（）

15

A.-B.2C.-D.4

22

4.已知中是常数，那么“tan（p=2”是“sinx+2cosx=J5sin（x+（p）等式对任意

xeR恒成立”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在AABC中，设角4,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=3,C=120°,

则其面积等于（）

A2R0c3#D3/3

222V

6.已知实数X，X,y,y满足X2+y2=1,X2+y2=1,XX+yy=0,则

121211221212

|九1+,_4+|九2+，2―4的最大值为（I

A.8B.2gC.4D.6

7.在AABC中，44=60。，a=4木,b=4&,则3等于（）

A.45。或135。B.135。C.45°D.以上答案都不

对

计算:

A工B.4C.芈D.2,

9.已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的

公比为（）

10.终边在丁轴上的角。的集合（

A.{ala=2kn,keZ}B.{ala=kn,keZ}

it

D.{ala=左兀+—,左eZ}

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知a、b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则a、b在a上的射影有可能是:

①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.

在上面结论中，正确结论的编号是.（写出所有正确结论的编号）

12.从集合4={-1,1,2}中随机选取一个数记为依从集合5={-2,1,2}中随机选取一个数记

为仇则直线y=Ax+6不经过第三象限的概率为.

13.已知向量。=（T,2）,6=（机』）.若向量&+石与a垂直，则机=.

14.已知三棱锥P—A5C,24,平面ABC,ACLBC,BC=PA=小,AC=1,

则三棱锥P-ABC的侧面积.

16.若直线x+y+m=0上存在点p可作圆。：X2+/=1的两条切线？A、PB,切

点为4、B,且/APB=60。，则实数机的取值范围为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.在ZiABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsin3,

ac=6（a2-Z?2-c2）.

(I)求cosA的值；

(H)求sin(2B—A)的值.

18.在△ABC中，已知3c=7,AB=3,ZA=60°.

(1)求cosZC的值；

(2)求△ABC的面积.

19.已知数列M卜茜足a=a+2”+2,a=3.

nn+\n1

(1)证明：数列3-2"｝为等差数列；

n

(2)求数列｛a｝的前九项和S.

nn

20.2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随

机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，按阅读

时间分组:第一组［0,5),第二组［5,10),第三组［10,15),第四组［15,20),第五组［20,25］,

绘制了频率分布直方图如下图所示.已知第三组的频数是第五组频数的3倍.

(1)求。的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；

(2)现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”.经

过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.

21.如图所示，AA5C是边长为1的正三角形，点四等分线段8c.

(I)求AB-AP+AT3r7r的值；

112

…—1——

(II)若点。是线段上一点，且AQ=五+求实数机的值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

先设等比数列的公比为夕，根据题中条件求出“2,进而可求出结果.

【题目详解】

设等比数列伍｝的公比为夕，

n

a.

因为、=4,a=16,所以农=7=4,

3

因此a=aq4=16义16=256.

95

故选A

【题目点拨】

本题主要考查等比数列的基本量的计算，熟记通项公式即可，属于基础题型.

2、D

【解题分析】

由等差数列但”/中，，，求出，由此能求出的值.

【题目详解】

等差数列中，，，

即，解得，

故选：.

【题目点拨】

本题考查等差数列基本量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力,

属于基础题.

3、C

【解题分析】

先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结

果.

【题目详解】

解：两条平行直线2%—y—J5=0与4x—2y+3/=0间，

即两条平行直线4x-2y-2jJ=0与4x—2y+36=0,

故6们2间的距离为+2万5,

J16+42

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础

题.

4、B

【解题分析】

由辅助角公式结合条件sinx+2cosx=JJsin(x+(p)得出coscp、sin(p的值，由

tan(p=2结合同角三角函数得出coscp、sin甲的值，于此可得出结论.

【题目详解】

26_24

sincp八sm(p二——sincp=

tancp=----=2~~5~

由《cos(p可得r_或'

_9_

sin2(p+cos2(p=1coscp=coscp=

[55

由辅助角公式

sinx+2cosx==y/5(sinxcoscp+cosxsin<p)

=6sin(x+(p),其中cos(p=¥2萼

因此，“tan(p=2，，是“sinx+2cosx=J5sinG+(p)等式对任意xeR恒成立”的必

要非充分条件，故选B.

【题目点拨】

本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应

用，考查推理能力，属于中等题.

5、C

【解题分析】

直接利用三角形的面积的公式求出结果.

【题目详解】

解：AABC中，角A,8,C的对边边长分别为b,c,

若a=2,b=3,C=120°,

则S=Lbxsinl20。=2x3x亘=士心，

AABC2222

故选：c.

【题目点拨】

本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题.

6、D

【解题分析】

设点a(x，y),8(%，y),根据条件知点48均在单位圆上，％%+yy=。由向量数

11221212

量积或斜率知识，可发现。4L0B,对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到

直线的距离之和有关.

【题目详解】

设A(x,y),B(x,y),­：x2+yi=\,x2+yi=\,xx+yy=0,

112211221212

均在圆X2+W=l上，且Q4L0B,设AB的中点为C,则点。到原点的距

离为乌,

2

•・•点。在圆x2+y2=1上，设A,3,C到直线x+y—2=。的距离分别为d/,d,

212

|x+y-2|+|x+y2-2|=加…-2少+八］2|)=在储+《)=2^d,

d=>/2+—=^^,lx+y-2|+|x+y-2|<25/2=6.

max2211222

【题目点拨】

利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数J5,才能看出目标式子的几

何意义为两点到直线距离之和的”■倍.

7、C

【解题分析】

试题分析：由正弦定理得，得，结合

得5=45。，故选C.

考点：正弦定理.

8、A

【解题分析】

根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.

【题目详解】

.兀711.兀11

sin一.cos——sin——一x一方

1212=26=22=/

~n~-—7^~一，

2cos2--1cos7,

126万

故选A.

【题目点拨】

本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.

9、B

【解题分析】

U+U+...+〃

由数列为等比数列，则q=十丁丁2".,结合题意即可得解.

132n-l

【题目详解】

解：因为数列为等比数列，

设等比数列的公比为，

Cl+CL+...+〃

?42

又是奇数项之和的3倍，

则q=3,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了等比数列的性质，重点考查了等比数列公比的运算，属基础题.

10、D

【解题分析】

根据轴线角的定义即可求解.

【题目详解】

A项，｛ala=2k兀,keZ｝是终边在x轴正半轴的角的集合；

B项，｛ala=k7r,keZ｝是终边在x轴的角的集合；

7T

C项，｛ala=2^+-,Z:eZ）是终边在丁轴正半轴的角的集合；

TT

D项，｛ala=加+于keZ｝是终边在V轴的角的集合；

综上，D正确.

故选:D

【题目点拨】

本题主要考查了轴线角的判断，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、①②④

【解题分析】

用正方体ABCD-A1B^CiDl实例说明Afi1与5cl在平面ABCD上的投影互相平行,A片

与3G在平面ABCD上的投影互相垂直，5G与。q在平面A3CD上的投影是一条直

线及其外一点.故①②④正确.

【解题分析】

由题意，基本事件总数为3x3=9,其中满足直线y=kx+b不经过第三象限的，即满足

k<0,2

{,八有k=-1,b=l或k=—1,b=2两种，故所求的概率为六.

0>0,9

13、7

【解题分析】

由4+〃与d垂直，则数量积为0,求出对应的坐标，计算即可.

【题目详解】

a=(-1,2),lj=(m,l),

a+b=(m-l,3),又&+,与日垂直，

故(i+6)a=0,

解得一(根—l)+6=0,

解得根=7.

故答案为：7.

【题目点拨】

本题考查通过向量数量积求参数的值.

5J3

14、

2

【解题分析】

根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.

【题目详解】

三棱锥P—ABC,平面ABC,AC1BC,BC=PA=0,AC=1

画出图像:

p

易知：每个面都是直角三角形.

S=S+S+S=小+好+6=空~

123、22

【题目点拨】

本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.

7T

I，'6

【解题分析】

…、，-八1,.一。2+匕2-。22abcosC八J3

试题分析：*；S=大"smC=------=——=-------=—,tanC=—,

24^/34733

C=30.

考点：三角形的面积公式及余弦定理的变形.

点评：由三角形的面积公式s=；HsinC,再根据42+/?2-C2=labcosC,直接可求

出tanC的值，从而得到C.

16、

【解题分析】

试题分析：若/AP3=6Oo,则0P=2,直线x+y+机=0上存在点P可作

。：+y2=1和的两条切线PA,PB等价于直线x+y=0与圆X2+y2=4有公

m

共点,由圆心到直线的距离公式可得\\<2,解之可得［-2",2户］.

考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.

【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及

到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和

解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线x+y+m=。上存

在点P可作。：X2+y2=1和的两条切线等价于直线x+y+加=0与圆

X2+y2=4有公共点是解答的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

【解题分析】

试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系a=2b,再根据余弦定理求

出cosA,

进而得到sin4,由。=2。转化为sinA=2sin8,求出sinB,进而求出cosB,

从而求出23的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

db

试题解析：(I)解：由asinA=4bsinB,及一^二一^,得a=2b.

sinAsmB

由ac=6、2一拉一02),及余弦定理，得b2+c2—a2一

cosA=----------=——----=—

2bcac5

(H)解：由(I),可得sinA=3W»,代入asinA=4bsinB,得sinB=%l=直.

54b5

._______2/54

由(I)知，4为钝角，所以cos5=71-sin25=△_•于是sin2B=2sinBcosB=-,

53

3

cos2B=l-2sin2B=_,故

.f,4fa13275275

sin\2B-A)=sin25cosA-cos2BsinA=_x-__-_x_'

5(5)555,

考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求

边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公

式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利

用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

13L

18、(1)—(2)673

【解题分析】

(1)由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三

角函数基本关系式可求cosC的值.

(2)利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面

积公式即可计算得解.

【题目详解】

(1)由题意，BC=7,AB=3,ZA=60°.

3义也Q/T

二由正弦定理可得：sinC=A5-sinA3_30

BC-7IT

13

；为锐角，；而

VBOAB,.C.cosC=Jl—s2。==14,

(2)因为A+B+C=TT,A=60°,

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

2142147

SAARr=[BC*AB*sinB=J_x7x3x=6J3.

△ADC227V

【题目点拨】

本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，

两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力

和转化思想，属于基础题.

19、(1)证明见解析；⑵S=雁+2，，+1—2

n

【解题分析】

(1)将已知条件凑配成。-2n+i=a-2n+2,由此证得数列匕-2〃｝为等差数列.

n+1nn

(2)由(1)求得数列匕-2"｝的通项公式，进而求得a的表达式，利用分组求和法

nn

求得S.

n

【题目详解】

(1)证明：〃=〃+2〃+2

〃+1n

/.a—2〃+i=a—2"+2

n+ln

又；a=3a-2i^1

11

所以数列匕-2〃｝是首项为i,公差为2的等差数列；

n

(2)由(1)知，a—2〃=1+2(〃-1)=2/i—1,所以a=2n+2n—1.

nn

所以

S=(1+3+5+3+2〃—1)+(2+22+23+—+2")_(1+2—―1>"+2，—2")

"21-2

="2+2«+i-2

【题目点拨】

本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.

11

20、(1)a=0.06,平均值为12.25小时(2)—

【解题分析】

(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出

”和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；

(2)从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1,设为A,B,C,D,E,F,利用列

举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率.

【题目详解】

(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为

1-(0.01+0.07+0.04)x5=0.4,

3

第三组的频率为0.4x=0.3

1+3

0.3八“

a=—=0.06

5

该样本数据的平均数

x=2.5x0.01x5+7.5x0.07x5+12.5x0.06x5+17.5x0.04x5+22.5x0.02x5

=12.25

所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为12.25小时.

(2)易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1,

设为A,B,C,D,E,F,则从该6人中选拔2人的基本事件有：

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF

共15种，

其中来自不同的组别的基