江西省上饶市2024届高三第二次高考模拟考试数学试卷试题及答案

上饶市2024届第二次高考模拟考试

数学试题卷

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A=Wl<x<3},5={xeN"f_3x<0},则人B=（）

A.{x|0<x<3}B.{x|-l<%<3}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合然后利用集合的交集运算即可求解.

【详解】由题意知A={止1cx<3},B=x2-3x<0}=|XGN"|0<X<3}={1,2},

所以Ac5={l,2},故C正确.

故选：C.

2.已知复数z满足z=2-,则复数乞在复平面内对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数除法求出复数z,再求出5即可得解.

2i-(l-i)2=l+i

【详解】依题意,

2

所以吃=1-i在复平面内对应的点（LT）位于第四象限.

故选：D

3.“a+c>6+d”是且c>d”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.

【详解】可令a=9,c=6,b=d=1,则满足a+c>〃+d,但“a>b且c>d”不成立，所以

a+c>b+d"不是"a>b且c>d”的充分条件；

根据不等式的性质：由a>b且c>d,可得：a+c>Z?+d.所以''a+c>Z?+d"是且c>d”的必

要条件.

故选：A

4.已知平面向量a=(l,m),b=(-2,2),且(a+b)_LZ?,则〃z=()

A.1B.3C.-3D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】先求出a+6的坐标，再根据垂直的坐标表示求得加即可.

【详解】由题意知:«=(l,m),6=(-2,2),所以a+Z;=(—1,m+2),

因为(a+))_LZ?,所以(a+b)-Z?=O,即(一1)义(一2)+2(m+2)=0,

解得：根=-3,所以A、B、D错误，

故选：C.

5.记数列｛4｝的前〃项和为S“，若是等差数列，S6=6,则氏+。4=()

11

A.-B.-C.1D.2

62

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据因为］是等差数列，可得｛4｝为等差数列，再利用等差数列的求和公式及其性质即

可得解.

【详解】因为是等差数列,

S

所以可设，i~=加+5,所以邑=。〃9+加,

n

所以｛%｝为等差数列，

S=6=6x6=3(q+%)，

6。z")

所以4+&=2,

所以。3+。4=2.

故选：D

cos(o+/)=；,则cos(a-7?)=()

6.已知角a,满足tanatan分=一3,

131

A.——B.-1C.一一D.-

488

【答案】A

【解析】

【分析】根据商数关系得到sinasin/?=-3cosacos/?,再利用两角和与差的余弦公式计算即可.

sinasinB。^

【详解】tanatanp----------=-3,:.smasmp=-3cos6Zcos/3,

cosacos0

cos(cr+/?)=cosacos(3-smasin/?=4cosorcosJ3=—,cosacos/?=—,

28

/.cos(。一月)=cosacos〃+sinasinJ3=-2cosacos〃二一；，

故选：A.

7.定义在R上的奇函数/(%)满足"2—x)=f(x),且在［0』上单调递减，若方程/(尤)=1在(―1,0］上

有实数根，则方程/(%)=-1在区间［3,11］上所有实根之和是()

A.28B.16C.20D.12

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件可得出了(龙)的图象关于x=l对称，/(%)的周期为4,从而可考虑了(司的一个周期,

利用［T3］,根据"％)在［0』上是减函数，可得出“力在(1,2］上是增函数，又“力是R上的奇函数，

所以在(-1,0］上是减函数，在［2,3)上是增函数，然后根据/(尤)=1在(-1,0］上有实数根，可判断该

实数根是唯一的，并可判断/(%)=-1在一个周期［-1,3］内有两个实数根，并得这两实数根和为2,从而得

出/(%)=-1在区间［3,11］这三个周期内上有4个实数根，和为28.

【详解】由"2—》)=/■(%)知函数〃龙)图象关于直线X=1对称，

Vf(2-x)=f(x),/(x)是R上奇函数,

/(-^)=/(^+2)=-/(x),

/(x+4)=/(%),

的周期为4,

考虑/(%)的一个周期，例如［—1,3］,

由/(%)在［0』上是减函数知“力在(1,2］上是增函数，

/(同在(—1,0］上是减函数，/(%)在［2,3)上是增函数，

对于奇函数〃尤)有/(0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,

故当xe(O,l)时，/(%)</(0)=0,当xe(l,2)时,/(%)</(2)=0,

当xe(—1,0)时,/(x)>/(0)=0,当尤式2,3)时，/(x)>/(2)=0,

因为方程〃*)=1在(-L0］上有实数根，

函数/(%)在(-1,0］上是单调函数，则这实数根是唯一的，

所以方程/(x)=T在(0,1］上有唯一的实数根，

则由于/(2—x)=f(x),函数的图象关于直线x=l对称，

故方程/(%)=-1在(1,2)上有唯一实数根，

因为在(—1,0)和(2,3)上/(£)>0,

则方程/(%)=—1在(-1,0］和［2,3)上没有实数根，

从而方程/(x)=-l在一个周期内有且仅有两个实数根，

当1,3］,方程/(%)=—1的两实数根之和为x+2—尤=2,

当XG[3,11],方程/(x)=-l的所有4个实数根之和为

4+x+4+2—尤+1+8+2—x+8=8+2+8+2+8=28.

故选：A.

22

8.设工为双曲线C：二一与=1(«>0,%>0)的右焦点，直线/：x-3y+c=0(其中c为双曲线

ab

。的半焦距)与双曲线C的左、右两支分别交于N两点，若MN•(&M+&N)=O,则双曲线C

的离心率是()

A.B.@C.-D.好

3332

【答案】D

【解析】

【分析】取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到入〃为线段的中垂

线，|叫|=|叫|=m，然后结合双曲线的定义得至U["H|=|NW|=2a,进而利用勾股定理求得

nr=2a2+2c2,于是根据直线/的斜率，得到心。的关系，从而求得离心率

【详解】设双曲线C的左焦点为耳，如图，取线段的中点X,连接和，则

F2M+F2N=2F2H.因为而)=0,所以肋V.g〃=0,即MN，8〃，则

|^|=|^|.^\MF2\=\NF2\=m.因为—4|=|g|—|照|=2M所以

|峭|-|尊|+|咋1咋|=|岫卜|咋|=|ACV|=4a,贝U|M/|=|NW|=2a,从而|明|=根，故

2222

\HF2\=V4c-m=7m-4a,解得病=2片+202.因为直线/的斜率为g,所以

12_2

\HF,\72?-2a,整理得1即5a2=4°2"邛,

3a-+c9

【点睛】本题考查双曲线的几何性质一一离心率的求法，涉及向量的运算

和数量积，关键是取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到入〃为线段

的中垂线，结合双曲线的定义得到|必/|=|八及|=2。是关键，根据直线/的斜率，得到a,c的关系是求得

离心率的方向.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

(〃为正整数)的展开式中存在常数项，则下列选项中”的取值可能是()

A.3B.5C.6D.7

【答案】AC

【解析】

【分析】根据二项式定理的通项公式求解.

[x-之]展开式的通项为

【详解】小=(—2)七：/"，左=0』，，〃，

因为存在常数项，所以〃=3无.

经验证，左=1时，〃=3；左=2时，〃=6符合条件.

故选：AC

10.已知函数/(%)=Atan(gx+0)(G>O,O<0<71)的部分图象如图所示，则()

B./(%)的图象过点-,—-—

C.函数y=7(x)1的图象关于直线》=获对称

D.若函数y=|/(x)|+/l/(x)在区间上不单调，则实数4的取值范围是

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.

7171571

【详解】对于A：设该函数的最小正周期为7,则有7=—=：=>69=1,

CD6

即/(%)=Atan(x+0),由函数的图象可知：‘+0="+4兀=＞夕=/++左兀,又。＜。＜兀,所以

623

71

(P=~

3

71

即/(%)=AtanXH---,由图象可知：/(O)=Atan|=273A=2,所以。•夕4=],因此A

3

不正确;

“工C兀、cfl171兀)_1371_71,A/32^3二匚[、|n-rrfc

对于B：f\----=2tan------1--=2tan----=2tan—=2x——=------，所以B正确;

[6)[63)6633

喧+d=2ta"*+£|

=|2tanx|,所以f

所以函数y=|/(x)|的图象关于直线x=]对称，因此c正确;

对于D：y=|/(%)|+2/(x)=2tanlx+—j+22tanIx+—

717C

当xe时,

4%

y=\f(x)\+Af(x)=2tanx+g+2%tanIx+—I=2tanfx+—I+2%tanIx+—

=(2+22)tanx+

5兀71

当

63

y=|/(x)|+2/(x)=2tanx+—+22tanx+—=-2tanx+—+22tanx+—

=(—2+22)tan[x+]J,

当函数y=/(x)|+/l/(x)在区间上不单调时，则有(2+2初—2+2X)W0n—正

确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.

11.在四棱锥S—ABCD中，ABCD是正方形，AD±SD,ZSDC=12Q°,SD=CD=2,P为棱SB

上一点，则下列结论正确的是()

A.点A到平面SBC的距离为1

3

B.若SP=PB,则过点A,D,尸的平面。截此四棱锥所得截面的面积为一

2

C.四棱锥S-ABCD外接球的表面积为18兀

D.直线”与平面SCD所成角的正弦值的最大值为短

7

【答案】ABD

【解析】

【分析】设点A到平面S5C的距离为d,结合匕.ABC=%.SBC，求得d=l，可判定A正确；取SC中

点为。，连接P。，DQ,可得截面为直角梯形APQD,进而可判定B正确；结合球的截面的性质，可

求得四棱锥S-ABCD外接球的半径为R=结合球的表面积公式，可判定C不正确；作PESC和

EF\CD,证得平面PEF方平面SCD,将AP与平面SCD所成的角转化为ZAPF,设

PB=x(O<^<4),求得sinNAP/=弁二7，,结合二次函数的性质，可判定D正确.

Ak2，x--3x+4

【详解】对于A选项，因为AOLSD,AD±DC,又SDDC=D,且SO,DCu面SDC,

所以面SDC,又因为AD/ABC,所以3C1平面SDC,

因为NSDC=120°,且SD=CD=2,

可得S到平面ABCD的距离为SO-sin60=6，即三棱锥S—ABC的高为/?=石，

22

设点A到平面SBC的距离为d,且SC=y/SD+CD-2S£>-CDcos120=2A/3，

由匕-ABC=匕.SBC,可得'*，*2><2义/7=1><,><2><26*4,得d=-^=1.

3232，3

所以点A到平面SBC的距离为1,所以A正确；

对于B选项，因为SP=PB,所以点尸为棱S3的中点，

取SC中点为。，连接PQ,DQ,则平面APQD即为平面a截此四棱锥所得的截面.

且点。是SC的中点，点尸为棱S3的中点，

所以在ASBC中，尸。是△SBC的中位线，则PQ=gBC=l,且尸Q〃BC,

又因为四边形ABCD是正方形，贝U3C〃仞，所以PQ〃A£>,

因为A£>上面SDC,且AOa面SDC,QCu面SDC,所以ADJ_QC.

所以四边形AP。。是以AD为下底、P。为上底，为高的直角梯形，

因为S£>=CD=2,在等腰SCD中，QD_L3C,且。。平分/4£>C,

可得0。=O).cos；/SDC=2xg=1,

i3

则平面a截此四棱锥所得截面的面积为S=5(l+2>l=e，所以B正确；

对于C选项，又因为N5DC=120。，SD=CD=2,且SC=2石，

cSC2A/3,

OF,_______—___—4

所以sin/S。。—73—，即r=2,其中〃为，SCO外接圆半径，

方

因为正方形ABCD的中心到面5DC的距离等于其边长的一半，即1,故四棱锥S-MCD外接球的半径为

7?=A/22+12=45-

所以四棱锥S-MCD外接球的表面积为20兀，所以C不正确；

对于D选项，过点P作PESC,再过点石作跖CD,使得E,歹分别在线段5cA。上，连接尸尸.

根据线面平行的判定定理，可得PE//平面SCD,EF：平面SCD,

因为EFcPE=E,且平面？即，所以平面？即口平面SCD,

又因为ADL平面SCD,所以ADL平面尸石户，即AF,平面尸石户.

所以NAP尸即为AP与平面P即所成的角，即为AP与平面SCD所成的角.

由于平面SDC,SC在平面5DC内，故3CJLSC.

从而在直角ASBC中，可得S5=JSC?+CB。=J12+4=4-

设P6=x(OWxW4),由PBEs二SBC,可得匹=理=2，

')BCSB4

所以=二-2=2，所以AP=土.

4422

由于5A=，502+£)(42'=，4+4=2拒，故在△5AB中，由余弦定理可得

SB?+AB?-SA23

cosZSBA=

2SBAB4

在,PAB中，由余弦定理可得AP=7AB2+PB2-2AB-PBxcosZPBA=6-3x+4，

在直角△7%/中，可得

AFX11_2^/7

sinZAPF=—

AP2J炉—3%+4,[T—〒,且当x=§

2元③

时，不等号取等.

所以sinNAPE的最大值是迫，所以D正确.

7

故选：ABD.

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、

性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有

解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,%,则这6个点数的中位数为3的

概率为.

【答案】-

3

【解析】

【分析】根据X的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.

【详解】当X为1,2时，这6个点数的中位数为3,

当％=3时，这6个点数的中位数为3.5,

当尤=4时，这6个点数的中位数为4，

当x为5,6时，这6个点数的中位数为4.5,

所以这6个点数的中位数为3的概率为2=1.

63

故答案为：—.

3

13.在A5C中，NA,NB，3C依次成等差数列，AC=26，的取值范围为.

【答案】（0,6]

【解析】

7T1

【分析】根据题意可得NB=—,利用数量积公式得痴•BC=—ac,进一步由正弦定理、结合三角恒等

32

变换将所求转换为求三角函数值域即可.

【详解】根据题意2NB=NA+NC,又NA+N5+NC=7i,

兀

所以NB=—,

3

acb2G

=4

由正弦定理有sinA-sinC-sin8一百

2

所以a=4sinA,c=4sinC,

所以BA，BC=gac=8sinAsinC=8sinAsin[g—A]=8sinAcosA+^-sinA

=4^/3sinAcosA+4sin2A=2^/3sin2A—2cos2A+2=4sin12A—个1+2,

而A的取值范围是

所以2A—e的取值范围是,sin[2A—k]的取值范围是1一5」,

所以4si“2A—胃的取值范围是（一2,4],

所以84・30=45由124—已）+2的取值范围为（0,6].

故答案为：(0,6],

14.已知关于x的不等式ae*x—21nx—2%-220恒成立，。的最小值为刃，则/'(x)=msinx+sin2x

的最小值为.(其中e为自然对数的底数)

【答案】-9

2

【解析】

【分析】由导数判断函数单调性，求函数的最值解决恒成立问题，再根据函数单调性求函数的最小值.

【详解】不等式ae'x—21nx—2x—2»0(x>0)恒成立，等价于：1也;+1=.：：：+1,

令.=g(x)=x+lnx,g'(x)=1+—>0,

x

所以g(x)=x+lnx在(0,+。)是增函数，

且x趋近于0时，g(x)趋近于-oo,x趋近于+8时，g(x)趋近于+<»,即teR.

令机(。=匚2，则7〃'(“=二，

当fe(-co,0)时，加")是增函数，

当te(0,+8)时，加«)<(),加是减函数，

所以加⑺111ax=m(°)=1，所以■121,即a»2,故m=2.

所以/(x)=2sinx+sin2x,(x)=2cosx+2cos2x=2(cosx+1)(2cosx-1),

因为cosx+120,所以cosx'l■时，/(x)是增函数，cosx<1■时，/(%)是减函数,

]Q

即cosx=—时/(%)=2sinx+sin2x取得最小值，此时sinx=±J；

22

当sinx=-^^时，sin2x=2sinxcosx=~~~'止匕时/(x)=2sinx+sin2x=一^^；

当sinx=时，sin2x-2sinxcosx=>止匕时/(x)=2sinx+sin2x=.

综上可知/(%)的最小值为-等.

故答案为：—正

2

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数同构和分离参数法求出〃2；二是利用导数求

解三角函数的最值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.赣南脐橙，果大形正，橙红鲜绝，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，是江西省赣州市

特产，中国国家地理标志产品.荣获“中华名果”等称号.有甲、乙两个脐橙种植基地，按果径X(单位：

mm)的大小分级，其中Xe(75,80］为特级果，X470,75］为一级果，Xe(80,90］为二级果，

Xe(60,70］为三级果，一级果与特级果统称为优质果，现从甲、乙两基地所采摘的所有脐橙中各随机抽

取300个，测量这些脐橙的果径，所得数据整理如下：

果径分组(单位：mm)(60,65](65,70](70,75](75,80](80,85](85,90]

甲基地频数515100150255

乙基地频数10251101202510

(1)根据以上统计数据完成下表，并回答是否有95%以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关?

甲基地乙基地

优质果

非优质果

(2)以样本估计总体，用频率代替概率，从甲种植基地采摘的所有优质果中随机抽取3个，设被抽取的3

个脐橙中特级果的个数为y,求F的分布列和数学期望.

9n（ad-bc^1,

附：K—、，n—a+Z7+c+d.

2

P（K>k0）0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)表格见解析，有95%以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”

9

(2)分布列见解析，-

【解析】

【分析】(1)列出2x2列联表，计算可K?，可得结论；

(2)求得甲种植基地优质果中特级果的概率，进而可得丫B|3,|L进而可得y的分布列和数学期望.

【小问1详解】

根据题中所给数据可得到如下2x2列联表:

甲基乙基

地地

优质果250230

非优质果5070

―600x（250x7。-230x5。）二,ms.

300x300x480x120

因此，有95%以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”.

【小问2详解】

由题意得甲种植基地优质果中特级果概率P==3

100+1505

Y的所有可能取值为0,1,2,3,V〜313,1

p(y=0)=C/

p(y=i)=c；||(2丫_36

jJ-125

p(y=2)=c]

p(y=3)=C.

Y的分布列表如下:

Y0123

8365427

P

125125125125

M八c39TL/sc8,36c54°272259

E(y)=3x—=—(或E(y)=0x------Fix-----i-2x-----F3X=--=—).

''55v71251251251251255

16.已知函数/(x)=gx2+ta-21iu:+Z7的图象在x=2处的切线与直线y=-gx+5垂直.

(1)求。的值；

（2）若函数/（九）在［l,e］上无零点，求6的取值范围.

【答案】（1）a=l；（2）［-00,2-e-^-^uf—1,+oo^j

I2八2J

【解析】

【分析】（1）首先求出导函数，由/'（2）=2即可求解.

（2）由题意可得gf+ax-21nx+沙=0在［l,e］上无解，分离参数，转化为两个函数无交点即可求解.

【详解】（1）由函数/（x）=gx?+at—21n%+b,x>0,

22

f'(x)=x+a——,所以可得/''(2)=2+“——=2,解得a=l.

x2

(2)若函数/(%)在［l,e］上无零点，即：一+九一2©+/,=。在口，4上无解,

即-7?=g%2+x-21nx在［l,e］上无解，

令g(九)=5%之+%—21n%,x£［l,e］，

y+t2=(x+2)(x-l),在［1,耳上g，(£)>0,

g,(x)=x+l--=

JCXX

所以g(x)在[Le]上单调递增,

所以g⑴Wg(x)Wg(e),

3,2

即尹g(x)<］+e-2,

若—b=—%2+x—21nx在［1,e］上无解,

3、2

则一b<—或—b>Fe—2,

22

3、e2

即。〉——或/?<2—e---.

22

.............(2\

所以6的取值范围为-8,2-e-二e2,+8

I2)

17.如图，三棱柱A5C-A5Ci中，四边形ACGA，BCa用均为正方形，£>,E分别是棱的中

点，N为C[E上一点.

(1)证明：3^^//平面4。。；

(2)若AB=AC,C[E=3CiN,求直线ON与平面4。。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

10

【解析】

【分析】(1)连接BE,3G，DE,则有平面BEG//平面4。。，可得BN//平面4DC；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.

【小问1详解】

连接BE,BCX,DE.

因为AB//A31，且AB=AJ5J,

又D,E分别是棱AB,4耳的中点，

所以3O//AE,且5。=4后，

所以四边形3明后为平行四边形，所以A。//石B,

又A。U平面A.DC,EB<z平面A.DC,

所以EB//平面4。。，

因为DE〃BB\〃CC、,且DE=BB]=CG，

所以四边形DCGE为平行四边形，所以GE”。。，

又CDu平面\DC,CXE<z平面\DC,

所以GE//平面A。。，

因为CEcEB=E,CXE,EBu平面BECX,

所以平面BEC」/平面A。。，

因为BNu平面BEC]，所以BN//平面A。。.

,G

T

B

四边形ACG4,3CG3I均为正方形，所以C£，AC,C£

所以CG，平面ABC

因为。E//cq,

所以。E1平面ABC.

从而DELDB,DELDC.

又AB=AC,

所以一ABC为等边三角形.

因为。是棱AB的中点，

所以CD_L£>5.

即£>5,DC,DE两两垂直.

以。为原点，。氏DC,DE所在直线为x,%z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

则0（0,0,0）,网0,0,26）0（0,3,0）6（0,3,2句从一后0,2回

所以℃=（0,3,0）,%=（-73,0,2^/3）.

设〃=（羽y,z）为平面ADC的法向量，

n-DC=0f3y=0、

则，即1,,可取〃=z（2,0,1）.

n-DA,=Q〔-j3x+2j3z=0

因为QE=3c3,所以N（0,2,2如）,ON=（0,2,273）.

设直线DN与平面A.DC所成角为。,

/八皿\n-DN\2百J15

贝!Jsin0=|cos<n,DN）|=---------=——=----，

\n\-\DN\V5x410

即直线DN与平面ADC所成角正弦值为叵.

10

122

2*4

18.已知离心率为万的椭圆G:T+£=1（。〉人〉0）与抛物线c2:y=2px（p>0）有相同的焦点F,

且抛物线经过点P（l,2）,O是坐标原点.

（1）求椭圆和抛物线的标准方程；

（2）已知直线/：x=（y+/与抛物线交于A3两点，与椭圆交于两点，若&ABP的内切圆圆心始终

在直线尸产上，求OCD面积的最大值.

22

【答案】（1）椭圆G：5+4=I；抛物线。2：/=©；⑵6

【解析】

【分析】（1）将p（l,2）代入抛物线可求得0,得到抛物线方程；由抛物线方程得歹（1,0）,结合离心率和

椭圆a,4C之间关系可求得椭圆方程；

（2）根据内切圆圆心特点可确定P产平分/APS，得到PA尸3斜率之和为0,由此可构造方程得到

%+为=-4,进而求得心B=-1；将/与抛物线和椭圆方程联立可求得冽范围，并得到韦达定理的形

式；利用弦长公式和点到直线距离公式表示出|。力和。至心距离d,将所求面积表示为关于掰的函数，由

函数最值的求解方法可求得结果.

【详解】⑴P（L2）在抛物线上，，4=2。，解得：夕=2,.■.抛物线方程为：/=4x；

11

由抛物线方程知：厂（1,0）,即C=l,.•"=—c=—=—,解得：a=2,.-.b2=a2-c2=3,

aa2

22

，椭圆的标准方程为：L+上=1；

43

（2）的内切圆圆心始终在直线PF上，.•./>尸平分/APS，

设直线PA,P3斜率为匕，左2,又轴，.,.勺+左2=0；

设力（5乙），外均,〃），则汨+彩=0，

1XB1

.-2j-2^_^_

£=4x2A+k=+=0

y+=-4；

城-4%—4%+2y+2，整理可得：A

yl=4勺B

44

.k,%一力为一力.4=

"xB-xA诵-货yA+yB'■■-l-x^-y+m.

4

x=-y+mr,,

由，2得：y2+4^-4m=0,则A=16+16加〉0,解得：m>-l；

y=4x

x=—y+m

由,%22得:7y2—6加y+3/-12=0,则A2=36/-28（3加?—12）>0,解得:

——+—=1

[43

-V7<m<近;

综上所述：-1<根<J7;

3m12

设。（生，九）,。（积,y。）,则无+如=第,ycyD=~

\CD\=Ji+e-J（tc+如『-4”。=华•V21-3m2，又。到直线/距离d=号，

SOCD=1|CDp=|^m2（21-3m2）=|V-3/w4+21m2,

由得：04根