高考数学二轮复习专题平面向量教学案(学生版)

2013高考数学二轮复习精品资料专题06平面向量教学案（学生版）【2013考纲解读】1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识网络构建】【重点知识整合】1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2.4．向量的坐标运算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为eq\f(a,|a|).(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．例1、已知关于x的方程：·x2＋·2x＋＝0(x∈R)，其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一点，则下列结论正确的是()A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点C．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点D．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a，λa·b＝λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误.考点二平面向量的数量积两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)先求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a在向量b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|).例2、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，则|a＋2b|＝ ()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\r(7)考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝eq\f(π,4)，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．【难点探究】难点一平面向量的概念及线性运算例1、(1)a，b是不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0(2)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上【变式探究】(1)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))(m，n>0)，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值为()A．2B．4C.eq\f(9,2)D．9(2)设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．难点二平面向量的数量积例2如图所示，P为△AOB所在平面内一点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝c.若|a|＝3，|b|＝2，则c·(a－b)的值为()A．5B．3C.eq\f(5,2)D.eq\f(3,2)【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．难点三平面向量的共线与垂直的综合运用例3已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝eq\f(1,2).(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的取值范围；(3)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且eq\o(AH,\s\up6(→))2＝eq\o(MH,\s\up6(→))·eq\o(HN,\s\up6(→))，求证：直线l恒过定点．【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k，m的方程，确定k，m的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y＝eq\f(4,3)x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P、A2P分别与直线l：x＝eq\f(9,5)交于M、N两点．(1)求双曲线的方程； (2)求证：eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))为定值．【历届高考真题】【20XX年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设SKIPIF1<0R，向量SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）103.【2012高考真题四川理7】设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是非零向量，下列四个条件中，使SKIPIF1<0成立的充分条件是（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0且SKIPIF1<04.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|aSKIPIF1<0b|，则下面结论正确的是(A)a∥b(B)a⊥b(C){0,1,3}(D)a+b=aSKIPIF1<0b5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0=A．2B．4C．5D．108.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义SKIPIF1<0．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在集合SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0=A．SKIPIF1<0B.1C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<09.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，将向量SKIPIF1<0按逆时针旋转SKIPIF1<0后，得向量SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标是（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<010.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若SKIPIF1<0，则=（A）（B）（C）（D）14.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，一单位圆的圆心的初始位置在SKIPIF1<0，此时圆上一点SKIPIF1<0的位置在SKIPIF1<0，圆在SKIPIF1<0轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的坐标为______________.15.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则SKIPIF1<0的值为________，SKIPIF1<0的最大值为______。16.【2012高考真题安徽理14】若平面向量SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0。17.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是▲．【20XX年高考试题】1.(20XX年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=()(A)0(B)(C)(D)2.(20XX年高考全国卷理科12)设向量SKIPIF1<0满足|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|=1,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值等于(A)2(B)SKIPIF1<0(c)SKIPIF1<0(D)1二、填空题:1.(20XX年高考浙江卷理科14)若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边的平行四边形的面积为SKIPIF1<0，