湖南省怀化市洪江市2024届中考数学最后一模试卷含解析

湖南省怀化市洪江市2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4x100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让

他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

2.某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示.其中阅读时间是8~10小时的频数和

频率分别是（）

频率

忸花

0.I5q

0.125

0.10(1

().075

0.(150

0.025

24681012小时&(个)

A.15,0.125B.15,0.25C.30,0.125D.30,0.25

3.下列算式的运算结果正确的是（）

A.m3»m2=m6B.m5-rm3=m2（m,0）

C.（m2）3=m5D.m4-m2=m2

4.一元二次方程x2-8x-2=0,配方的结果是（）

A.（x+4）2=18B.（x+4）2=14C.（x-4）2=18D.（x-4）2=14

5.如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分另（J是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF,连接BF

与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：©AAED^ADFB；②S四娜BCDG=?CG2;③若

AF=2DF,则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤NBGE的大小为定值.

其中正确的结论个数为（）

C.2D.1

6.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=：上，第二象限的点B在反比例函数上，KOA±OB,tanJ=M

C.-4D.2\5

7.某微生物的直径为0.000005035m,用科学记数法表示该数为（）

A.5.035x106B.50.35x105C.5.035X106D.5.035x105

8.两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C,AB=8,则形成的圆环的面积是（）

A.无法求出B.8C.8万D.16%

9.下列运算中，正确的是（）

A.(a3)2=a5B.(-x)2r=-x

D.(-2x2)3=-8x6

10.某公园里鲜花的摆放如图所示，第①个图形中有3盆鲜花，第②个图形中有6盆鲜花，第③个图形中有11盆鲜

花，……，按此规律，则第⑦个图形中的鲜花盆数为（）

A.37B.38C.50D.51

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.春节期间，《中国诗词大会）节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：

①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光.甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在纸上，则他

们选取的诗句恰好相同的概率为.

12.如图，数轴上点A所表示的实数是.

-2-I01A1

13.某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增

长率为.

14.在我国著名的数学书《九章算术》中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，

问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，则可列关于x的方程为.

15.掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，AC±BD,DE交AC于E,AB=DE,NA=ND.求证：AC=AE+BC.

18.（8分）绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图:

设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当16Wx<20时为“基本称职”，

当20<25时为“称职”，当X225时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题：补全折线统计图和扇形统计图；求

所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励

标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能

获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.

19.（8分）已知抛物线，工：了=以2+陵-3与犬轴交于4（—1,0）、B两点,与V轴交于点C,且抛物线L的对称轴

为直线x=l.

（1）抛物线的表达式；

（2）若抛物线〃与抛物线L关于直线％=相对称，抛物线V与x轴交于点A',3'两点（点A'在点8'左侧），要使

&ABC=2S.BC，求所有满足条件的抛物线V的表达式・

20.（8分）计算：y/i2+（^）2-8sin60°

21.（8分）如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底

座直线L且他=25。〃，手臂帅=5。=60。力，末端操作器CD=35c,",AF直线人当机器人运作时，

ZBAF=45°,ZABC=15°,ZBCD=6Oa,求末端操作器节点。到地面直线L的距离.（结果保留根号）

22.（10分）如图，已知A（a,4）,B（-4,b），是一次函数与反比例函数图象的两个交点.

（1）若a=l,求反比例函数的解析式及6的值；

（2）在（1）的条件下，根据图象直接回答：当x取何值时，反比例函数大于一次函数的值？

（3）若a-6=4,求一次函数的函数解析式.

23.（12分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进

行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表中a=—,b=一,

并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多

少人？已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体

会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

分组频数频率

第一组(0<x<15)30.15

第二组（154x<30）6a

第三组(30<x<45)70.35

第四组(45<x<60)b0.20

24.⑴解方程：上+5=4

2x-33-2x

⑵解不等式组并把解集表示在数轴上：之一在s60.

bx+7<3（x-l）&

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断.

【题目详解】

要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，

即中位数.

故选B.

2、D

【解题分析】

分析：

根据频率分布直方图中的数据信息和被调查学生总数为120进行计算即可作出判断.

详解：

由频率分布直方图可知：一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的：频率：组距=0.125,而组距为2,

，一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频率=0.125x2=0.25,

又•••被调查学生总数为120人，

二一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频数=120x0.25=30.

综上所述，选项D中数据正确.

故选D.

点睛：本题解题的关键有两点：（1）要看清，纵轴上的数据是“频率：组距”的值，而不是频率；（2）要弄清各自的频

数、频率和总数之间的关系.

3^B

【解题分析】

直接利用同底数塞的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.

【题目详解】

A、m3»m2=m5,故此选项错误；

B、m5-rm3=m2（n#0）,故此选项正确；

C、Cm：）3=m-6,故此选项错误；

D、m4-m2,无法计算，故此选项错误；

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了同底数塞的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键.

4、C

【解题分析】

x2-8x=2,

x2-8x+16=l,

（x-4）2=1.

故选C.

【题目点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（X+m）2=!!的形式，再利用直

接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

5、B

【解题分析】

试题分析：①；ABCD为菱形，...AB=AD,VAB=BD,.,.△ABD为等边三角形，/.ZA=ZBDF=60°,XVAE=DF,

AD=BD,.♦.△AED之△DFB,故本选项正确；

@VZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,即NBGD+NBCD=180。，.•.点B、C>D、G四点共圆，

.\ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,AZBGC=ZDGC=60°,过点C作CM_LGB于M,CN_LGD于N（如

图1),则ACBM丝Z\CDN(AAS),AS四边形BCDG=S四边形CMGN,s四边形CMGN=2SACMG，***^CGM=60°,GM=~CG,

CM=^CG,二S四边形CMGN=2SACMG=2X（X（CGX¥CG=¥CG2,故本选项错误；

③过点F作FP〃AE于P点（如图2）,VAF=2FD,AFP：AE=DF：DA=1：3,VAE=DF,AB=AD,.♦.BE=2AE,

AFP：BE=FP：jAE=l：6,VFP/7AE,.，.PF〃BE,AFG：BG=FP：BE=1：6,即BG=6GF,故本选项正确；

④当点E,F分别是AB,AD中点时（如图3）,由（1）知，△ABD,△BDC为等边三角形，二•点E,F分别是AB,

AD中点，.,.ZBDE=ZDBG=30°,/.DG=BG,在AGDC与△BGC中，；DG=BG,CG=CG,CD=CB,

/.△GDC^ABGC,/.ZDCG=ZBCG,，CH_LBD,即CG_LBD,故本选项错误;

(5)VZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°,为定值，故本选项正确;

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B.

考点：四边形综合题.

6、C

【解题分析】

试题分析：作AC_Lx轴于点C,作BD_Lx轴于点D.

则NBDO=NACO=90。，贝!J/BOD+NOBD=90。,

（）

VOA±OB,.,.ZBOD+ZAOC=90°,/.ZBOD=ZAOC,.•.△OBDs-OC,.•.簧=窗=tanA6,

3^•SAAOC=5X2=1,••SAOBD=2,••k=-l.

故选C.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征.

7、A

【解题分析】

试题分析：0.000005035m,用科学记数法表示该数为5.035xl(T6,故选A.

考点：科学记数法一表示较小的数.

8,D

【解题分析】

试题分析：设AB于小圆切于点C,连接OC,OB.

VAB于小圆切于点C,

/.OC±AB,

11

BC=AC=—AB=—x8=4cm.

22

:圆环(阴影)的面积=TT・OB2moe2=兀(OB2-OC2)

又•直角AOBC中，OB2=OC2+BC2

二圆环(阴影)的面积=7fOB2-7r・OC2=7t(OB2-OC2)=rt»BC2=167t.

故选D.

考点：L垂径定理的应用；2.切线的性质.

9、D

【解题分析】

根据同底数塞的除法、乘法的运算方法，塞的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即

可.

【题目详解】

(a3)2=a6,

二选项A不符合题意；

V(-X)2-rX=X,

.•・选项B不符合题意；

".'a3(-a)2=a5,

二选项C不符合题意；

V(-2x2)3=-8X6,

二选项D符合题意.

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了同底数塞的除法、乘法的运算方法，塞的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法,

要熟练掌握.

10、D

【解题分析】

试题解析：

第①个图形中有3盆鲜花，

第②个图形中有3+3=6盆鲜花，

第③个图形中有3+3+5=11盆鲜花,

第”个图形中的鲜花盆数为3+3+5+7+…+（2九+1）="+2,

则第⑥个图形中的鲜花盆数为62+2=38.

故选C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

1

11、一

4

【解题分析】

用列举法或者树状图法解答即可.

【题目详解】

解：如图，

甲①②③④

乙①②③④①②③④①②③④①②③④

41

由图可得，甲乙两人选取的诗句恰好相同的概率为0=7=—.

164

故答案为：一.

4

【题目点拨】

本题考查用树状图法或者列表法求随机事件的概率，熟练掌握两种解答方法是关键.

12、75-1

【解题分析】

A点到-1的距离等于直角三角形斜边的长度，应用勾股定理求解出直角三角形斜边长度即可.

【题目详解】

解：直角三角形斜边长度为+22=石,则A点到-1的距离等于石,

则A点所表示的数为：-1+逐

【题目点拨】

本题考查了利用勾股定理求解数轴上点所表示的数.

13、10%

【解题分析】

本题可设这两年平均每年的增长率为x,因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%,则有(1+x)1=1+44%,解这

个方程即可求出答案.

【题目详解】

解：设这两年平均每年的绿地增长率为x,根据题意得，

(1+x)1=1+44%,

解得xi=-l.l（舍去），xi=0.1.

答：这两年平均每年绿地面积的增长率为10%.

故答案为10%

【题目点拨】

此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量x(l±x)i=现在的量，增长用+,减少用但要注意解的取舍，及每

一次增长的基础.

x-45x-3

14、------=------

57

【解题分析】

设羊价为X钱，根据题意可得合伙的人数为_^或二，，由合伙人数不变可得方程.

57

【题目详解】

设羊价为x钱，

x—45x—3

根据题意可得方程：

5

故答案为：土x—3

【题目点拨】

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

【解题分析】

分析：根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

详解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中4、6是

21

合数，所以概率为^==.

63

故答案为

3

点睛：本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

lo>--

4

【解题分析】

直接利用二次根式的性质化简求出答案.

【题目详解】

1=9=3=交，故答案为正.

8V82V244

【题目点拨】

本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、见解析.

【解题分析】

由“SAS”可证AABCg可得BC=CE,即可得结论.

【题目详解】

证明：VAB=DE,ZA=ZD,ZACB=ZDCE=90°

/.△ABC^ADEC(SAS)

/.BC=CE,

VAC=AE+CE

.\AC=AE+BC

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键.

18、（1）补全统计图如图见解析；（2）“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；“优秀”的销售员

月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；（3）月销售额奖励标准应定为22万元.

【解题分析】

（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职和优秀的百分比，再求出优秀的总

人数，从而得出销售26万元的人数，据此即可补全图形.

（2）根据中位数和众数的定义求解可得；

（3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据.

【题目详解】

（1）依题可得：

“不称职”人数为：2+2=4（人），

“基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人），

“称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人），

总人数为：204-50%=40（人），

，不称职”百分比：a=4+40=10%,

“基本称职”百分比：b=10+40=25%,

“优秀”百分比：d=l-10%-25%-50%=15%,

“优秀”人数为：40xl5%=6（人），

...得26分的人数为：6-2-1-1=2（人）,

补全统计图如图所示：

（万元

（2）由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人,

“优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人；

“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；

“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；

（3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22万.

•.•“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，

•••要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元.

【题目点拨】

考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

19、(1)J=(X-1)2-4；(2)j=(x-3)2-4;y=(x-7)2-4.

【解题分析】

(1)根据待定系数法即可求解；

(2)根据题意知A(m-2,0),根据三角形面积公式列方程即可求解.

【题目详解】

(1)根据题意得：｛2a,

ci—b—3=0

tz—1

解得：7。，

b=-2

抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-l)2-4；

(2)♦.•抛物线1/与抛物线L关于直线x=对称，抛物线L的对称轴为直线x=l

/.抛物线L'的对称轴为直线x=1,

•抛物线〃与x轴交于点4,3'两点且点A'在点3'左侧，

•••A'的横坐标为：m+l-2=m-l

令y=0,则2x—3=0，

解得：工1=—1，X2=3,

令x=0,则y=3,

.•.点48的坐标分别为4(—1,0),8(3,0),点C的坐标为(0,3),

••S.ABC=]X|AB|X=-x4x3=6,

2

,S.NBC=-s•ABC=3,

2,

1国义,』=

•"S.0BC=­X|43,Bp||m-l-3|x3=3,

2

解得：加=2或加=6,

•••抛物线L'与抛物线L关于直线1=机对称，抛物线U的对称轴为直线x=m+l,

二抛物线的表达式为y=(无—3)2—4或y=(x-7)2-4.

【题目点拨】

本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，第(2)问的关键是得

到抛物线L'的对称轴为直线x=m+l.

20、4-273

【解题分析】

试题分析：原式第一项利用二次根式的化简公式进行化简，第二项利用负指数公式化简，第三项利用特殊角的三角函

数值化简，合并即可得到结果

/T

试题解析：73+4-8X2L±=273+4-473=4-273

2

21、（300+20）cm.

【解题分析】

作BGLCD,垂足为G,BH1AF,垂足为H,解RtACBG和RtAABH,分别求出CG和BH的长，根据D到L的

距离=BH+AE-(CD-CG)求解即可.

【题目详解】

如图，作BGLCD,垂足为G,BH±AF,垂足为H,

在RfACBG中，ZBCD=60°,BC=60cm,

CG=BCcos600=30,

在RfAAB//中，ZBAF=45°,AB=60cm,

•*.BH=AB-sin45O=30万，

.\D至！JL的距离=8H+AE-（CD-CG）=30直+25-5=（30及+20）cro.

【题目点拨】

本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段.

4

22、(1)反比例函数的解析式为7=—,6的值为-1；(1)当xV-4或0<xVl时，反比例函数大于一次函数的值；

x

⑶一次函数的解析式为y=x+l

【解题分析】

(1)由题意得到A(1,4),设反比例函数的解析式为y=8(际0),根据待定系数法即可得到反比例函数解析式为y

X

4

再由点5(-4,b)在反比例函数的图象上，得到力=-1；

x

(1)由(1)知A(1,4),B(-4,-1),结合图象即可得到答案；

(3)设一次函数的解析式为(m/0),反比例函数的解析式为y=巴，因为A(a,4),B(-4,b)是一次

x

4/

函数与反比例函数图象的两个交点，得到■0,解得p=8,a=l,b=-1,则A(1,4),5(-4,-1),由点

b=&

[-4

2m+n=4m=l

4、点3在一次函数图象上，得到“°,解得",即可得到答案.

-4-m+n=-2\n=2

【题目详解】

(1)若a=l,则A(1,4),

设反比例函数的解析式为(际0),

x

•.•点A在反比例函数的图象上，

,4=—

••1'

解得k=4,

4

反比例函数解析式为y=—；

；点8(-4,b)在反比例函数的图象上,

4

即反比例函数的解析式为y=—,5的值为-1；

x

(1)由(1)知A(1,4),B(-4,-1),

根据图象：当x<-4或0<x<l时，反比例函数大于一次函数的值;

(3)设一次函数的解析式为y="zx+"(机邦)，反比例函数的解析式为》=",

x

•••A(a,4),8(-4,b)是一次函数与反比例函数图象的两个交点，

.aHn4a=p®

・・I，即〈,

b=P_1-4"=p②

、-4

①+②得4a-45=lp,

•：a-b=4,

A16=Ip,

解得夕=8,

把P=8代入①得4〃=8,代入②得-45=8,

解得a=lfb=-1,

/.A(1,4),B(-4,-1),

•・•点A、点5在一次函数y=mx+〃图象上，

.f2m+^=4

・・<

-4-m+n