北京市房山区2023-2024学年高一年级下册学业水平调研（一）数学试题

北京市房山区2023-2024学年高一下学期学业水平调研(一)

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.300°化成弧度是()

77r

A.&B.也C.更D.

366T

2.己知sin8>0且cos9<0,则角8的终边所在的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量2=(-5,6),。=(6,5),则°与人()

A.平行且同向B.平行且反向

C.垂直D.不垂直也不平行

JT

4.要得到函数y=si〃(4x-1)的图象，只需要将函数y=si〃4x的图象

A.向左平移三个单位

12

B.向右平移三个单位

12

TT

C.向左平移2个单位

TT

D.向右平移;个单位

5.下列函数中，最小正周期为兀且为奇函数的是()

A.=tan2xB.y=tanlx+yI

C.y-cos2xD.y=sinxcosx

6.已知函数f(x)=2sin3+9)(o>(),网的部分图象如图所示，则()

A1冗「1元

A.co——f(p——B.co——，(p———

2323

cc兀ec兀

C.(0=2,(p=—D.69=2,(p=~—

33

7.设a,〃是非零向量，则“a石=|aHW'是“a/4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若向量a力满足|4=石，忖=2,且则向量a与方的夹角为()

兀e兀一2兀八5兀

A.-B.-C.—D.—

3636

9.已知。是实数，则函数f(x)=I+asinax的图象不可能是()

10.设函数/(x)=Asin(s+0)(4>O,0>O,O4°<27r)在区间似；］上是单调函数,

/(-y)=/(0)=-/(^)=p贝1」/(2024兀)=()

A—B-4CT

二、填空题

11.sin—=

6-----

12.函数y=tan(2x-"的定义域为.

13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a力的夹角的余弦值为.

J

14.己知向量)=(1,2),〃为单位向量，«Uo,则向量〃的坐标为一.(写出一个即可)

试卷第2页，共4页

15.在平面直角坐标系xOy中，角a的终边过点A(4,3),则tana=_；将射线0A绕原点0

沿逆时针方向旋转到角夕的终边，贝ijsin?=_.

16.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复

合音的数学模型是函数/(x)=sinx+gsin2x(x€R),给出下列四个结论：

①〃x)的一个周期为2兀；

②Ax)的图象关于原点对称；

③"X)的最大值为g；

④/(x)在区间［0,2K］上有3个零点.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题

17.已知向量a方满足，a=%=2且°与方的夹角为彳.

(1)求a。；

(2)求卜-年

(3)若0-2取，(h+6)，求实数女的值.

18.己知函数/(x)=6sin2x+2cos2x.

TT

⑴求/(§)的值；

(2)求函数〃x)的最小正周期；

(3)求函数/&)的单调递增区间.

19.设函数/(x)=sin0xcos*+cos<yxsin°(0>O,O<『<5)由下列三个条件中的两个来确定：①

/(0)=-2；②最小正周期为无；③《4)=0.

(1)写出能确定函数/(x)的两个条件，并求出的解析式；

(2)求函数/(x)在区间［。，之上的最小值及相应的x的值.

20.将图(I)所示的摩天轮抽象成图(2)所示的平面图形.摩天轮直径为40米，中心。距

地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到

达最局点.

(1)⑵

(1)游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度;

(2)求该游客距离地面的高度〃(单位:米)与他登上摩天轮的时间x(单位:分钟)的函数关系式;

(3)当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求他和他的朋

友距离地面的高度之差的绝对值的最大值.

21.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，若存在实数机，〃使〃(》)=机/。)+〃8(幻对任

意xeR都成立，则称〃(x)为Ax),g(x)在R上生成的函数.

⑴判断函数y=sin(x+1)是否为f(x)=sinx,g(x)=cosx在R上生成的函数，说明理由；

⑵判断函数y=sin2x是否为/(x)=sinx,&(x)=cos2x在R上生成的函数，说明理由；

⑶若人(幻为f(x)=sinx,g(x)=cos2x在R上的一个生成函数，且加>0,〃>0,〃(x)的最

小值为-2,〃图=】，求心)的解析式.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解

【详解】因为180=兀，所以300=300x去Jr=?57r.

18()3

故选：A

2.B

【分析】利用三角函数的定义，可确定且x<o,进而可知。所在的象限，得到结果.

【详解】依据题设及三角函数的定义

可知角。终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，

所以终边在第二象限，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三

角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.

3.C

【分析】利用向量数量积的坐标表示即可得出判断.

【详解】因为“6=-30+30=0,所以£j_很,

故选：C.

4.B

【详解】因为函数丫="4x后卜诅4*-乡］,要得到函数三“〃小-?)的图象，只

需要将函数y=s山©的图象向右平移专个单位.

本题选择B选项.

点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数

变为原来的。倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同.

5.D

【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB,根据诱导公式化简D的解析式，再根据

正余弦型函数的奇偶性和周期性可判断CD.

【详解】函数y=tan2x的最小正周期为l，故A错误；

答案第1页，共10页

函数y=tanx+1定义域为+定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶

6

函数，故B错误;

函数y=cos2x,函数定义域为R,由cos2(-x)=cos(-2x)=cos2x,函数是偶函数，故C错

误;

函数定义域为R.由；sin2(-x)=；sin(-2x)=-；sin2x

函数y=sinxcosx=—sin2x函

数为奇函数,

最小正周期为7=5=%故D正确.

故选：D.

6.C

【分析】根据函数图象，由兀，求得周期，进而得到再根据点(弓，。］在图象上即

44<3)

可求解.

【详解】由图象知，7r=^r-?=77t-即T=兀，则。="=2,

41234兀

所以73=2sin(2x+。)，

因为点C，oj在/(x)图象上，所以281+0=2祈+兀住€2),即e=2E+%Z€Z),

因为所以3=t，

故选：C.

7.A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为22=|〃卜闻,所以。力=|。|忡《»。=(4阴,

则cos8=l,解得6=0,所以”//6，故充分性成立：

当a//b时，6=0或8=兀，则。石=|。||，或。彷=-1。1仍1，故必要性不成立;

综上，"ab=|a|.网”是“力店”的充分不必要条件.

故选:A

8.B

【分析】设向量a与匕的夹角为。翅0,可，由(a-8)，a得(a-6)-a=0,根据平面向量数量

积的运算律求解即可.

答案第2页，共10页

【详解】设向量。与b的夹角为。£［。，利，

Jo

由得，(a—b)-a=a-a-b=3—2＞/3cos0=0即cos6=-^-,

因为。e［0,兀］,所以。==,

6

故选：B.

9.D

【分析】由实数。的取值范围，讨论函数的最值和周期，对选项中的图象进行判断.

2兀

【详解】当0＜时＜1时，丁=可＞2兀，且/(x)的最小值为正数，故A正确；

2兀

当时＞1时，7=时＜2兀，且/(x)的最小值为负数，故B正确；

当。=0时，=故C正确；

在选项D中，由振幅得向＞1,则7＜2兀，而由图象知7＞2兀，故D错误.

故选：D.

10.A

【分析】由/(x)在区间［0,会上是单调函数得出0＜343,由/(-^)=/(0)=-/(^)=^分析出。

的值，即可计算出“20242.

【详解】因为Ax)在区间似争上是单调函数，且切＞0,

iTTTT

所以:7=工2合，解得0M3,

2。3

又因为/(-1)=/(0)=-/(?,

所以x=J是〃x)的一条对称轴，管°)是73的一个对称中心，

若x=-擀和(己，0)是同一周期中相邻的对称轴和对称中心，

则q=F=B+g=即0=［，符合题意

4206632

若x=-［和是同一周期不相邻的对称轴和对称中心，

门.3T3兀7t7i7i9—人口：E.

则二~=—=~+—=—,n即n69=7＞3,不合就意，

42&6632

、131

又/(。)=Asin(9)=Q,所以/(2024n)=Asin(-^x2024n+(p)=Asin(p=—,

故选:A.

答案第3页，共10页

【分析】将所求式子中的角2变形为万+9,然后利用诱导公式sin(〃+«)=-sina化简后,

66

再利用特殊角的三角函数值即可求出值.

【详解】sin-

6

.(吟

=sin兀+—

I6J

.71

=-sin—

6

——1

2,

故答案为-;

【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式

是解本题的关键.

12.j乂xw+彳,ZwZ;

【分析】解不等式2》-97T3也+7£T&€2,即得解.

62

JTJT

【详解】由题意得

62

解得xg+gkZ.

23

故答案为：卜"勺+守火或｝.

13.一回

10

【分析】以向量。的起点为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】如图所示，以向量。的起点为原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1,

,ab-1V10加

所以cosa/=^=及&=-［相，即向量”力的夹角的余弦值为-三.

答案第4页，共10页

Vio

故答案为:记

2遥

(或者

【分析】设b=(x,y),根据向量垂直的坐标表示结合模长公式列式求解即可.

【详解】设b=(x,y)

ab=x+2y=0

由题意可得:

275亚

~T'~5

2也加

故答案为:述_也

34

15.-/0.75-/0.8

45

【分析】根据题意结合三角函数值的定义求tana；因为£=a+5,利用诱导公式结合三角

函数值的定义求sin£.

【详解】因为角a的终边过点A(4,3),即x=4,y=3,

所以tana=上=g；

jr

由题意可知：/=。+万,

4

所以sin/?=sin=cosa=

5-

34

故答案为：—;—.

45

16.①②④

【分析】对于①：代入周期的定义，即可判断；对于②：根据奇函数的定义分析判断；对于

③：分别比较两个函数分别取得最大值的x值，即可判断；对于④：根据零点的定义，解方

程，即可判断.

【'详解】对于①：EI^./'(x+27t)=sin(x+27t)+^sin(2x+47t)=sinx+^sin2A'=/(x)

答案第5页，共10页

所以/(X)的一个周期为2兀，故①正确.

对于②：因为/*)的定义域为R,

且/(-%)=sin(-x)+；sin(-2x)=-sinx-Jsin2x=-f(x),

可知"X)为奇函数，所以/*)的图象关于原点对称，故②正确;

对于③：对于y=sinx,当且仅当了=万+2依时，取得最大值1,

对于y=；sin2x,当且仅当2x=>2E,后eZ,即x=；+E,ZeZEl寸，取得最大值;,

a

所以两个函数不可能同时取得最大值，所以/(X)的最大值不是故③错误.

对于④：^/(x)=sinx4-sin2x=sinx+sinxcosx=sinx(1+cosx)=0,

解得sinx=0或cosx=-l,

又因为工£［0,2兀］,可得工=0或工=兀或工=2兀，

所以/⑶在区间［0,2可上有3个零点，故④正确.

故答案为：①②④.

17.(1)-2

(2)2^

⑶女=：

4

【分析】(1)利用向量数量积的定义求解；

(2)*+=由2_2由6+好,代入已知数据求解即可;

(3)利用向量垂直数量积为0,求实数人的值.

【详解】⑴因为闷=卜|=2,且“为=年，

所以a加=|a||z?|cosa,/?=2x2xcos=2x2x

-2a-b+好=&-2x(-2)+2?=2yli.

)--I一F

(3)由(〃一2b)JL(总+Z?),得(〃一2/?).(%〃+/?)=0,即〃同~-2版+0-2网=0.

所以4Z+(l-2Z)x(-2)—8=0.

答案第6页，共10页

解得k=[.

4

18.(1)2

(2)T=TI

(3)-§++E伏£Z)

【分析】(1)直接代入X=(,由特殊角的三角函数值求出/号)的值；

(2)根据二倍角公式化简整理把函数/(x)=^sin2x+2cos2x化成一个角的一种三角函数

的形式得〃x)=2sin(2x+*+l,由正弦型函数的周期公式求出最小正周期；

(3)根据正弦函数y=sinx的单调递增区间，把2x+$看成一个整体，解不等式

6

—+2fai<2x+5<^+2WeZ),求出f(x)的单调递增区间.

262

【详解】(1)/(^)=>/3sin(-y)+2cos2y=5/3x(^)+2x(i)2=-|+i=2

(2)因为/(x)=Gsin2x+cos2x+l

=2(sin2x•+cos2x•g)+1

=2(sin2xcos—+cos2xsin—)+1

66

=2sin(2x+—)+1

6

所以函数/(X)的最小正周期T=,=TT.

7TTT

(3)因为函数，=力4在区间-,+2航,,+2航(keZ)上单调递增.

TTIT7E

由--F2EW2.xH—W—F2kii(kGZ),

262

得-胃+2knW2xW1+2An(keZ).

即--+EWXW2+E(ZWZ).

36

TTTT

所以函数/(x)的单调递增区间为-二+也二+E(keZ).

30

19.⑴两个条件为②③，/(x)=sin(2x+1)

(2)x=］时，函数f(x)的最小值为-日

答案第7页，共10页

【分析】（I）条件①不成立，选择两个条件②③，由最小正周期求0,由/卜^=0求出巴

（2）由代卜闱，有〃+卜仁，学］，结合正弦函数的性质求最小值和最小值点.

【详解】（1）/（o）=sinOcos（P+cosOsin=sin*-2,条件①不成立，

能确定函数/W的两个条件为②③.

/（x）=sin<yxcoscp+coswxsin<p=sin（<wx+<p）.

因为函数的最小正周期为兀，兀，所以。=2.

又/（-看）=0,得$皿（一］+9）=0,所以-1+e=E（KeZ）,得力=far+至AeZ）.

由o<e<g,得0=弓.

乙J

所以f（x）=sin（2x+］）.

（2）因为xw0,g，所以+.

所以当2x+1=亨,即Y时，函数当x）的最小值为佃=sin传卜-冬

20.（1）31米

(2)h=-20COS-A-+21(x^0)

6

(3)20

【分析】（1）由已知条件得ZAOB的大小，可得B点到地面的高度；

（2）以。为原点建立平面直角坐标系，表示出8点坐标，可得距离地面的高度"与时间x的

函数关系式；

（3）两人距离地面的高度都表示为与时间x的函数，作差后通过三角恒等变换化简后结合

正弦函数的性质求最大值.

【详解】（1）因为从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点，所以登上摩天轮

4分钟后，ZAOB=~,

所以游客距离地面的高度为20sin［+21=31米.

O

（2）如图以。为原点建立平面直角坐标系.

答案第8页，共10页

则420cos信x-9,20sin信冶))，

〃与x的函数关系式为/?=20sin借xg)+21,

CPA=-20cos—x+21(x^O).

6

(3)设无分钟后两人距离地面的高度之差的绝对值为

他一/zj=—20cos—+2)+21—^—20cos—x+21)

，兀兀、兀

7t71

=20cos—(x+2)-cos—x=20cos—x+--cos-X

66V63j6

717t.71.7171=20^sin4+hos%

=20cos-xcos——sm—xsin——cos—x=20si喂x+方

636362626

所以当即工=2+6*,及eZ时，隹-可