2024年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷（含解析）

2024年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一（一5）等于（）

1

A.-5B.1C.±5D.5

2.由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面

图形是（）

A・3

正面

cfrr

D.^T

3.据科学研究表明，5G移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒1300000KB以上.其中1300000用科学

记数法表示为（）

A.13x105B.1.3X106C.1.3x105D.1.3x107

4.九年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是90分，方差分别是S1,=16,

S；=24,S3=28,S%=36,这四名学生中成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.如图，菱形28CD中，AC=8,BD=6,则菱形的面积为（）

A.48

B.40

C.24

D.20

6.下列运算正确的是（）

A.2a2b—a2b=a2bB.2a—a=2C.3a2+2a2=5a4D.2a+b=2ab

7.如图，将△ABC沿BC方向平移到若4O之间的距离为2,CE=3,贝加尸

等于（）

A.6B.7C.8D.9

8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降

价的百分率，设每次降价的百分率为％,下面所列的方程中正确的是（）

A.560（1+%）2=315B.560（1-%2）=315

C.560（1一2%）=315D.560（1-x）2=315

9.2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为20。，在至工人

此雪道向下滑行100米，高度大约下降了米.（）

CB

100100

B.C.100sm20°D.100cos20°

A，sin20°cos20°

10.如图，在四边形4CDB中，AB"CD,AC=AD,P是线段4C上一点（不与点

A、C重合），NC=NPDB=60。，连接BP,交4。于点Q,则DQ：BP的最小值

是（）

A.273B.<3V

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.为了描述我市某一天气温变化情况，从“扇形统计图”“条形统计图”“折线统计图”中选择一种统

计图，最适合的统计图是

12.如图，同一时刻在阳光照射下，树4B的影子BC=3m,小明的影子B'C'=1.5m,已知小明的身高

A'B'=1.7m,则树高力B=______.

13.如图，。4、0B是。。的半径，C是。。上一点，乙4。8=42。，AACB='

14.直线yi=kx（k丰0）与直线为=ax+4（a力0）在同一平面直角坐标系中的

图象如图所示，则不等式依<ax+4的解集为.

15.如图，直线y=-%+a与反比例函数y=g（x>0）只有唯一的公共点4,与反

比例函数

丫=（（%>0）交于点。，与x轴交于点B,如果4B=2BC,则k的值为.

三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题5分）

计算：2s讥45。一方+（兀-1）°+|YI-4

17.（本小题7分）

先化简，再求值：（，刍—+皆%，其中a=1.

18.（本小题8分）

为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供

学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图1和图2,请根据相关信息，解答下

列问题:

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为人，图1中小的值为—

（2）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，则建议购买35号运动鞋多少双?

19.（本小题8分）

如图，AB是。。的直径，弦CD14B于点E,点P在。。上，上PBC=AC.

（1）求证：CB“PD；

（2）若BC=12,BE=8,求。。的半径.

20.（本小题8分）

2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进4、B两种纪念品，用900元购进的4

种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件8种纪念品的进价比每件4种纪念品的进价多5

元.

(1)求4B两种纪念品每件的进价分别为多少元？

(2)若该纪念品经销店4种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，

且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求4种纪念品最多购进多少件.

21.(本小题9分)

综合与应用

如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分,建立如图2所示

的平面直角坐标系xOy,运动员从点4(0,10)起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(?n)与水

平距离工(小)满足二次函数的关系.

(1)在平时的训练完成■次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：

水平距离》(机)011.5

竖直高度y(m)10106.25

根据上述数据，求出y关于x的关系式；

(2)在(1)的这次训练中，求运动员甲从起点4到入水点的水平距离。。的长；

(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为心山)，从到达到最高点B开始计时，则他到水

面的距离/I(TM)与时间t(s)之间满足h=-5t2+k.

信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270c动作.

问题解决：

①请通过计算说明，在(1)的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？

②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y(m)与水平距离x(m)的关系为y=ax2-ax+

10(a<0),若选手在达到最高点后要顺利完成270c动作，贝必的取值范围是.

图1图2

22.(本小题10分)

【问题提出】

(1)如图1,在边长为6的等边AaBC中，点。在边8c上，CD=2,连接AD,则AaCD的面积为；

【问题探究】

(2)如图2,已知在边长为6的正方形48C。中，点E在边8C上，点尸在边CD上，且/R4F=45。，若EF=

5,求AAEF的面积；

【问题解决】

(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在48=4米，4D=4门米的矩形ABC。区域内开

挖一个AZEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上(不与点B、C、。重合)，且NE4F=60。，为了减少

对该路段的交通拥堵影响，要求AAEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的AaEF?若存在，请求出

△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：—(—5)表示—5的相反数，即一(—5)等于5.

故选：D.

根据一个负数的相反数为正数即可作答.

本题考查了相反数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：从上面看得到的平面图形为：—―.

故选：B.

从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有

1个小正方形.

本题考查从不同方向观察几何体，掌握几何体三种视图的空间想象能力是关键.

3.【答案】B

【解析】解：1300000=1.3X106.

故选：B.

由题意可知本题中a=1.3,n=6,即可得到答案.

本题考查了正整数指数科学记数法，“对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为ax10"的

形式，其中1<|a|<10,n为正整数.”正确确定a和n的值是解答本题的关键，

4.【答案】A

【解析】解：尹<Sz<S丙<S八

这四名学生成绩最稳定的是甲，

故选：A.

根据方差的意义求解即可.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越

大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

5.【答案】C

【解析】解：菱形的面积为6x8+2=24,

故选：C.

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案.

本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】【分析】

根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变进行计算即

可.

此题主要考查了合并同类项，关键是掌握合并同类项法则.

【解答】

解：2、2a2b-a2b=a2b,故原题计算正确；

B、2a-a=a,故原题计算错误；

C、3a2+2a2=5a2,故原题计算错误；

D、2a和b不能合并，故原题计算错误；

故选：A.

7.【答案】B

【解析】解：•••将AABC沿BC方向平移至UADEF的位置，点力，D之间的距离为2,

BE=CF=2,

•••CE=3,

BF=CF+BE+CE2+2+3=7,

故选：B.

根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解.

本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到BE=CF=2.

8.【答案】D

【解析】解：设每次降价的百分率为久，由题意得：

560(1-%)2=315,

故选：D.

设每次降价的百分率为X,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格

是560(1-第二次后的价格是560(1-久产，据此即可列方程求解.

本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程.

9.【答案】C

【解析】解：由题意得：AB1BC,

在Rt△4BC中，^ACB=20°,AC=100米,

AB=AC-sin200=100s讥20。（米）,

二高度大约下降了100s讥20。米，

故选：C.

根据题意可得：AB1BC,然后在Rt△力BC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解:作DE1PB于点、E,则APED=90°,

•••AC=AD,"=60°,

•，•Aac。是等边三角形，

AAD=CD,zc=AADC=60°,

AB//CD,

：.Z.BAD=/.ADC=60°,

•••Z-BAD=Z.C,

•・•乙PDB=60°,

・•・乙ADB=乙CDP=60°一(ADP,

ADBs^CDP,

=把=L

PDCD

BD=PD,

・•.△PDB是等边三角形，

BP=BD,乙PBD=60°,

DEDE.<3

-=sm60=H，

DQ>DE,

.也空

BP-BP'

...也>£,

BP-2

黑的最小值是苧，即DQ：BP的最小值是年，

故选：c.

作DE1PB于点E,由4C=/D,4c=60。，证明△ACD是等边三角形，贝!J/D=CD,zC=^ADC=

60°,再证明△ADBs^CDP,得黑=得=1,则BD=PD,所以△PDB是等边三角形，则BP=BD,

Z.PBD=60%所以熬=M=s讥60。=噂，由DQ2DE,得经2噂，所以黑的最小值是竺，于是得到问

BPBD2BP2or2

题的答案.

此题重点考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线

段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

11.【答案】折线统计图

【解析】解：描述我市某一天气温变化情况，最适合的统计图是折线统计图，

故答案为：折线统计图.

根据题意，天气变化情况复杂，用折线图表示，即可求解.

本题主要考查统计图的特点，扇形图：描述百分比（构成比）的大小；折线图：用线条的升降表示事物的发

展变化趋势，主要用于计量资料，描述两个变量间关系；条形图：表示独立指标在不同阶段的情况.

12.【答案】3.4m

【解析】解：根据题意得黑=黑，即”=总

DCDLD1.3

所以=3.4（ni）.

故答案为3.4m.

利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到等=,，然后利用比例性质求出48即可.

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行

投影.平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的.

13.【答案】21

【解析】解：；44。8=42。，

1

.­•乙4cB=2（）B=21。，

故答案为：21.

利用圆周角定理，进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

14.【答案】%>-1

【解析】解：由函数图象可知，

当X>—1时,

直线为=kx(k中0)在直线为=ax+4(a丰0)图象的下方，

故答案为：%>-1.

数形结合解不等式的解集即可得出答案.

本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键.

15.【答案】一5

ry——X+a

【解析】解：联立方程组得4,整理得/—5+4=0,

,•,只有一个交点，

4=a2-16=0,

a=±4,舍去负值，

a=4.

此时交点力(2,2),

一次函数解析式为y=—％+4,当y=0时，x-4,

二线段BD的中点D坐标为(3,1),

BD=BC,

4=比c=5，

o=yc=-1，

C(5,-l),

C(5,—1)在反比例函数y=(图象上,

•••k=-5.

故答案为：-5.

联立方程组根据只有一个交点求出a值得到交点坐标4（2,2）,根据直线解析式求出B点坐标，依据中点坐标

公式分别求出点D和点C坐标，即可得到k值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C坐标是关键.

16.【答案】解：2s讥45。一煦+（兀-1）°+-1|

=2x——2^*2+1+-1

=/2-2/2+1+/2-1

=0.

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，零指数募，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

17.【答案】解:段-盲+含

2a（a+2）（a—2）

a—22a

=a+2；

当a=1时，原式=1+2=3.

【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后把a=1代入，即可求解.

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

18.【答案】4015

【解析】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：6+12+10+8+4=40（人），图中小的值为：

100-25-30-20-10=15,

故答案为：40；15.

（2）依题意得：

200x30%=60（双），

答:建议购买35号运动鞋60双.

1）根据条形统计图中数据的人数相加即可求解；

（2）利用35号的百分比乘数量即可求解.

本题考查了扇形统计图与条形统计图的关联，解题的关键是分析题目中所给的直方图及扇形图，然后从中

得到数据进行求解.

19.【答案】（1）证明：••・NP=NC,乙PBC=AC,

ZP=/-PBC,

CB//PD-,

(2)解：如图所示，连接C。,

设0C=OB=X,贝l|OE=0B-BE=(x-8),

在RtACOE中：由勾股定理得C£2=。。2一。62,

在RtACBE中：由勾股定理得UE?=BC2一8石2,

%2-(x—8/=122-82,

解得x=9

.・・。。的半径为9.

【解析】(1)根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得NP=",再由条件NP8C=NC可得NP=NPBC,

然后可得CB〃PD；

(2)设。C=OB=x,贝iJOE=OB-BE=(x-8),利用勾股定理建立方程--(久一8)2=122-82,解方

程即可得到答案.

本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

20.【答案】解：(1)设4种纪念品每件的进价为万元，贝第种纪念品每件的进价(久+5)元，

由题意得亚=笔，

x%+5

解得：%=15,

经检验：久=15是原分式方程的解,

%+5=20,

答：2种纪念品每件的进价为15元，则B种纪念品每件的进价20元;

(2)设4种纪念品购进a件，由题意得：

(18-15)a+(25-20)(500-a)>1700,

解得：a<400,

•••a为整数，

・•.a的最大值为400.

答：2种纪念品最多购进400件.

【解析】(I)设2种纪念品每件的进价为X元，贝刊种纪念品每件的进价0+2)元，根据用900元购进的a种

纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同列出分式方程，再解即可；

(2)设4种纪念品购进a件，由题意得不等关系：4种纪念品的总利润+B种纪念品的总利润N1700元，根据

不等关系列出不等式，再解即可.

此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等

关系，再列出不等式和分式方程即可.

21.【答案】aW

【解析】(1)解：由运动员的竖直高度y(rn)与水平距离双山)满足二次函数的关系，

设二次函数的关系为y=ax2+bx+c,

代入(0,10),(1,10),(1.5,6.25),

fc=10

得|a+b+c=10,,

I-d~l_o+c=6.25

Z

a=—5

解得b=5，

c=10

•••y关于％的关系式为y=-5x2+5%+10；

(2)把y=0代入y=-5/+5%+10,

得—5/+5%+10=0,

解得%1=2,%2=-1(不合题意，舍去)，

・•・运动员甲从起点/到入水点的水平距离。。的长为2米；

(3)①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：

由运动员的竖直高度y(m)与水平距离》(租)满足二次函数的关系为y=-5/+5%+10,

整理得y=一5(%-1)2+y,

得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为竽小，即k=字

把h=0代入八=一5/+与，

得一5尸+3=0,

4

解得%=1.5,%2=一1.5(不合题意，舍去),

•・•1.5<1,6,

二运动员甲不能成功完成此动作；

②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y(m)与水平距离比(爪)的关系为y=ax2-ax+10(a<0),

得顶点为《，10—

得cf-1oa

1

a

4-

把/i=0代入h=—5t之+10——a,

4

得t2=2-祭，

由运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270c动作，得t>1,6,

则［2>1.62,即2a1.62,

解得a<-*

故答案为：a<—

(1)设二次函数的关系为y=a/+6x+c,代入(0,10),(1,10),(1.5,6.25),算出a、b、c的值，即可得到

函数表达式；

(2)把y=0代入y=—5%2+5%+10,即可求出结果；

(3)①把二次函数整理为y=—5(x—夕+当，得卜=孚，把拉=0代入h=—5产+学，计算t的值，再与

1.6比较即可得到结果；

G)求得顶点为10—得k=10—把％=0代入y=—5t2+10—Ja,得/=2—由严>

,444ZU

1.62,列不等式即可求出t的取值范围.

本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，本题的关键是理清题目条件，熟练运用二次函数

的性质解题.

22.【答案】3c

【解析】解：（1）如图1所示，过点4作2E1BC于E,

4BC是边长为6的等边三角形，

一1

•••AC=BC=6,CE=-BC=3,

AE=y/AC2-CE2=V62-32=30，

•••CD=2,

S"CD=-CD=3V-3；

故答案为：3V"^;

(2)如图2所示，延长EB到G使得BG=DF,连接4G,

图2

•••四边形4BCD是正方形，

•••AB=AD,Z-D=Z,ABG=Z.BAD=90。,

也△ADF(S/S),

AG=AF,Z-DAF=Z.BAG,

•・•^EAF=45°,

・•・/,BAE+ADAF=乙BAD-^EAF=45°,

・•・^BAG+^BAE=45°,

・•.Z.EAG=Z.EAF=45°,

又・・•AE=AE,

••.△ZEF四△AEG(SAS),

••EG=EF=5，S-EF=S—EG，

又•・•AB=6,

^LAEF=^LAEG=2^8,EG=15；

(3)存在一个面积最小的△ZEF；理由如下：

把aADF绕点/顺时针旋转90。并把边长缩小为原来的?，得到△ABG,

・•・AG=^-AF,2LFAG=90。，

•・•AEAF=60°,

・•・/,EAG=30°,

过点E作EMIAG于M,作EN_L4F于N,则四边形AMEN是矩形,

・•.ME=AN,

NEONE

ME=AN=-------,

tanz.EAN3

i

...S^AGE—24CME1

S^AEF^AF-NE39

^LAEF=3s△/EG'

・•・当△AEG的面积最小时，△AEF的面积最小;

如图3所示，作△AEG的外接圆，圆心为。，连接。4OG,OE,过点。作，EG于”，设OGOA=

图3

・•.Z.GOE=2Z.GAE=60°,

・••乙GOH=乙EOH=30°,

OH=^-OG=^r,GE=2GH=r，

1

SLAGE=-GE-AB=2GE=2